И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 51
Текст из файла (страница 51)
х„ яп х 81п — Бгп — Ох = — ~СОБ — — с — — ОБ — БШ вЂ” ОХ = 2 3 2/ ~ 2 2/ 3 1 / . х . Вх . 7х . 11х1 ( — Ип — + яп — + Бш — — яп — г г(х = 6 6 6 =;~(-6— 3 х 3' 5х 3 7х 3 118 соа соз соа 6 + 32 СОБ 2 6 10 6 14 121. яп' зх соаг Зх 48. м Используя формулу П1, имеем 1 Бшг 2Х сояг Зх г1х = — / (3 яп зх — яп 6 х)(1 В = — / ~ззш2х — — яп4х+ 2 + соабх) г1х = 3 2 — яп Вх — яп бх — — яп 12Х) г(х = 119, Вывести формулы понижения для г(х а) 18 = З~ Бш" х г(х; б) К < Интегрируя по частям, получаем: г-г — г а) 1„= — / Бш" хг((сов х) = — солхзш х+(и — 1) / Ип" хсоз хох = -г г = — сОБ х Бш х+ (и — 1)1, -г — (о — 1)1 г, Применяя формулы: !Ч. з|п(о — 8) = з|п((х+ о) — (х + 8)); Ъ'.
соз(о — 8) = соз((х + о) — (х + |3)), найти интегралы: 122. и!п(х + а) яп(х + 6) я Имеем Г |!х 1 / яп((х+а) — (х+6)) 4х= яп(в+ а)зш(х+ 6) ап(и — 6) ( вш(х+ а)з|п(х+ 6) 1 ~г ~ соз(х+ 6) / соз(х+ и) !) 1 ~яп(х+ 6) 3х— !(х !п +С, в|л(а — Ь) 1 ) яп(х+ 6) ( з!п(х+ а) / в|п(а — 6) ~ яп(х+а) яп(а — Ь) ~ О. х 12З. з|п х в|и а я Из тождества сова = сов(~. — -~ — ) следует / з|л в|8(х + а) !!х. Интегралы вида Й (зш х, сов х) ах, где Й вЂ” рациональная функция, з общем случае приводятся к интегрированию рациональна|я функц|ш с помощью подстановки |8 — = |.
1 а) Если выполнено равенство Й( — 3!в:Г, созх) = — Й(з!пх, созх) олн Й(мпх, — созе) = -Й(зшх, созх), то выгодно применять цодстановку сове = | или соответственно япх = |. б) Если заполнено равенство Й(-в!пх, — сов х) = Й(з!пх, совх), то применяем подстановку |пх = |. Найти интегралы 125. 1 = 2 ап х — соз х+ 5 124. / |д я Имеем |8 х $8(х + а) ! 4. Интегрирование тригонометрических функций 3 3 3 1 1 = — — сов 2х + — сов 4х — — сов 8х + — сов бх + — соз 12з + С. ~ 16 64 128 48 192 3х )' '(( —,) — (+)) х — япа 2 сова у з|п: соз т~ сова сов ст-" ~ 2 2 з сова фО, япх~апа.
Р / ( сов х сов(х+ а) -!-яп хан(х+ а) / '! сов х соз(х + а) соз а соз х 4х — х = — х+с!да!п +С, соз х соз(х + а) сов(х + а)( яп а ф О, соз х ф О, соз(х+ а) ~ О. ° 1 л. 3. Неопределенный интеграл 244 и Нолагая 1 = тд —,, (2п — 1);г < х < (2п + 1)т> и Е в', получаем 41 1 81+1 1 818 — +1 1 = = — агс18 -'г С„= — аштд + С,. 1 812+21 1 1 /5 гб '" Д ь/5 Из непрерывности первообразиой с/и дует 518-", +1 х /х+ т1 /==агсзд ' + — ~ ~+С, хф(2гг+1)т; г/5 2ц+ 1 1 = !пп 1(х) = /г, х = (2п+1)в', и Е У. Н -(гвты 2 /5 1 в(п х сов" х ( вш х+ сова х * м Положим / = гя 2.г, — ",," — „- < /: < — ", + — '*", и е хС.
Тогда 1'41 1+ т/2 )" (1 чл2 — 1 ( 1~ + 81~ + 8 2 / Ьз .1. 4+ 2з/2 т/22 / Ьз + 4 2т/2 ~/4+2 т/' т/4 — 2 т/2 Ъ/2+ т/2 182х ./2 — ч::2 162х агстд — агсзд + С„. 1/4 + 2 т/2 '1 1/4 — 2,/2 Из условия непрерывпогти первообраз/го(г следует /т пт т /х //т 1(-+ — -б) =1( — '+ —,, +б), Ей, 4 2 4 т/2 + т/2 г г/2 + т/2 т ., т/1 + /2 т г/2 — т/2 4 2 4 2 4 2 4 откуда (по аналогии с примером 125) находим С„= — (Ъ/2 + г/2 — т/2 — Л) м+ С, С = Св, 4 ' С„= — (т/г2 + т/2 — Ъ' 2 — т/2) ;+С.„, Следовательно, т//2+ т/2 182х 1(х) = агсзд /4+,/2 т//2 — з/2 18 2х — а/сед + 1//4 — 2 т//2 4 (1/2+ т/2 — 2 — з/22) Г 2+ ] (' ")= — — 1пп 1(г). м 4 2) г т ггх +С, хф — + —, 4 127.
Доказа ,( /(х Авшх+ Всовх, ) г(х +С (' (ив(п./+Ьсовх)" (ившх -~-Ьсовх)" ' 1 (ившх+ Ьсовх)" где А, В, С вЂ” неопределенные козффициенты. х — гг 1(2/гх+ т — О) = 1(2/гт+ я+ 0), — +С = — -1-С„е 2з/5 2т/5 откуда находим С„= —, + С, где С = Со - — произвольная постоянная. Из неравенств /в 2ит < х+ т < (2//+ 2)х; и « — '" и+ 1 следует, что и = [*,~ ~ . Таким образом, 1 4. Интегрирование тригонометрических функций 245 я Интегрируя по частям, получаем 1„ = ' , = , , — (и + 1) / э!( — а соз х 4 6 ял х) — а соз х + 6 яп х / (исаях — 6яп х) э(х (а яп х + 6 сов х)шы (и яп х + 6 сов х)"еэ 1 (айп х+ 6 сов х)"+г — исовх+Ьяпх /' (асовх — Ьяпх) +(Ьсозх+аявх 2 г — (в+Ц 2 э Х (а яп х + 6 сов х)" Е' (а зги х+ 6 сов х)"тг откуда 1 6яп х — асов х 1„ = , (п — 2)1„ г 4 (п — 1)(от+62) 1 " (азэпх+6совх)" 128.
Найти / ., э Их (яп х + 2 сов х)' и Используя доказанную выше формулу, находим 1 (/ г!х 2 яв х — сов х 10 ! г яв х+ 2совх (яп х +'?созх)2 ! 1 эг 1 ) Гх 1, 1) 2япх — совх — — !в ~ гд ( — + х агсгк 21) ) + + С, х ф Ьх — агсгд 2. ~ 10 (, 10 ~ (,2 2 ) ! (Ив х+ 2совх) у) 129, Доказать, что ( (а+Ъсовх)'" (и+Ьсовх)и — ' 1 (и+Ьсовх)'* ' 1 (а+Ьсозх)" г' и определить ко;эффициенты Л, В и С, если и — натуральное число, больше единицы. М Интегрируя по частям, получаем г!х / а+ Ьсозг / э(яп х 1„2 = /, Ых=а1„~+6 / (и+ Ьсовх)" 1 1 (и+6совх)" ' ' г (а+6созх)" — э( 6яп х / 6япх г = а1и 1+ — (и — 1) „ эбх, (и + 6 сов х)" (а+ 6 сов х)" откуда, используя тождество 62 япг х = — (а — Ь ) + 2а(а + 6 сов х) — (а + Ь сов х), находим 6яв х 2 2 1„-г = а1„1+, + (и — 6 )(и — 1)1„— 2а(п — 1)1 1+ (и — 1)1п г, (и + 6 сов х)" 61йв х (2п — 3)и и — 2 1 + 2 2 1 — 1 2 2 1и — 2 ° (и — 1)(аг — 62)(и + Ьгоз х)" ' (11 — 1)(аг — 62) " (п — 1)(аг — Ьг) Таким образом, 6 (2п — З)и, и — 2 2 2 (и — 1)(аг — 62) (и — 1)(аг — Ьг) (и — \)(аг — Ьг) г!х 130.
Найти если: а) 0<в<1; б) е>1. 1 1+есовх м положим г = гд -*, (2п — 1)эг < х < (2п + 1)гг, и б е.. тогда г(х 2 / г(1 1 ев 1+есовх 1 — е ) 12+ — ' 1-, — 2 чг) "К С а) 1 = агсгд + С„= агсгд + С . ьг 1 — е т/1+е вгà — е чг) + е Аналогично решению примера 125 находим 2 чг) — егд — 22. гх „'- эг) Эгг) — Ег г)+,г):. ! 2 ! 1((2п+ 1)г) = !цв 1(х), е 12 .~.1) Гл.
3, Неопределенный интеграл 246 + Го /'~Г 1 б) Г= Г / г хф2нх+х. М 131. Найти ~ 4х ,еслиб<е<1. ГГ (1+ есоз х)г ' М Применим формулу, полученную в примере 129. Полагая а = 1, Г(х) = -! 4х 1 ( — емпх / 4х + (1+ есозх) 1 — е 1 1 +есозх Г 1 + хссах/ 1 ( — есйпх 2 е бг + агс1д + 1 — ег 1 1+есозх Гс1 тГГ+ е 6 = е, и = 2, получаем х ~ 2пт+ л, Г(2 + т) = й Г(х). > з го Ез Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от тригонометрических функций: 3 Л г Ееззз »3.
Г,, ' . ~м. Г . 1 . à — *'л 'у-~ . 1 1. à — ' 2 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 132. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и, то М Доказательство проводится с помощью метода интегрирования по частям. Имеем Р(х) е *4х = — е *Р(х) — — / с."*Р'(х) 4х = / л л Г 1 1/1... = -е" Р(х) — — ( — е Р (х) л а1а а Г = е ~ ~ — — — ~ + — Г е Р (х) 4х. Г Р(х) Р'(х) 1 1 о лг ог / Применяя метод математической индукции, находим "=-( ' — ' ) Г Р(х) Р (х) аРГ 1(х)1 + (-1)"+ — е *Р ~ ~(х) 4х, й < я. 1+1/ Положив 1 = и и приняв зо внимание, что РГ" ты(х) кв О, получим требуелгую формулу.
133. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и, то ( -" з(п ах Р" (х) РИ~Г(х) Р(х)солях 4х = ~Р(х) — + —... + ог ( лг лз 1 о. Интегрирование трансцендентнык функций ( совах Р" (х) РП~) (х) Р(х) мл ах йх = — Р(х) — — + —... + а а2 а4 ~Л*2 '" '(х) ' С + 1Р'(х) — + —...1 ~+ с.
аз ( аз аа и при доказательстве используем пример 132. заменяя там а иа га, где 1 = т/-Т, получаем Р(х)с ' а1х=е (ч — 1 — + — +1 — + ... +С. ™ ,, )' . Р(х) Р'(х) .Ра(х) а аз аз Пользуясь формулой Эйлера и разделяя действительные и мнимые части, находим требуемое. М ча34. Показать, что интеграл Л(х) е" йх, где Л вЂ” рациональная функция, знаменатель которой имеет лишь действительные корни, выражается через злементарные функции и трансцендентную функцию — 1(х = й(г™) + С, г)х где й х = / 1вх М Рациональная функция лрелставляется в виде М(х) Ф(х) гле М(х) и У(х) — много пгены. Выделая целую часть (если она имеется) рациональной функции, получаем Д(х) = Р(х)+~), 1,=1 где хак — кратность корня х„А,„— неопределенные коэффициенты.
Наконец, интегрируя Я (х), получаем г Л(х) е'"11х = / Р(х) а" г)х+ ~~1 ~~ А1, / 1 ах. Ь =1 Первый интеграл вычисляется 1-кратным интегрированием по частям (1 — степень мно' гочлена Р(х)). Вычисляя второй интеграл, накопим ,=~-( х 1 1 сея (х —,11)' 1 1 (1 — 1)(х — хь)' ) (1 — 1)(х — хь)1 а / е" йх „,( 1 а + —. , =е" 1' — 1 / (х — хь)' ' ) (1 — 1)(х — хь)1 ' (1 — 1)(1 — 2)(х — хь)' -2 а1-г е'* ах + (1 — 1)(1 — 2) ...
1(х — хь)/ (1 — 1)(1 — 2) ... 1 / х — хг 1 а а + .. + + (1 — 1)(х — х1)' 1 (1 — 1)(1 — 2)(х — ха)' 2 (1 — 1)!(х — хь) 1 -2 . 1 «1 -з1) 1 а' с'' (е + , а(х — хг)= — е,,+ (1 — 1)! 1 х — хь 1 (1 — 1)(х — Ха)1 „' — г 1-2 аас +,, + ... + + —,П(е ")). (1 — 1)(1 — 2)(х — хь)' 2 (1 — 1)!(х — хь) / (1 — 1)! Итак, 1.
Я(х)е" ах = 21(х)+~~ ~~ Аы1;1. Ь =1 Гзз. 3. Неопределенный интеграл 248 Г!! Г!! аз и 135. В каком случае интеграл / Р ( — ) в*в!х, где Р ( — ) = ив + — + ... + — и х ~х~ х х" ав, аз, ..., и„— постоянны, представляет собой элементарную функцию? М Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем / Р Н е Г!х = / (ав + — + ... + — ") с*зх = аг аз из из а„ =иве +и,!!)е ) — — е +изб(е ) — — — —,+ — й!» ) — ...— х 2хз 2х 2 !з! — !)х" и„ и а„ + й !е'). (зз — !)(зз — 2)х" з (зз — 1)! х (и — 1)! Отсюда следует, что если из из а аз+ — + — + ...
+ — =О, !! 2! Ги — 1)! то данный Интеграл есть элементарная функция. Найти интегралы: 136. ~( --'),'3.. И Используя обозначения примера 134 и интегрируя цо частям, получаем )' =~( )* =: - =( ) (1 — -) Гв Г!х = ~ (! — — + — -) с" Г!х = в — 4!1!е') — — е + 4!! !е') = е" (! — -) + С, х Х х~ хфб. ~ Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от гзндукппих трансцендентных функций: 117. ) Г ., ГГх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
