И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Л+ Л > 1), При х +О подынтегральная функция имеет порядок роста ниже как интеграл чем функция У. Так ео +о сходится, то, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, интеграл 1 сходящийся. М 97. 1= / хг!вох лео м Произведем в интеграле замену переменной, полагая !ах = !. Тогда получим о( 1= Ж, ы Представим ! в виде 1 = 1~ + 1г, где 1 е (л-г)л 1л — — / ~11, го оо + е Г (г — гр 1= ~ — 11.
го 1 г 1 о Так как 1пп 1л — = +сил, то интеграл 1 — расходи~ся, следовательно, согласно ллуикту о+о 1 ы* о+о 4.5, интеграл 1 — расходящийся. В 96 / л/х +о Сравним в правосторонней окрестности точки х = О подынтегральную функцию с 1 функцией 1: х ь- —,, О < х « —, — Л < 1, рассмотрев предел Гл. 4.
Определенный интеграл 306 !'-ю' При 1 +О функция 1 ! — '„, 0 < 1 < 1, д > О, р б К, имеет тот же порядок роста, 1 что и функция 1 ! —,, О < 1 ( 1, а при д < 0 интеграл 1! не является несобственным. Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4,6,интеграл 1! сходится, если д < 1, и расходится, если д > 1. !1-Ю! При 1 +со функция 1с- ° „, 1 < 1 < +со, р > 1, убывает быстрее любой функции 1 вида 1 1-+ —,„, 1 < 1 < +со, о > 1, так как в этом случае при любом д б К имеем Π— Р 1пп: — = О, 12 следовательно, интеграл 12 сходится при р > 1, Если р ( 1, то 12 расходится. Таким образом, интеграл 1 сходится лишь при д < 1 и р > 1.
М + х ео М Представляя 1 в виде 1 = 1! + 1г, где 1 1, = ~"" *3х, +о видим, что интеграл 1! сущестнует, поскольку 3 1нп — ' = О, оо Записав 12 в виде й сс 2 и приняв во внимание, что 1цп )' — = 1нн 1нх =+со, а интеграл ) — 'с!х сходится по + 1 1 признаку Дирихле, делаем вывод о том, что интеграл !г расходится. Следовательно, интеграл 1 расходящийся. м +! 99.
1= / оо м При р = д, очевидно, интеграл 1 расходится, поэтому исследуем его прн р ~ д. Пусть р < д. Представляя 1 н ниде 1 = 1! 4- 1г, где + !4х / !!х 1! = 12 = х!' + хг' ! х1' + хо' +о 1 исследуем интегралы !! н 1г в отдельности. Поскольку ! 1 гт с = щ14*с-О и хо " О при х -! +О, то подынтегральная функция в 1 П имеет при р > 0 тат же порядок роста, что и функция х 1-! —,, 0 < х ( 1, р > О.
Если р ( О, та интеграл 11 существует, Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, 1! в рассматриваемом случае сходится, если р < 1, и расходится, если р > 1, Исследуем 12, представляя подынтегральную функцию в виде 1 1 Х(х) = 1 ( х < +ос. х! + гг хо(1 4 хг-о) ' При х — ! +оо Дх) = О ~1 —,1, следовательно 12 сходится при д > 1 и расходится, если д < 1, 11 Таким образом, если р < д, то 1 сходится при всех р < 1 и д > 1. Если р > д, то, очевидно, исследуемый интеграл сходится при всех р > 1 и д < 1. 14.
Несобственные интегралы 307 ! зшх 1 = 1 — йх. *! Так как 0 « '— ' 1 прн х! < х < хг, та 0 < 1 < хг — хг, поэтому Х вЂ” ! 0 прн х! -+ О, хг — О, в силу чего интеграл 1! сходится согласно критерию Коши. Поскольку (Р(г)( = / сйвгй < 2 Чх е]1, +оа(, а функция х !-! —, 1 < х < +оо, убывая, ! стремится к нулю, то интеграл 1! сходится по признаку Дирнхле.
Из сходимости интегралов 1! и 1г следует, что интеграл 1 сходится. Из неравенства (зш х~ > сйп х, справедливого Чх б й, решения примера 98 и признака сравнения 1), и. 4.6, приходим к выводу, что интеграл т (мп х) ! расходится. следовательно, 1 — абсолютно расходящийся интеграл, М ! з1п (х+ -) 102. ! =- ( ' ' 4х.
х аа и Пусть 1 = !! + 1г + 1з + !! ц, где +! 1а = соз х згп— * Ых, х« ! ! ! з!и х сов —, *' !1х х" ! ! "созхзгп— 1 =~ ' !1~ в згп х соз ха ! Такое представление в эмажна для тех эиачеияй параметра о, при которых интеграл 1 существует. Оба рассмотренных случая легко объединяются в один: 1 сходится, если ппп(р, д) < 1, шах(р, д) > 1.
и ! Р„,(х) 100. 1 = 1 — !1х, где Р,(х) и Ря(х) — — взаимно простые многочлены степеней / Р (х) +а соответственно т и и. 4 Если многачлен Р„(х) имеет действительные нули х = х, на интервале )О, +аз[, то интеграл расходится, согласно признаку 3), и. 4.6, так как прн х х, подынтегральная функция будет иметь одинаковый порядок роста с функцией х! „, хбЯ(х„б), А>1, 1 (х — х,)" ' (здесь 5(х„б) — б — окрестность точки х,). Если же многочлен Рв(х) не имеет действительных нулей на интервале )О, +аа(, то при х +оа ' = О ( — „) и интеграл 1 будет сходиться согласна признаку сравнения 2), п. 4.6, если и — г!! > 1, и будет расходиться при и — т < 1.
Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие интегралы: 101. 1 = l '— "" * 4х. х +а и Представни 1 в виде 1 = 1! + !г, где ! ! з|пх ! сйвх ! = 1 — !гх, 1г — — 1 +о ! Рассмотрим при 0 < х! < хг < 1 интеграл г ! л, 4. Определенный интеграл 308 а затем произведем в интегралах 1! и 1э замену —, = !. Тогда получим ! т зсп ! соз —, с11, гг! ! 1! = соз ! шп— с с!! гг-с ! иэ чего следует, что интегралы 1с, 1с и 1г, 1э однотипны. Поэтому достаточно исследовать интегралы Хг и 1с и результат исследований автоматически перенести на испегралы 1! н 1г. ! Поскольку Ыш соз — = 1, то 3хо > 1: + х 1 1 соэ — 1 ! Чх > хо ~ — < соз — < 1, — < — ' < —, 2 х ' 2хо х" х ! си— поэтому — Хк ! О при х +сх! и о > О.
Функция х с-! сйп х, 1 < х < +оо, имеет ограниченную первообраэную Чх Е [1, +схс[, Таким образом, при п > 0 интеграл 1г сходится по признаку Дирихле. Покажем, что 1г расходится при и < О. Пусть задано произвольное 0 < с < 1. Положим ! ! су = — сг и возьмем такое и Е И, чтобы выполнялось неравенство соз — > — при х > 2псг. г сг +ц Применяя первуа! теорему о среднем к интегралу ) х сйа х соэ — с!х, получим неравенство в ! г !го+О сс.
1 х зсп х соэ — ссх ! з = 21„" соз — > 8„> 1, 2!!я < 6~ ~( [2п+ 1)х, Г го ! ! — сояйх зсв х ]асах соэ ~ 1 < < —, 4х" 2х х х" выполняющихся при всех достаточно больших х > 1, следует, что 1г сходится абсолютно при и > 1, а при и < 1 абсолютно расходится. Следовательно, И абсолютно сходится, если 2 — о > 1, т. е.
при о < 1. Поскольку множества [и Е К с а > !) и [о Е И с и < 1) не пересекаются, то интегралы 1г и 1э не могут одновременно абсолютно сходиться ни при каких общих значениях о Е И. Поэтому интеграл 1 абсолютно расходится. М + 103. 1= [) э!сов[о")с1х. о м Пола! ая в интеграле е" = г, получаем К 1пгг 1 = ! — сов!с!!. ! из которого, согласно критерию Коши, следует расходимость интеграла 1г при а ( О, поскольку Ухо > ! 3ц Е И такое, что 2пя > хо. Следовательно, 1г сходится лишь при и > О. Из проведенных выше рассуждений следует, что 1г сходится лишь при 2 — и > О, т.
е, при сг < 2. Таким образом, интегралы 1г и 1э одновременно сходятся, если 0 < и < 2, ! э!ив Исследуем интеграл 1с с помощью признака Дирихле. Так как 0 « — — при всех х" х"е! х > 1, и + 1 > О, а Функция х с-! [ соэ!с!г, 1 < х < +со, ограничена, то 1с сходится при ! и+! > О, т, е. при и > — 1. !'*ледовательно, 1! сходится при и < 3, а оба интеграла сходятся одновременно при — 1 < о < 8. так как ] - 1, 8[О]0, 2[=]0, 2[, то интеграл 1 сходится при 0 < а < 2.
Исследуем интеграл 1г на абсолютную сходимость. Из неравенств 1 4. Несобственные интегралы 309 Применив второе правило Лопиталя, находим 1пг! . 1пт, 1 1нп — = 2 1пп — = 2 йш — = О. + ! с + ! с +т! 1пг! т 1 1 1и ! 1 11п ! 1! = / — созт !с1! = — / — с!г+ — / — соз2гс!! 2/ ! 2/ +"' т расходится, так как / '— ", ' с!! = 1ш! /1п !с!(1и!) = 1пп -1и х =+оо, а интеграл т .!. о 1п г — соз 2! с!! ! сходится по признаку Дирнхле. И Найти следующие пределы: ! 104. 1!пс /'— ";,' л!. г +О ! ч Применив первую теорему о среднем к интегралу 1(х) = 1 '*',' с!1, получим сг 1(х) = сов 1 ( — — 1), х < р < 1.
I! х Пусть !с Е] О, —,* ], где с > О -- произвольное наперед заданное. Тогда соя 1'(-' — 1) > ~~~, с следовательно, 1(х) +со при х +О. Применив второе правило Лопиталя, имеем 1пп — = 1сш, = !сш = 1. 1(х) , 1 (х) -ео х ' -+е (х ')' -+ю г / — ',' 1! 105, й 1и— .!. сг и При любом а > О интеграл / — ', с!г сходится согласно признаку Дирихле. Поэтому 'г,' =:,:= — с!! = Г,', С = сове!, и 1нп, = О. Следовательно, + / —' ,,!! Пш -ео 1п -' — и 1пп г«ег !и— сгт с Следовательно, —, ! О при ! +со. Поскольку Функции х с 1 сов!с!! = юп х — з!и 1, 1 < х < +ос, ограничена, то, согласно ! признаку Дирихле, интеграл 1 сходится.
гс с,тс т Из неравенства — ", (сов!~ > — ', соз г, справедливого для всех ! > 1, следует, что инте- грал Гл. 4. Определенный интеграл 310 г Из неравенства 1(х) = / — !!! ) е а(!по — 1пх) следует, что йп 1(х) = +со, поэтому, +о согласно второму правилу Лопиталл, получаем 1(х) . 1'(х) 1пп —, = 1гш,, = 1ш! —, = 1. ° -+о !л ! +о (! г)' зо Г з!! 106. Доказать, что при х ) О В!! х = ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
