И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2 — у — )1 — х — у! — !1+ х — у! — (у! = О. ~ 12. Задачи на максимум и минимум функции 2(х) < 1(хо) ш го. Так как функция у(х) монотонно возрастает в строгом смысле, то из неравенства ? < 2о следует неравенство у(,Г) < уУ»), что н требовалось доказать. Аналогично, предположив, что в точке хо функция у(У(х)) достигает максимума, придем к выводу, что функция 2(х) така»е достигает максимума.
° 191. В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму? 4 Пусть у — основание искомой системы логарифмов. Тогда согласно условию имеем 1об„х=х (х>О, у>О, уу1). а.-, у,' )с О 1 откуда у = хй. Функция у уже исследована нами в примере 1?4. Из 1 него следует, в частности, что у не превышает ушах = е 3 т. е. во всех системах с основанием у (О < у < е», у т= 1) Рис. 53 такие числа существуют. ° 192. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью. М Пусть высота прямоугольника х, ширина 2у. Если обозначить через го дугу сегмента„а через 2у — дугу, стягиваемую стороной прямоугольника, то получаем, что у = Всйп у; х = ОŠ— ОВ = В(соя у — соло) (рис.
53). Следовательно, площадь прямоугольника равна В = 2ху = 2В сйлу(сову — соло). Приравнивая нулю производную В'(у) = 2В (2 соз у — соз у соз о — 1) = О, 189. Доказать, что если функция )'(х) неотрицательна, то функция Р(х) = сг (х) (г > О) имеет в точности те же точки экстремума, что и функция ?(х). М Для определенности предположим, что в точке хо функция ?(х) достигает максимума. Тогда существует такое б > О, что для всех х из окрестности О < ~х — хо', < б справедливо неравенство 1(х) < ?(хо). Так как Г(х) > О и с > О, то из последнего неравенства следует: суо(х) < с)о(хо), т.
е, Г(х) < Г(хо). Последнее означает, что в точке хо функция Е(х) достигает максимума. В случае минимума поступаем аналогично. М 190. Доказать, что если функция у(х) монотонно возрастает в строгом смысле при — со < х < +ос, то функции у(х) и у(?(х)) имеют одни и те же точки экстремума. 4 Пусть в точке хо достигается максимум функции ? (х), Тогда при всех х из окрестности О < ~х — хо( < б справедливо неравенство 1 12. Задачи на максимум н минимум функции находим,что -;- «и ° — «гг« «ь СОЗ Ьоь —— 4 соз рг = 4 Дуга ьгг не подходит по смыслу задачи.
Так как 5'(Ьгь — е) ) О; 5«(ЬОь + О) < О (е > Π— достаточно малое), то при созрь = 4 х = асозт, у = Бейл К ь Тогда В = 2аБ шп 21, откуда Вшэг = 2ОЬ, при 1 = —, а х = «е, у = —;. > х 194. Через точку 24(х, у) эллипса — + — = 1 провести касательную, образующую с а2 Б2 осями координат треугольник, площадь которого наименьшая. ч Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами (хо, уо) имеет вид.' — + — =1, х2 о ууо аг Бг *г ь' — и —. ОО ЭО откуда следует, что касательная отсекает от координатных осей отрезки длиной агьг Следовательно, площадь треугольника 9 =— 2*О ОО «ь Если уравнение эллипса параметрнзовать, то В = —..., откуда 5гмв = аБ ь хо = я уо = я 1» при 1 = — ; 195. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равно» бедренной трапеции.
При каком наклоне р боков "мокрый периметр" сечения будет наименьшим, если площадь "живого сечеииягцводы в канале равна Я, а уровень воды равен Й? м "Мокрый периметр" Р определяется по формуле (рис. 54): 2Ь Р= а+— Шп ЬО Рпс. 54 Площадь "живого сечения" воды: (2) В = й(а + ?Осьб 52). Из формул (1) и (2) находим В 26 Р = — — Ь сьл ЬО + —. Б зш 52 Производная функции Р, равная 'Ь, 2, 2 показывает, что прн ЬО = — достигается минимум функции Р. Ь 196, "Извилистостью" замкнутого контура, ограничивающего площадь Я, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади,5'.
Какова форма равнобедренной трапеции АВСР (АРОВС), обладающей наименьшей "извилистостью", если основание АР = 2а и острый угол ВАР = а? функция В(ЬО) имеет максимум, У У 193, В эллипс —, + — = 1 вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям а2 Б2 эллипса, площадь которого наибольшая.
а Пусть х и у — длины полусторон првмоугольника. Тогда В = 4ху, причем х и у— кординаты точки, лежащей на эллипсе. Для упрощения следует записать параметрические уравнения эллипса; 202 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной С ч Пусть П вЂ” "извилистость" трапеции.
Тогда, согласно определению, имеем (рис. 55): й П= —, 2хггяВ где В = "~ "АВз1во; й = 2АВ+ ВС+ 2а. Так как 2а — ВС = 2АВсоза, Рис. 55 то, обозначая АВ = х, получим 2а+ х(1 — соя о) 11(х) = ~)* '" Исследуя функцию П(х) на экстремум, находим, что она имеет минимум при то х = азес 2 Г2 о = 2хт)г —. ~(з 198. Два корабля плывут с постоянными скоростями и и и по прямым линиям, составляющим угол д ме"кду собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны а и Ь.
т < По теореме косинусов имеем т = (а+ит)э+ (5+ зг) — 2(а+ ит)(5+ ее) (рис. 56), где т — расстояние между кораблями в произвольный момент времени и Исследуя функцию т~(1) на экстремум, находим, что (Ьи + ах) соз г) — аи — Ье то = г ит — 2ие сов 0+ х л т'(га) = 0 Рис. 56 Подставляя гэ в тэ(1), получим )иЬ вЂ” ха(зш й 'т:ь..,,тт, ' Если и поменять на — и, то в силу тождеств мв(л — д) = ил д и соз()г — д) = — саад т 2 эЧтэ 199. Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов В и т (л ) т) и расположена вне этих шаров, При каком положении точки сумма площадей освещенных частей поверхностей шарон будет наибольшей? Иэ (1) получаем ВС' =- 2а гд~ —; так как половина высоты трапеции т = — *шло равна расстоэ ' 2 янию от точки О(а, т) до стороны АВ, то в найденную трапецию можно вписать окружность радиуса т.
И 197. Какой сектор следует вырезать нэ круга радиуса В, чтобы нз оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости? и Если под о понимать центральный угол оставшегося сектора, то объем конуса И равен з — о. 1(4л — и . Л 24)гз Исследование этой функции от о на экстремум показывает, что максимум ее достигается при 203 6 12. Задачи иа максимум и минимум функции м Найдем сумму площадей освещенных частей поверхностей как функцию расстояния х. Имеем (рис. 57) ,У = 2х??(?2 — хэ) = 2х?? ~1 — — ); э/ Л1 хг'' г г г 51 =2хг (1 — — 1 (а>г+х), а — х1 где а — расстояние между центрами шаров. Исследован функцию Я+ 55 = 1 на экстремум, находим значение х, при котором достигается максимум этой функции; прн этом а а>г+х=г+ 1+( — )э откуда а ) г+ Я (( —.
?л Если же производная 1'(х) < О, то максимальное значение функции 1(х) достигается при х1 = а — г; при этом выполняетсл неравенство а<с+ —. 1» у г Рис. 58 Рнс. 58 Рис. 57 ом00. На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей? М Под освещенностью Х понимается величина ? =6 —, з1л и гэ где г — расстояние от источника света до точки наблюдения, А = салаг, р — угол, изображенный на рис. 58.
Имеем 1(х) = (аэ + хэ)з откуда наХодим высоту хэ,при которой достигается максимум функции 1(х): хэ = -~ аэ 201, К реке шириной а м построен под прямым углом канал шириной 6 м, Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал? М Длина корабля 1, как следует из рис, 59, равна 6 а — +— гйл Ээ соз и Исследовав иа экстремум функцию 1, получаем, что минимальное значение она принимает при Таким образом, максимально возможная длина корабвя равна э аз -1-6э м Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 204 202.
Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной а руб., и переменной, возрастщощей пропорционально кубу скорости. При какой скорости в плавание судна будет наиболее экономичным.' М Предположим, что судно прошло Я кн за Т суток. Тогда расходы гг будут равны Та+ ЙТи~, где й — коэффициент пропорциональности, Но так как Т = —, то з Я = — '+ йдэ, Рш э откуда находим скорость, при которой расходы минимальны: з ~а э= )/ —. 'У' 26' 203.
Груз весом Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина ее будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен йу Р м Проектируя приложенные к грузу силы на горизонтальное напра- вление,из условия равновесия их получаем (рис. 60): Ф Т = Угй = (Р— Е в1л оо)й = Рт = Р сов Эо, Т О Р, откуда Р= Исследован функцию Р(во) на экстремум, находим, что при оо = Р агсвдй величина силы Р будет наименьшей. и 204. В чашку, имеющую форму полушара радиуса а, опущен Рис.
60 стержень длины! > 2а. Найти положение равновесия стержня. < Найдем потенциальную энергию П стержня относительно дна чашки. Имеем П = гадй, где Й = —, вш И+ у — высота центра тяжести стержня относительно дна чашки (рис. 61). ! э Далее, так как об со = —" = ~~, то получаем х -а сов 2со. Использовав уравнение полуокружности, находим, что у = а(1 — в1в 2у). 64Гну оо Итак, П = глд (-'в1в оо+ а(1 — мп 2со)) . Поскольку стержень стре- ~ О жду х мится занять положение с минимумом потенциальной энергии, то необходимо найти соо, при котором достигается Плбо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
