И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поскольку ('(1 — е) > О, а у'(1+ е) < О, и 0 < з < 1, то в точке х = 1 функция имеет максимум, равный — — — !л 2. 158. (:х ]х]е И ~, хЕ1<. Ш Из выражения для производной 1': х е е ~ ~ здп х — [х[е ~ г здп (х — 1), х ф О, х ф 1, видим, что точки хг = — 1, хг = 0 н хи = 1 подозрительны на экстремум. О наличии экстремума и его характере судим по знаку производной при переходе через точки х, (г = 1, 2, 3). Имеем г'( — 1+ с) < О, у'( — 1 — з) > 0 (максимум, равный е г); 1'( — е) < О, 1'(е) ) 0 (минимум, равный 0); )и(1 — е) > О, г '(1 + и) < 0 (максимум, равный 1) (з — достаточно малое положительное число).
Ш 159. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у: х е-е ]х — Зх+2] на сегменте [ — 10, 10]. ш Находим производную 1": г ~ (2х — 3)здп(х — Зх+2), х ф1, я~2; 4 10. Экстремум функции 185 Пусть х ( 1. Тогда 4'» ( —, и звр у(у) = г(1) = 2. Если х > 1, то зпр 1(4) = <1<42» 1«*4<4 1+ —.
Следовательно, 3 .!. 2 звр у(С) = *<2<+ х(1, з+ ' УЫ) = --,' и »п1 ХЯ) = —,. з+ '' О и »п1 2(С)=0 . <1<4 Пусть х ( — 3. Тогда —, > — — и »л1 1 -!- 1 3.!- 22 б Пусть — 3 < 2 < -1. Тогда — — < — ' ( 0 1 1.1-. з+*» Наконец, если х > — 1, то 2 2» -. Д+!х») = (!ледовательно, ш( 1(С) = <1<4 1 б х ( — 3, — 3<х( — 1, х > — 1.
142 2 О, ч Находим Р (2!) = (х — 1)1(х+ 2) + 2(х — 1)х(х+ 2)+ х(х — 1) . Из уравнения Р (х) = 0 находим — 1~Я х»=1, хг2= 2 Сравнивая значения у(х»), у(хг), 1»(хз) и У( — 2), получаем, что 9+ бч»3 и 4 162. Определить наибольший член последовательности (аб), если а„= ~/ш м Полагая и = х, элементы последовательности (а„) можно считать значениями диф- 1 ференцируемой функции 2' ! х ! х, х > О, т. е.
о„= у(2»). Пусть стационарная точка хз функции у удовлетворяет неравенствам й < хб < О+1, й е л. тогда, если последовательностд (и,„) имеет наибольший член (шаха„ ), то он равен большему из чисел: а», ас, аае». 1 — — 2 По производной у ! 2 1 х (1 — 1пх) находим стационарную точку хб = е, в которой, очевидно, достигается максимум )'. Следовательно, й = 2. Сравнивая числа а» = 1, аг = ъ'2 »; »бл аз = Ч3, получаем: шах об 22 223 1,44.
В 163. Доказать неравенство — < хг + (1 — х)" ( 1, если О ( х ( 1 и р > 1. ~ Рассмотрим функцию 1' ! х б-» х" +(1 — х)". ее производная )б г. ! р(хл ' — (1 — х)2 1) обращается в нуль в точке г = —. Сравнивая числа 1'(0) = 1, 2 (-) = — „,, 2 (1) = 1, находим, 1 11 1 1 что шах у(х) = 1, ш»в )'(х) =,— „,, Отса»да следует доказываемое неравенство. В 2«..1 б« 1 2 х+1 164. Доказать неравенство — ( г (2 при — бх» < х (+бю.
3 х2+я+ 1 М Доказательство основано на сравнении гетырех чисел; *(х) у~»б(х), 1»ш у(х), 1»л» Ях), где У(х) = (х + 1)(х + х + 1) г Следовательно, при х = 1 достигается минимальное значение функции у, равное з, а при х = — 1 — максимальное, равное 2. 165. Определить "отклонение от нуля" многочлена Р(х) = х(х — 1) (х + 2) на сегменте [-2, 1], т. е. найти Ег = зар [Р(х)[. -г« 1 186 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 166. При каком выборе коэффициента д многочлен Р(х) = хг+д наименее "отклоняется от нуля" на сегменте [ — 1, 1], т. е. Ер = звр [Р(х)] принимает минимальное значение? -гез<1 М Сравнивая числа Р(0) = д, Р(т1) = д + 1, находим, что зар [Р(х)] = так(]д], ]д+ 1Ц = '] [ + 1[ если ] + 1] ) [ ]д], если )д] ) )д+ 1], т.
е. зар ]Р(х)]= ]д+ г [+ ~. Далее, имеем 1 Ю ппв Ер = ггпп гггак(]д], ]д + 1Ц = ппп г ~д + -! + — ( =— Я г прид=--. ь 2 167. Абсолютным отклонением двух функций Г и д на сегменте [О, 1] называется число г.'ь = звр ]г"(х) — д(х)]. «ехдь Определить абсолютное отклонение функций 1: х м х и д: х м х на сегменте [О, 1]. ° я Дифференцируемая на [О, 1] функция х: х м у(х) — д(х) на концах этого отрезка принимает равные значения Ьг(0) = Ьг(1) = 0 и на интервале ]О, 1[ имеет единственную стаг ционариую точку х = у.
Следовательно, А = глах] [Ьг(0)], /Ьг (-! [ [ = /Ьг [-! ! = —. и 168. Определить минимум функции ! ': х м пгак(2]х], ]1+ хЦ. 4 Если 2)х[) [1+к], то щах(2]х), [1+хЦ = 2]х]. Иначит, 1: х ь 2)хЦ если — оо < х ~< —— или х ) 1. Далее, если 2]х] < ]1 + х], то щах(2[х[, )1 + хЦ = ]1 + х].
Следовательно, !': х м ]х + 1] прн — — < х < 1. Таким образом, Г. х м ]х+ Ц, если — — < х < 1, г 2]х[, если х к ] — —, 1]. По производной 1 , :хм если — — < х < 1, ! з 2вбпх, если х й ~- —,, 1], 1 / йг видим, что точки хг = — — и хг = 1 подозрительны на экстремум. Сравнивая числа 2 ( — — ! г! 2 г и У(1) = 2, находим !' и = —.
и Упрагкнения для самостоятельной работы Исследовать на экстремум следующие функции: ,...Фб, 1+8+ Р+ е,' =О, 369. !': х ~ г ~ — 1, х=с. ехр ( —,,), х ~ т1, ] О, х=1Чх= — 1. г 1 1 371. Г:хм — + ~ '— '",0<х<э'. 372. т':х~ ]х[ь(1 — ь)г(2 — х)г, хбИ. ь=г Ь вЂ” г —— 373. !':х —., 0 < х < х. 374. у: хь ]к[од]1 — х[ г.
375. г; х м соз' х+ с1г' эх. 376. ~: х м -(созх+]сов хЦ. 377. у:Х У,к=31 — 1,0=41 — ть,0<1<1. 3 11. Построение графиков функций по хараггтерным точкам 187 378. У ( у««-«1 + сов (р, 0 < у«< —,", . 379. у ( Х -«У, х + у + х у + 1 = О. Найти минимумы следующих функций: 380. у ( х «шах (с!< г + —, 4 — сй х]. 381. у ( х ««и<ах(1 — (х+ 3(, 1 — )х(, 1 — (х — 2) ]. Найти максимумы следующих Функций: 382. у ( х ««пнл(х+5, )ах, 1 — х). 383.
г ( х « ° <пгниг — х, (х+ 2) — —,, --' — — ь== — ~ [. Найти наибольшие значения следующих функций; 384. У'(х~ (х — 1)з(х — 2), — 3(х«(4. 385. У(х«««сз, — 1«(х«(1. ( —,',„, О<(х!<гг, х= Найти наименьшие значения следующих функций: !л) 388. )" (х«-« — *+-хз — — 'хз — <х+1, — 3(х(2. 389. 1(х« ~,'вш)ехх«1цх«<4. ь=< 390.
<" ( Х у, хз + уз — 4,5ху = 0 (0,5 ( х ( 1,5; 0 ( у < х), у — непрерывнал функция. 391. У' ( х «-« — вш(аз)п г), О ( х ( —, а > О. В следующих задачах для данных функций у определить их приближения Т' так, чтобы зир (у(х) — у'*(г)! был минимальным (функция ~" называется *<ебышевским приближение(и): <*(ь 392. У' ( х ~ хз; ) ' ( х «- ае + а<к~ + азх~, 0 ( х ( 1. 393.
У'(х~ е';г'(х~ ав+а<х-~-азх<,О<в(1. 394. )' ( х ~ е; 1' ( х ~ -~„,, О < х ( 1, 393. У' ( х «-«хз — 6хз + бх + 1; у"" ( х «-«азх, 1 ( х < 5. Найти наименьшие и наибольшие значения следующих функций: « 396. у ( х «-«е ' [и(2+ мл —,), х ф О, х Е [ — л, х]. ) — !а)з)пх), х фух, 397. <л (х «-« ' й ' й Е чю, на отРезке [-4л, 4х]. Найти ш11(х), виру(х) следующих функций: 398.
у ( х «с э ( — +ыпх), х ф —, у (-) = — 1 на интервале]0, +со[. 399. Г" ( х «)в)п х — ]х — а]( иа ] — 1, 1[. В следующих задачах для данных функций г" найти приближения у Е (у'*) так, чтобы зир )!'(х) — у "(х)( = !пЕ вир [г"(х) — у "(х)], о<в<в !< ) еэе где аз+а<в+азх, 0(х(хе, г (йв+ 5<с. + 5зхз) ', хо < х <+со.
400. у ( х «- —,', . 401. у ( х «-«(1 + х ) е ( — '( -*. а. <:,<«'«.' -. ~ 11. Построение графиков функций по характерным точкам Исследование и построение графика функции у = у(х) целесообразно проводить по следун«щей схеме: 1. Определшпь область существования функции, периодичнос<вь, и<очки пересечения с осью Ох и интерваль< энакопостоянства, симметрию графика функции, найти и<Очки разрыва и пи<верзиле< непрерывности. 2. Вынснить вопрос о сущесп<вовании асимптот. 3. Найти интервалы моноп<онносп<и функции и п(очки экстремума. 188 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 4. Указать интервалы сохранения направления выпуклости и точки перегибп графика функции. 5. Построить график функции. Построить графики стедующих функций: 169. у = 1. Функция определена и непрерывна при всех х, положительна при х > 2 и отрицательна при х < 2; у(2) = О. 2. Из 1пп у = ж1 следует, что у = 1 — асимптота хс графика функции при х +со, а у = -1 — лри х 3.
Поскольку производная 1 2х+ 1 <О прих< — —; У ту4(хз+ 1)з > 0 при х > — —, Рлс. 22 то функция убывает при х < — — и возрастает прн х > 1 2 1 --, а нри х = — — имеет минимум, равный — 4225 — 2,24. 2' 2 4. Судя по знакам второй производной: <О приг< — —; звЛТ, з з+осгТ з- /м1 >0 при — з <х < з- ЛТ < 0 при — <х, з 4(х+1 ) ~ — ) <О прих<0; у 2 >О прих>0 Рнс. 22 заключаем, что функция убывает при х < 0 и возрастает при х > О, а при х = 0 имеет минимум, равный — 1.
4. Поскольку 4 й 4' В 4 1О44 з (с~+1) з ) (с~+1)з +3хз — х з ) < 0 (О < !х! < +со), '1 у" = — — х 9 то график функции выпуклый 5. По полученным данным (1+ х)2 У= с- М 1. Функция определена, вверх и точек перегиба нет. строим график функции (рис. 23).
и непрерывна и положительна при всех х > О. заключаем, что прн х < — '— „— 1,18 и х > з 0,42 график функции выпуклый 24 /4Т -з+ ЛТ з-4 ЛТ з- 41 вверх, при — '+ < х < ' график выпуклый вниз; точки перегиба х1 — 1,18; У1— е з -2,06 н хз 0,42; уг -1,46. 5.
График функции изображен на рис. 22. в 170. у = ьгхз — '/Р+ 1. м 1. Функция определена, непрерывна и отрицательна при всех х; ее график симметричен относительно оси Оу, поскольку у(х) = у(-х). 2. Поскольку предел 1нв у равен нулю, то у = 0 — асимптота; других асимптот нет. 3. По знакам производной 2 11. Построение графиков функций по характерным точкам 2. Из очевидного равенства йш у = +со следует, что х = 0 — вертикальная асимптота +а при х +О.
Имеется наклонная асимптота у = Ьх+Ь, где Ь = Бп! -" = 1, Ь = 1цп (у-х) = +а +! з г -,т,е. у=х+-. г' 3. Первая производная у' удовлетворяет неравенствам з (О, солих < у = —,х 2 (1 + г) 2 (2х — 1) >О, есле х > 1 г следовательно, функция убывает при 0 ( х < — и возрастает при х 1 минимум, равный '— а<<3 2,60. 2 4. Поскольку > —, а нрн .а =. — имеет ! 1 г 2 1 у"=-х (1+х) 5>0 (О<я<+„), то график функции выпуклый в><из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
