И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 57
Текст из файла (страница 57)
2" 2" ь Принимая во внимание равенства >с 2 Ф 1 соз2хх>1х = — эщ2хх~ „О, 2й > 2 находим 21ап- 1 э 1= — 2 >й= — эп>п-, 1ь 2" / 2" 2 63. Многочлен Лежандра определяетсл формулой Р„(х) = — ° †(х — 1)", о 6 Уе. 2 з 2" н! >>х" э, Доказать, что и Рассмотрим прн >в < в интеграл ! >и->» озэ >» ! ~1 1 — (-1) о>! — (х — 1) Их — (-1) п>! — (х — 1) эв О (1) -1 -1 н вычислим его, применив формулу интегрирования по частям п> раз. При этом полрннмк, о Гл. 4.
Определенный интеграл 282 ! ! так как — г:(хг — 1)" = 0 при 6 = О, и — 1. -! Многочлен Р (х) отличается от многочлена — „„(хг — 1)" лишь постоянным множителем, а многочлен Р (х) является линейной комбинацией степеней х ', 6 = О, гл, поэтому из (1) ь следует,что Р„(х)Р (х) !Ьх = О, если ш < и.
— ! ! ! Если и! ) и, то, очевидно, / Р, (х)х'*!Ьх = О, в силу чего [ Р.(х)Р„(х) !Ьх = О. Таким образом, [ Р„,(х) Р„(х) !1х = О, если ги ф в. — ! Рассмотрим интеграл ! ! 1„ = (! Ро(х)!1х = ! †(х — 1) †(х — 1)"!1х 1 1 Ь", „8" 2г" (н')г / !Ьх" !Ьх" — ! — ! и для его вычисления применим и раз формулу интегрирования по частям, получим ! ог / — ((х — 1)")(х — 1)" !Ьх. 2г (и!)г,! .г — ! лг Многочлен (хг — 1)" имеет коэффициент 1 при старшем члене, поэтому,„(х — 1)" = (2н)! Следовательно, ! ! ! ( — 1)" (2п)! ~( г )„„( )„2(2п)! ~( г „2(2п)! 2г (и!)г / 2г (и!)г / 2гч(п!)г / — ! о о (в силу четности функции х !-! (хг — 1)", — 1 < х < 1).
Произведя в интеграле замену агсз1п х = Г и принимая во внимание решение примера гЗ, находим г 2(2в)! / г„з! 2(2п)!(2и)!! 2 гг* (и!)г / 2г (г,!)г(2,!.! 1)п 2н+ 1' о !' 1"(х) !1х = Г(6 — 0) — Г(а+ 0) — ~) (Р(с, + 0) — Р(с, — 0)). ! ч Образуем функцию г ! Рг(х), а < х < Ь, где Г(х), еслих к)со с,+г[, Г!(х) = Г(с, + 0), если х = с„ Г(с! ю — 0), если х = с,.гг, Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [а, 6), 1, р. Применяя на каждом сегменте [х„, хгз!), у = О, н получим ! = О, р, со = л, со+! = Ь. в число точек которого входят с„ ! = — 1, формулу конечных приращений, Яп(1) = ~(Гг(хгз!) — Рг(х!)) = ~ Рг(с!) сгх! = ~Д6 ) сгхг, х < с! < хгз!.
64. Пусть г' б Я[л, 6] н функция х ! Г(х), л < х < 6, такая, что Г'(х) = у(х) всюду на [а, 6), за исключением конечного числа внутренних точек с„! = 1, р, и точек л н 6, в которых Г терпит разрывы первого рода. Доказать, что Ь 2. Основные теоремы и формулы 283 Вместе с тем сумма Вп(г) имеет вид ,'Рп(~) = ~~~ (Ег(сьь!)-Х~(с,)) = Рг(сг) — Р',(со)+Рг(грег) — Ег(ср)+~~~ (Р(сг,г-О) — Е(со+О)) =о пы — Е(Ь 0) Р (а 1 0) 1 Г(сг 0) Р(ср + 0) + ~ (Р(с аг О) Р(с' + 0)) г=) Р = Е(Ь вЂ” О) — Г(а + 0) — ~ (Е(с; + 0) — Е(с, — 0)). -1 ь Р Поскольку 1 б В[а, Ь), то 1пп Еп(2) = ) г(х)Нх = У(Ь вЂ” 0) — Р(а+ 0) — '1 (У(сг+ 0)— Нп1-о Г(с, — 0)). ~ 65. Использун теоремы о среднем, определить знаки следуювгик интегралов; г б) 1 = э/ х 2 Ых.
— г 1 з1пх а) 1 = / — Нх, Е =)О, 2х); х ° а) отункция е; [О, 2х) и, где Е(х) = — если х б Е, 1, еслих= О, непрерывна на сегменте [О, 2т), поэтому Г б В [0, 2л), причем — о1х = / Г(х) Их. х л о Из свойства аддитивности интеграла следует,что г г Г(х) Ох = э/ Р(х) Их+ [ Г(х) Ох = г / — Нх 1 Е(.) / х+;г о о о 1 = тР(с) 1 х+х о откуда следует, что 1 > О. б) Вапишем 1 = 1г + 1г, где хГ(1)1п(х + л)~ оа х — 1п2, 0 ( с ( и, 51л с о о г 1г=з/х 2"о2х, 1г=з/хэ2 8х, — г о и произведем в 1г замену х = — 1, получим г 1 = 2 / хгзб(х!п 2) Нх. о (в интеграле ) Е(х) Их произведена замена х — т = 1), Применив первую теорему о среднеМ, получим 284 Гл.
4. Определенный интеграл Согласно первой теореме о среднем, имеем ! = 2вй(4 1л 2) ( х йх — 8ХЬ(~!л' 2), о 0(4<2. Следовательно, ! > О. м 66. Пусть 7 б С[0, +со[ и 3 1пп ~(х) = А, А б И. Найти 1пп — ~ 7(г) вй л +ллХ о Рассмотреть у(1) = а!с181, О ( 1 < +ос. м Поскольку 3 Гпп 7(х) = А, то Ух > 0 НВ > 0: е ,Ух > В ~ [у(х) — А[ < —.
Рассмотрим при х > В интеграл — (! ((1) йт = — ~ 7(1) йг + — ! 7(1) п. х ! х / х/ 1 — )(г)й1=у(5) [1 — — ),. В«5<*. В в Оценим о(х) = — ' [ 7(т) 41 — А при х > В. Имеем а о(х) = ) — + (у(5) — А) — у(с) — / ( С В~ [С- ((5)В[ х х х + [г(5) — А[ < )С вЂ” ! (5)В[ е х +-, 2' так как В < 4 < х. Поскольку ~С вЂ” у(4)В~ = солвг, то при достаточно больших ~~'-~И~В> выполнлтьсл неравенство ( †, следовательно,и неравенство о(х) < е, г ' следует,что х > О будет из которого 1пп — ! у(!) ф = А, л +ыХ о Если у(Г) = ыс18 т,, О < Г < +„,, „, 1 х 1пп — / агсгд гвт = —. ~ *-+ х / 2' а Оценить интегралы: 67.
! Хл 1+ 0,5 сов х о м Представим ! в виде ! = !г + !г, где г вх !г = 1+ 0,5совх л игЬ л = 1+ 0,5 сов х' о в Так как ! к В[0, В[, то' [ у(Г) вт = С, С = совам Согласно первой теореме о среднем, имеем о 285 5 2. Основные теоремы н формулзя Заменяя в интеграле 12 переменную по формуле 2я-х = 1, убеящаемся в том, что 12 ж 11. Следовательно, 12 111= ° 1 бх 1+ 2сояз— о 2 Функция 1': х 1 ) — "' — г-, 0 < х < а, удовлетворяет на сегменте (О, х] всем условиям о 1+2 о» 2— теоремы Лагранжа о конечных приращениях, в силу чего имеем 1 = 4®х) — ДО)) = 4а~ (5) =, 0 < 5 < с.
1+ 2созз 5' 2 ! 1 0» 011 0 0» Так как - < < 1, то справедлива оценка — < 1 < 41г, нли — — < 1 — -т <,—. 3 102 0»„2 з 3 з а' 2 Обозначив В = (1 — — ): —, получим з 'з' 1 = — + -хд, (д( < 1. м бк 4 3 3 1ОО 68. 1 = Нх. Г х + 100 о ч поскольку функция х1 —,, О < х < 100, монотонная, а функция хг 0 *, О ~ я 4 100, непрерывная, то к 1 можно применить вторую теорему о среднем (формулу (б) п. 2.2).
Тогда получим 1ОО 1=001 г Нх+0005 0 *Ох=001(1-0 г)+0005(е г-е ), 0<5<100. Так как 5 = 100 д, 0 < д < 1, то 1 принимает вид 1 к»0,01 — 0,005(е '00 — 0 ' ) =0,01 — 0,00501, г еб г-гооо г-гоо 0<6 <1 гоо» 1ОО» е Функция х г —,, 1001г < х < 200т, монотонная, а функция *1 ма*, 100к 4 х ч 2001г, непрерывная, поэтому применим формулу (6), п. 2.2.
При этом получим 200» г 1 1 . 1-сааб ив*Их+ — ~ зшхбх= —, 100я <5< 200х. 200т / 2001г г Следовательно, 0 < 1 <, 1, . Обозначим д = 1:, 1, тогда 1 ж 100», 0 < 9 < 1. 1е 200 ТО, 1 = / заг тхз Н~. 1ОО Ч После замены переменной по формуле тхз = Г, получим зооо 1 г зшт 1 = — — 40 22/к .1 ф 10О2» Гл. 4. Определенный интеграл 286 Воспользовавшись формулой (б), л, 2.2, имеем \ гоог 1 1 1 1 . 1 — сов 8 — — — зш Г 41 + вш т 41 2.,/т 100,„/т ) 200ь/л ) ) 400т 20О'о г 100 т<1(200 т. Очевидно, 0 < 1 < —, поэтому 1 =, 0 < 8 < 1.
М ь в 2000 ' гоо ь 71. 1м гг — х4х О(а(Ь. ( ь/х я Функцьгя г о- —, и ( х ( ь, убывает на сегменте [а, ь), а функция х ь сов х, и ( х ( ь, 1 непрерывна на нем, поэтому, согласно формуле (4), л. 2,2, имеем ь 1 1 явб — япи 1 = — ~ сов х 4х =, а < с ( Ь. ,/Ь./ -/а Иэ оценки [вш 1 — яп а[ < 2 следует, что 2 2 — — < 1 < —. ,/а ь/а Обозначив 8 = 1: —, получим 2 йи ' — [8[<1. и 26 ,/а ' г 11О = / яв" х4х, о г 1Ь 1= / яв" х4х, г г 0 < е < х — произвольное, наперед заданное число. При любом и Е И справедлива оценка 1® < ) 4х='„-. 2 2 Таккакяп" х<яп~ х,О<х< — — —,то г г' г г 1Ь,1 < 11,'1,, где11, ~, = [ яп" 'х 4х.
о Поскольку 101 1 > О, то убывающая последовательность (1~ 1) ограничена снизу и ОО ОО В 1~ш 11,О = С, С* > О. 2 72. Доказать, что 1пп яп" х 4х = О. о ~ При доказательстве можно было бы воспользоваться результатом решения примера 43. Мы воспользуемся первой теоремой о среднем. Представим 10 = 1 яп" х 4х в виде 1„= 1„+ 1и, где о 12. Основные теоремы и формулы 287 (. ледоватеяьно, где п„, Г(„— бесконечно малые поспедоватепьностн. ('огласно первой теореме о среднем, имеем газ(пГ„Г,, О < 6„< —, (з1 . (Ь) зг е г — з 2 откуда пояучаем С = з--Я-'~ , т, е.
С' — бесконечно малая последовательность. Так как С = сопш, то С = О. ° ивг Г зшх (3. Доказать равенство 1(ш 1 — дх = О, р > О. 1 ч( Функция х ь —, п < х < и+р, убывает, а функция х ь зшх, и < х < и+р, непрерывна на каждом сегменте [н, н -(- р], поэтому, применив вторую теорему о среднем (формуяа (4), и. 2.2), получим +е 4 Г зшх 1 Г созе — сов~„ Г„= 1 — дх = — 1 ззп хая = зь<Е <и+р. Х и в,, н, ~гг = Ш'=,.*мг -' „„„, „, г г„= 74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
