И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1 А Вх+ С Вх+ Š— + + хз — ха+ха — хг+х — 1 х — 1 ха+к+1 хг — х+1 Из тождества 1 ы 21(хг + хг + ц+ (Вх+ СИх — ц(хг — х+ ц + (Вх+ Е)(хз — ц получаем систему Гл. 3. Неопределенный интеграл 228 одинаковых степенях х в обеих частях этого тождества, О =Р+Е, О = — А+2Р, О=А — 2 — 2Е, 1 = — 2А+  — ЗС' — 2Р, О=С вЂ”  — Р+Е, решая которую, находим А=В= — —, 1 8' С= — —, Рэз — Е= — —. 1 1 4' 16 Следовательно, 28х хг+х+2 1 )к+1~ (х — 1)2(х+1)з 8(х — 1)(2+1)2 16 ~х — 1! а1. (хз .ь Цг ' 4 Имеем 82 Ахг+Вх+С ! 42 ) Ех+Е +Р ( — + ( 82. (ха+1)2 +1 / х+1 / хг — х+1" Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 1 ы — Ах — 2Вх— з з ЗСхг + 2Ах + В + Р(х — х + х + х — х + 1) + (Ех + Е)(х~ + хз + х + 1), откуда , з ,з 2 х хз Р= — Е=— 2 9 А = С' = О, Таким образом, 82 х 2 2 / х — 2 (х'+1)' 3(х'+1) 9 + .~.+ц 9 / 22 — х+1 х 1 (х+1)г 2 2х — 1 + — 1и + — агссб +С„хф — 1.
М 3(хз+ Ц 9 хг — 2+! Зьгз ига 82. (хг + 2х + 2)2 ° я Имеем 24 Ах+ В ~ Сх+ р + 82, (ха +2х+ 2)г 22+ 22+ 2 ( хг+ 2х+2 откуда, дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество х ги А(ха+ 2х+ 2) — (Ах+ В)(2х+ 2) + (Сх+ Р)(х + 2х+ 2). Для определения неизвестных получаем систему О=С, 1 = — А+2С+ Р, О = — 2В+ 2С'+ 2Р, О = 2А — 2В+2Р, решая которую, находим А=О, В=1, С=О, Р=1.
Приравнивая коэффициенты при получаем систему 4 з х2 о О= О= О= О= О= 1= Р+Е, — А — Р+Е+Е, -2В+ Р+ Е, — ЗС'+ Р+ Е, 2А — Р+ Е+ Е, В+Р+Е; 1 3' 32. Интегрирование рациональных функций Тогда 1( )= хяк 1 + агс28(х+ 1) + С. Ь (хг + 22+ 2)2 хг + 2х+ 2 83. ( '+1)' М Имеем 1хз+ Вхз+ Сх+ Р / Ехз+ Гхг+ Сх+ Н (24 .1- 1)2 хв + 1 / ха+ 1 Решая систему, получаем 1 3 А=В=О=Е=Г=С=О, С= —, Н=-. 4' 4 Следовательно 41х х 3 1' Ах (х'+ 1)г 4(х4+ 1) 4 / х'+1' Пользуясь результатами примера 75, окончательно находим Зх х 3 хг + х 242 + 1 3 хь22 Зтв(х) + 1а 2 +С, (х4 + 1)2 4 (24 + 1) 16Я х2 — хЯ 4- 1 8212 1 — хг ЗЯ где г(х) — то же, что и в примере 75. ~ Применяя метод Остроградского, интеграл представим в виде 11х Ахг+ Вхв+ Схз+ пхв+ Ехз+ Гхг+ Ох+ Н / 74хз+ 122+ Мх+ К / 4 41х. цг (24 1)2 х4 Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 1 = (х — 1)(7Ахв + 6Вх" + 5Сх + 4Вхз + ЗЕх + 2Гх + С)— — Зхз(Ахг+ Вх + Схз+ Вхв + Ех + Гхг + Сх+ Н) + + (х — 2х+ 1)(Кх + Хх + Мх+ 17).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем хв 4 х г 11 х1 0 з в О=К, 0= — А+А, 0 = — 2В+М, 0= -ЗС+Ж, 0 = -4 — 2Л, 0 = — 7А — 5Š— 2Х, х в Решая систему, получаем 7 11 С= —, С=- —, 32' 32' Ф = —. 32 А = В = В = Е = Г = Н = К = Ь = М = О, Таким образом, дх 7х' — 11х 21 ~ 412 (хв — 1)з 32(24 — 1)2 32 / х' — 1 откуда 1 = (ЗАх + 2Вх + С)(хв+ 21 ,в хв х4 1) — 422(Ах + Вх + Сх О=Е, хз 0= — А+Г, хг 0 = — 2В+С, О=-ЗС+Н, х' +Р)+( 4+1)(Е 3+Г 2+С +Н) О= — 4Р+Е, О=ЗА+Г, 0 =2В+С, 1=С+В, 0 = — 6 — Оà — 2М, 0 = -5С вЂ” 7С вЂ” 2Х, 0 = — 4Р— ЗН+К, 0 = -ЗЕ+ Х, 0= — 2Г+М, 1 = -С+У.
Гл. 3, Неопределенный интеграл 230 Вычисляя последний интеграл, окончательно полу <аем !1х 7х — 11х 21 1х — 1 ! 21 — + — 1и ~ — ~ — — агсгбх+ С. ~ (х' — 1)3 32(24 — 1)г 128 ~ к+1 ~ 64 Выделить рациональную часть следующих интегралов: 85. х + 13, (х4 -1- хг + 1)2 М Имеем хг+1 Ахз+ Вхг+ Сх+ Д 1 Ехз+ Гхг+ Сх+ Н (х4-1-хг+1)2 х'+хо+1 ( х4+хг+1 откуда получаем тождество х + 1 = (х + х + 1)(ЗА32+ 2Вх + С) — (4хз + 2х)(Ах + 2+С +В)+( 4+ 2+1)(Е 3+Г 2+ С +Н) Из системы уравнений х7 х 5 4 хз 0 = — 4В+ С+ Е, хг 1 = ЗА — С+ Н+ Г, .о 0 = 2 — 2Р+ С, хо 1=С» Н О=Е, 0= — А+Г, 0 = -2В+ С+ Е, 0 = А — ЗС+ Г+ Н, находимАж-, С=-, В=РззС=О, Г=т, Н= —.
1, 1 1 2 О' ' 3' ' О' 3 Таким образом, рациональная часть равна выражению хз+2х 6(х4+ х2+ 1) ' . 24 4х' — 1 (х'+ х+1)2 М Разложение ищем в виде решая систему уравнений 4 з 2 хо 3 .7 о 5 О = ЗА — ЗЕ+С+ Г, 0=4А+2В+С+Н, 0= ЗВ+С+ К+Н, 0 и 2С+ А+К, — 1= — Е+1, Г, — А+С, — 2В+ Н, — ЗС+ 11, — 4В+ Ь+ Г, 0= О= 0= 0= 4= х хо находим А = В = С = Е = Г = С = Н = К = Е = О, 0 = — 1. Таким образом, интеграл сводится к своей рац!юнальнои !асти: хз+х+1 Применяя различные методы, найти следующие интегралы: м Имеем 4хз 1 Ах!+ Вяз+ Схг+ Ох+ Е 1 Гх4 + Схз + Нхг+ Кх+1 41х = + 3~ !(х, (х'+ х+1)' х'+х+1 / хо+ х+1 отсюда получаем тождество 4х — 1 гл (хз + х+ 1)(4Ахз + ЗВхг + 2Сх + В)— — (Зх4 + 1)(Ах + Вх' + Сх + Вх + Е) + + (хо + х+ 1)(Гх4 + Схз -1-Нхг -1-1 х. + В); з 2.
Интегрирование рациональных функций Используя пример 73, окончательно имеем Г хз+; 1 1 2хз — 1 1 (ха+ 1)2 — !Гх = — а!сод х + — агстб — + — !и +С'. Ь хо+1 3 21/3 ч23 12 х — х +1 88. Зх. х(хв + Зх! + 2) м Полагая х! = г,находим ,' — 3 1 ~ (! — 3)зг !гх =— х(хв + Зхв + 2) 4 / !(!+ 1)(Г+ 2)' Разложение Функции на простые дроби ищем в виде ! — 3 А В С г(1 + 1)(! + г) ! 1 + 1 г + г ' откуда à — 3 = А(Г+ Ц(!+ 2) + ВГ(1+ 2) + Сф+ 1).
Полагая последовательно г = О, -1, — 2,находим 3 5 А= — —, В=4, С= — —. 2' ' 2 2о-1 8Я. / — *лх. з+1 ° Имеем 1 '" ' „, 1 " хо+1 * и / х" +1 и / х" +1 =-' ~(1- „' )З(х")=-'(х"-!п)х-+1))+С, где — оо ч х ( +со при четном п и х Ф вЂ” 1 при нечетном и ~ О. ЯО. 10 +1Р М умножая числитель и знаменатель на хв, получаем !гх 1 1 !2(х ) 1 / (х +1) х !( в х(х!О 1, 1)2 5 17 хв(210 .! 1)2 5 / хв(х10 + 1)2 1 1 х х в 1 в 1 1О 1 — — !1(~ ) = — !п)х ~ — — !п(х +1)+ ( хв 210 ! 1 (хго+ 1)2) 5 ' 10 10 (хво + 1) +С= Г 1О 1 — !и — + — +С, хт О. в 10 х +1 х +1 7 х(1+ хг) < Полагая х = г, получаем / х(1+хг) 7/ 1(1+!) 7 ( Г(1+!) 7/ 1 1 = -(!п)Г) — 2!п)1+ Г)) т С = — !и 7 7 — —,) !1= ,, +С, хФО; — 1. И (1+ хг)2 Таким образом, хв — 3 3 5 х(хв + Зхв + ') 8 Зх = --!в)!)+!и)!+ П вЂ” -!и|1+ г)+С = 8 8 = — — !их!+1п(хо+ 1) — — !п(х + 2)+ С, х Ф О.
и 8 232 Гл. 3. Неопределенный интеграл ха+за+1 М Имеем при х ва О Л'. =Л, " 1 г г — 1 ~ Сы если г >О, 1 Вследствие непрерывности первообразной имеем Ф(-О) = ' + С, = - — '+ С, = Ф(+О), 2т/3 2т/3 где Ф(х) — первообразная подынтегральной функции. Таким образом, -(.' ха+1 ( 1 агсвк:~ ~ — "' вбит+С, г -6 О, Дк — /3 /в г в аз+ха+1 ( С к=О. г 93. кв + ха + кг + х -~- 1 < После очевидных преобразований имеем г Г 1 — — а(к+ — ) й =1 "',,йк=) кв+кв+аз+ к+ 1 ./ ха+к+ 1+ — + —, у (к+ -') + (к+ — ) — 1 ы1 (х + — + —,, ) 1 2к' + (1 — т/5)к + 2 = — 1в -~-С, й (к т — '+ 1) — в т/5 2х'+ (1+ т/5)к+ 2 94.
1 к ' як. в 11 М Аналогично предыдущему примеру имеем =' /'',-' в 1 к +1 2/ к +1 2/ 3 (кг + — ') 1 к' — кгт/2+ 1 — — 1и +С. и 2 у' ( г Ф вЂ” ',) — 2 4чг2 кв+ кгт/2+1 Г в+1 М Производя надлежащие преобразования, получаем х'+1 /' (х' — х'+1)+к' / дг /' х'3х кв -~-1 / (кг -~-1)(к' — кг Ф 1) ) кг+ 1 1 ха Ф 1 + — / = агстд к + — агстд (к ) -1- С. й Ык 1 Й(к~) 1 г = / .г+1:1 / кв+1 = 3 ак 96. Вывести рекуррентную формулу дл» вычисления интеграла 1„= у (ак + к+с)'* лк а ф О. Пользуясь втой формулой, вычислить /г = / ( м Используя тождество ах + 6к+ с = — ((2ак+ 6) + (4ас — 6 )) г 1 г г 4а и производя замену 2ах+ 6 = В, получаем 1„= — / (4а)" 1 <й где,Ь = 4ас — 6 .
г (гг + 26) ' 3 3. Интегрирование иррациональных функций Упражнения для самостонтельной работы Методом неопредоленных коэффициентов найти интегралы: Св+зг12Ое 21 ' г з вгв+взз в .. з зэ вч ззгг+г+г Найти рациональиунз часть в следующих интегралах: з+ +Вг х 1 Сг+2121 гг +СИ. г С„вэгР 96 ,С Сга„вв ') 3.
Интегрирование иррациональных функций С помозцью приведения подынтегральных выражений к рациональным функциям найти следую!цие интегсзалы: 97. / ~сх, х зс — 1. 1 х /2+х / х+ т~/сг+ х М Полагая х + 2 = Сз, имеем хтз'2+ х ~ С вЂ” 2С х+ гг+* ) сз+с-г с2 Сс — 1Ис'+ 1+ 2) 1 Зв 32 / Зсг — бс 4 2 + / (С-СИсз+С;2)"' К последнему интегралу применим метод неопределенных коэффициентов: ЗСг — 61 А ВС+ С (С вЂ” 1Исг+С+ 2) С вЂ” 1 С + 1+2' Отсюда находим 15, 3 В= —, С= —— 2 3 А= — —, 4' и вЫчисляем интеграл 3 ЗС 16 С— г аС вЂ” С ' ° зз ЗС вЂ” бс 1)~сг + С + з) Зс— 3 2 27 2С+ 1 = — — 1и )С вЂ” Ц + — 1в )С + С + 2) — — агссб — + С.
4 8 4,/7 ',С7 Интегрируя по частям 1„,, получаем лс 2и ' (Сг+ 23)з — ' ' ' / (Сг+ Ст)" 1 га(Сг+ ьз)" ' а / (12+ 23)" ' а / (Сг+ С1з)з Решая это равенство относительно 1„, находим (4а) з ' С (3 — 2а) 2а за(1 — зз)112+ гз)з ' (1 — зз)сз Подсгавляя вместо С его значение, окончательно имеем 2ах + Ь 2з — 3 2а 1 + 1 з.
(зз — 1)ггсихг + Сх + с)" — ' — 1 СГ В предложенном примере а = 6 = с = 1, и = 3, Ст = 4. Таким образом, 2х + 1 / Лх 'эх+ 1 эх+1 г ~ йх 12= + 6(хг+г:+1)2 / (хг+х+1)2 бсхг+х+1)г 3(хг+х+1) 3 / хг+х+1 + г +— 2х+ 1 г +1 4 г +1 +. + агссб — + С. ° . 6(хг + х + 1)2 3(хг+ х+ 1) Зс23 зУЗ Гл. 3. Неопределенный интеграл 234 Окончательно имеем х/2+х 3 2 3 г 3 2 27 21+ 1 (!х = -à — -1 — — !л(1 — 1!+ — !п(1 -1-1+ 2) — — агсгб +С.
1» х+~~(2+х 4 2 4 8 4х((7 ч(7 ' "(а — ') ч Заметим,что Таким образом, окончательно получим а1 а Гз+Ьч(2+1 а 1 — 1 !=— + — 1и + — агс13 + С, м 1+ Г' 42)2 р — 1хгг+1 2~2 1Я 99. м Заметим, что (а — натуральное число). (!х Положим — ' = !", Тогда, = — г" гй и -2 Ь вЂ” а/Г" '6 — а(6 — аЬ вЂ” аух — а Применяя формулу "' ° 3 =О„,( )у+Л/ —, У У Х( 2" ».() — * »,а.-(*)— Л вЂ” число, найти следующие интегралы: з 1ОО. Л2» — * м Имеем Р2 = (2 ь +г ь + 2) (Г( ~ »- Р 2 2 2 — ( — ) =/') — **,, 2 Подстановка — = 1 приводит к интегралу рациональной функции 1=4а, =а 1(( „, Ос:ге+ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
