И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 54
Текст из файла (страница 54)
14. Пусть У с Я [и, 6]. Доказать, что [ Г] б Я[а, 6) и Ь у(х) ах < ] ] у(х)] йх м Поскольку функция Г удовлетворяет всем условиям теоремы Лебега, то этим же свойством обладает и функция Щ. Иэ неравенств — [Г(х)[ ( у(х) ( ]1(х)[, х б [а, 6], и свойства 2), п. 1.7, следует, что ь ь ь — ]„((х)]Ах ( / ((х)йх (э( ]У(х)]бх, т. е. ь / Г(х) ох ь < ~ ]Х(х)[ Нх. р и Заметим, что нэ ннтегрнруемости ]у'[ не следует, вообще говоря, ннтегрвруемость У; например, функция 1: [а, 6] -и Ж, гле 1, если х рациональное, — 1, если х иррациональное, Д х ж не ингегрируема на [а, 6], хотя функция ]Д ивтегрнруема на этом сегменте.
ь ь < Если точки разбиения П = (хэ = а, хм ..., х„ж 6) совпадают с точками разбиении П', а точки 5 б [х„хгю] совпадают с точками 5 б [х„х,.ь1], то Яп (1) = — Яп(Г), где Вп(1') = — 1 ь ь ~', у(кз)26х,. Поскольку 3 йш Вп(() = ]'~(х)ох, то 3 1пп Яп (Г) = — ] д(х)дх. > э=ь жп)-э жпЗ-ь 63.
Пусть Х; [а, 6] -и И, г" б В[а, 6], А ( У(х) ( В н р; [А, В) И, р б С[А, В], д = р о тг: [а, 6] й. Доказать, что д ч В [а, 6]. М Из условия Г б В [а, 6) следует, что функция Г удовлетворяет критерию Лебега инте- грнруемости по Риману. Композиция д = ф о у непрерывна в каждой точке непрерывности функции Х, поэтому также удовлетворяет к1>итерию Лебега. Следовательно, д б В [а, 6).
р Заметим, что утверждение, содержащееся в доказанной теореме, в общем случае теряет силу, если условие непрерывности функции О заменить условием ее внтегрнруемости. Пусть, например, Р;[0,1] Ж,э':[а,ь] В, ( О, еслиу = О, ( О, если хнррапиональиое, 1, еслиэ рО, ] —, еслихж —, и ' где и1 и и (и ) 1) — взаимно простые целые числа. функция 1 интегрируемана сегменте [е, 6] (см. пример 9), а функция ф интегрируема на сегменте [О, 1].
Вместе с тем функцггя ~~ ед: [е, 6) Р'., где ] О, если х иррациональное, фоу(х) = 1, если .ь рациональное, не интегрируема на сегменте [а, 6) (см. пример В). Ь Ь. Интеграл Римана 15. Пусть у б Л [о, Ь], уб б В [о, 6]. Доказать, что ур б В [а, 6]. 1 Если функции г" и зб имеют точки разрыва, то множества этих точек являются миожествамн лебеговой меры О каждое, а объединение зтнх множеств будет в общем случае множеством точек разрыва Функции Ур. Поскольку это объединение является множеством дебетовой меры О, то функция Усб удовлетворяет критерию Лебега интегрнруемостн по Рлману.
> 16. Доказать, что если ограниченные на сегменте [о, 6] функции б' и уб совпадают всюду ца нем, за исключением лишь множества Х С [о, 6] жордаиовой меры О, то либо эти функции интегрнруемы на [а, 6] и ь б ,1(х) б1в = / эз(х) ых, либо они пе интегрируемы на [а, 6]. М Если бб б К [а, 6], то, согласно теореме Лебега, множество точек разрыва функции б имеет лебегову меру О. В силу условий примера, множество точек разрыва функции р йакже имеет лебегову меру О, поэтому бб б В [а, 6]. согласно свойству 2), п. 1.б, функция и = б' — чб иитегрируема на [о, 6], а нз примера 14 следует, что [а! б В[а, 6]. При произвольном разбиении и сегмента [а, ь) каждый сегмент [г„г,+б] содержит хотя бы одну точку, в которой ь [и! = О, следовательно, Бп([п!) = О, зир(ЯпЯ) = [ ]о! Их = О, [ [о(х)]йя = / ]а! гЬ = О.
По1п> б б ь ь б скольку ] п(х) йх < [ ]бб(х)! бьз, то ] а(х) йх = )г(г(х) — уб(к)) б(к = ] у(я) б(к — ] уб(к) йк = О. ь б Таким образом. ],1'(х) 0х = ] р(х) ббпр. Если предположить, что у й В[а, 6], а р б В[о, 6), то, согласно доказанному, должно быть у б В [а, 6] и получаем противоречие.
Следовательно, Эб й В[а, 6]. Р из примера тб следует, что если б е В [а, ь), то не наменял свойства интегрнруемостн и величины интеграла, значение функции б" на множестве жордановой меры О можно заменить произвольны ын коночными значениями. б 17. Пусть б" б В[о, 6]. Доказать, что равенство [ у~(х)б(я ж О выполняется тогда н только тогда, когда у(х) = О во всех точках непрерывности функции 1, принадлежащих сегменту [о, 6]. ь М Необходоносщь.
Доказательство будем проводить от противного. Пусть Р~(в)Ыяж О, б непрерывна в точке хо б]и, 6[ н,)(хо) ~ О. Иэ непрерывности функции / в точке яо следует, что б'~(к) ) О в некоторой окрестности 5(хо, 6). используя свойство аддитивности интеграла, имеем .р — б бьб б з+б б (х)йг= / 1 (х)б1г+ / б' (х)бз+ / б' (х)Их 3 б~ б (х)Ив=с, *з-б зо+б зд -б где с > Π— постоянное число. Получили противоречие, так как у (х) бЬх = О. Достаточноспбь.
Пусть у(х) = О в каждой точке непрерывности. Иэ того что у' б В[а, Ь] следует, что б'~ б К [а, 6]. При любом разбиении П сегмента [а, Ь] каждый сегмент [хб л,+г] содержит точки непрерывности функции у (в противном случае при некотором разбиении П Гл. 4. Определенный интеграл 282 сужение функции у на какой-то сегмент [хю х,з!) было бы всюду разрывным на нем и, согласно теореме Побега/ следовало бы, что 1" К Я [а, 6)).
Таким образом, при любом разбиении П имеем ь Яп(/ ) = О, У /Ьх = ~ (х)/Ьх = зцр(.бп(1 )) = О. (и 1 ь— ь (/ — ) / ( — ! ь †, / /! + О а / ) /!~ — /! /е - / /! ! *. /'а+ 61 1 2 ) 2 о о Выполнив разбиение П = (х, = и+ ьь "; ь' = О, а) и взяв 6, = х„получим, что 2ах, = ь— и »-! и — ! — г (а+ ! — ) = — ~~/ у ((1 — — ) а+ — 6) .
/=о =о функции),имеем )" ((1 — — ) и+ — 6) ) (1 — — ) у(а) + — /"(6), — ! ((1 — — ) /"(а) + — у(Ь)) = — ( — у(а) + — /(Ь)) . тп(/) = В силу вогнутости 6 — а ИпЦ) >— Принимая во внимание, что /Ь(Л) О при и оо, получим, перейдя к пределу при н -/ со в левой и правой частях последнего неравенства, ь У(х) /Ьх ) — (У(а) + ~(6)). Сопоставляя неравенства (1) и (2), получим доказываемые неравенства.
М г 19. Вычислить / х'зш х йг. (2) о и Сначала дважды применим формулу интегрирования по частям, и. 1.8., а затем воспользуемся решением примера 4. Получим г г г И 1=(- = г г (г х з!их/Ьх = — х созх~ +2 1 хсовх/Ьх = 2 хз!ах~ — ~ з!ах/Ьх = 2 ~ — — 1) = /е- 2. ° о !1 Вогнутые функции иногда называют вьшуклымк вверх. 18. Пусть функция у ! [а, 6) И ограничена и вогнутаО на сегменте [а, 6).
Доказать, что (6 — а), < / /(х) /Ьх < (6 — а) / ( — ) . у'(а) + /(Ь) /' а+6 М Вогнутость функции / означает, что функция — 1 выпукла, следовательно, У Е С[а, 6) (согласно примеру 112, гл. 2). Таким образом, у Е /6[а, 6]. Используя свойство вогнутости, находим У( о ) =У( ~ + —,,~) > — та+О+аь — Е)), О<б<6— Интегрируя по р в пределах [О, 6 — и) и производя замены и -ь 8 = ! и 6 — б = г получаем 62. Основные теоремы и формулы 263 1цп — ~,(»„ы — ' ] У(х) !)х, ь=! 6 — а ь о йш 2 — „'„ 10.
Пусть 7 0 С!з! [1, +со[ и 1(х) > О, Ях) > О, Х" (х) < 0 Чх 0 [1, +со[. Доказать, что 2 ' ~(6) = »»2» + [ 1(х) !(х+ О(1). ь=! 17. Пусть у 0 ! Кз1 [а, Ь] и » = [ 1(т) ах — — С 1 [а+ (26 — 1) — ) . Найти 1ш! п~Ьа.
~ 2. Основные теоремы и формулы интегрального исчисления К важнейшим теоремам и формулам интегрального исчисления относят: основную теш рему интегрального нс о»слепня, формулу Ньютона — Лейбница, теоремы о среднем, а также формулы замены переменной и интегрирования по частям (последние две приведены в пупк!е 1.3). 2.1. Определенный интеграл как функция верхнего предела. теорема 1. ееа!и 7 0 в[а, 6], о!о »Ьрнкцая Ф:х! / 7(!)!1С а(х(6, иелрерыеиа на еегмеип!е [а, 6]. Теореа»а 2. (основная теорема интегрального исчисления), функция Ф:х! 1(!)Й, а<х(6, Упражнения для самостоятельной работы Вычислить определенные интегралы следующих функций, составляя интегральные суммы Уц(г) и переходя к пределу при !6(П) 0; 1. т! хз, -3(т<6.
2. х!»/т, 0(х<1. 3. х! Зт, 0<х<7. 4. х~ созх, О<х(-. 5. х! 2+5х, — 3(х(6. Пайти следующие пределы: / !! 8. 1пп !, + + + ] Доказать интегрируемость следующих функций: 10. те- [] — 2![-,1, О(х<1, 11. т~ [х]х" », 1<х<105, о>0. 12. х~ -33~у, 1(х<40,Л>О. 13. х! [хз],2(х(17. 15.
Пусть г" 0 Я [а, 6] и г(х) > О. Обозначим у» = ((а+ 66„), б„=:„". Доказать, что Гл. 4. ?упределениый интеграл ~ь Г(х) йх = Е(х) ~ = Е(Ь) — Е(а), называемая формулой Ньютона — -Лейбница. 2,2. Теоремы о среднем. Первая теорема о среднем. Если Х б Я[а, 6], д б Я[а, 6] и д(х) > О (д(х) < О) Чх б [а, 6], от стьраведлива формула Г(х)д(х) дх = и ~ д(х) дх, т ( и ( М, (1) где пь = 1п? (1(х)), М = вир [г'(х)), в<в<в < чь Если г б С[а, 6], то формула (1) принимает вид ь ь зг(х)д(х) дх = Я) ~д(х) дх, 6 б [а, 6]. Если Г б С[а, 6], д(х) = 1, то ь г'(х) дх = ГЯ(Ь вЂ” а), б б [а, Ь), (5) Втором теорема о среднем.
Если 1) фумкция г": [а, 6] -ь К мв возраспьает ма сегменте [а, 6], г" (х) > О тх б [а, 6] и д б Я[а, Ь], пго дб б [а, Ь] иьакос, чпьо ь ,1(х)д(х) Йх = ((а) д(х) дх; 2) ~ ие убывает но [а, Ь], г (х) > О Чх б [а, Ь] и д б )? [а, 6], то 3 у б [а, Ь] такое, что ь ь ((х)д(х) Йх = ДЬ) / д(х) дх; (5) в ч 3) Г монопаоима иа [а, 6] и д к К [а, Ь], то 35 к [а, 6] пьакое, что ь ь ь ,Г(*)д( )де= И )~д(х)д*+Г(6)~д( )д (й) т Формулы (4) — (б) называют формулами Бонне. Применяя формулу Ньютона — Лейбница, вычислить следующие интегралы Римана: 20.1т [ х, О<в<1, 1 1+всоех в (2) (4) где Г: [а, Ь] й, Г б ??[а, 6], дифференцируема в кендой гпочке х б [а, Ь], в которой функция 1 непрерывно, и при этою Оь (х) = у(х).
Теорема 8. (основная формула интегрального исчисления). Если 1 б В[а, 6] и мноэеество точек разрыва функции Г ие более чем счетное, а Š— произвольная первообразная функции Г ма сегменте. [а, 6], оьо справедлива формула 3 2. Основные теоремы и формулы ° Согласно примеру 130, тл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
