И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Уравнение кривой имеут вид р = аз)гсоз 2)2, ) р — Ьг! < -,, А = О, 1. Принимая во внимание'симметрию точек крэ(р))й относительно полярной осн и прямой р соз Эг = О, воспользуемся решением лримеэраь'133. При этом получим 4 о 4 / э . 42 а э э э Г = -!г а совы 2!р з)л )р о!!р = — / (2 осе 2) — 1) 2 Ы(соз ээ) = 3 / о оу )) !ч' / (42 1) 2 )74 (12 1) 2 4, /~г 1 4 — 1л(1 +,,(ф~ 1) 8 1 .) 4)га !г 3 Я! таэ Р ' ч'"'"2'У ' = — ~- 1л(1 + ~!г) — — ~ = — ('Л 1в(1 + эГг) -' -/~ . Зэ)2 [ 8 8 ~ 4 3/ 2) Возьмем луч )р = -" з качестве полярной осн системы (р', В) (рис.
67), тогда р'(В) = р()р), В = — (- — )о) = э) — —. Применим теперь формулу, доказанную в примере 135, приняв прн этом зо внимание, что плоская фигура симметрична и что ив В < О. Имеем Рис. 67 4 4 4)г !', э . 42'а э ! И = — ( р (В) ) ) з) л В ~ Ю = — / (соэ 222) 2 ~ пл ( )р — — / ~ Ы)р = 3 / 3 / 2/ 42 аэ г э 4таэ э — созэ 222 соз)од!р = — / (1 — 2 з!и р)2 В(э/2 яп)э) = 3 / 3;/2 1 2 4та ) 2 э 4яа Г 4 4ла ЗИ л х а — / (1 — ! )2 444 = — / соз э!Юз = — — ° — ж —, 3Л / 3Л/ 3Л 4В 2 4Л' Гл.4.Определенный интеграл 330 а 4 з р з — (р (В)) )зшд! 1СВ = — созй 214 яп ~1« — — ) ( 1С22, 3 / 3 / 4) Произведем в интеграле подстановку 42 — -' = — С. При «том имеем 2 4яоз С И = — / 6!из 3 / з 2С з!пг1СС = ~ созе С Япз С11(зшС) = — ти 22(1 — з )4 412. Оч'2та С -' ..
8ч'2 з 3 / 3 6 о что р = — та 1, где 16'/2 3 з После замены —, — 1 = и находим, 1 (1 ! п4)з 1Сп з 4 У (1+.64)з а (согласно решению примера 133). Интегрируя по частям, получаем + «« „з 6 3 / „злп 3 )' „2 С„ 8 ' (1+ е4)2 8 / (1+ п4)2 8 / (14 в4)2' Рис. 08 6 «« «з 6 При решении примера 133 показано, что ) —,-«тт ш -«з. Слез з««2«З довательно, 1 = ' , Ьг = — , н 64О2 ' Упражнении длл самостоятельном работы Вычислить длину кривой т, если: 106. 'Г = ((л, у) Е Кз: у ш !и х, 4/3 ( х ( ч48).
106. С = ((к, у) Е К~ 1 у = ос!4-', 0 ~( к ( лз, и > О) . 107. т = ((я, у) Е К~ 1 с = а !и — +ЗС: —" — 11462 - уз, Ь ( у ( а~ . 2 2 2 108. 'Г = (е, у) Е Кз ", кз + уз = аз, !х~ ( а 109, т=((я,у) ЕК:х=асоз С, у=аззп С, 0(С((2т). 110. 'у = ((л, .у, 2) Е К 1 л = а соз С, у = а з!и С, з = ЬС, 0 ( С ( Сз) . 111. у=((л,у, 2) ЕК 1'с =Зу, 2яу=92, 0(~х(хз) 112. т=((л,у,з) Ерз:у=аа1сзи1-*, з= —,!и — „+, 0((х((хз). 113.
'у = ((л, у, 2) Е Кз .' л = аг, у = ч ЗаЬ Сз, з = 2ЬС~, 0 ( С ( Сз) . 114. НайтИ дЛИНу КрИВОй, ЗадаиИОй ураВНЕНИЕМ зуя+ Ч1у ш,ра, От ТОЧКИ (О, а) дО тОЧ- ки (а, 0). 116. Парабола; = ((с, у) Е Кз: 4ау = х~, с Е К) катится по оси От. Доказать, что ее фокус описыва т и пиую леплю у = ((т, у) Е Кз: у = ос!4 —, л Е К) . Найти площадь плоской Фигуры Ф„ограниченной: 2 2 2 110. Графиком астроиды лз Ф уз = аз, 3) Возьмем луч 1р = «в качестве полярной оси системы (р', д) (рис. 68). При этом имеем р'(д) =р(р), дш р- д, Принимая во внимание симметрию фигуры и неравенство япд ( О, согласно формуле примера 136,получим Ь б.
Приложение определенного интеграла 331 117. Графиком функции, заданной уравнением х + уз = хо + у . 118. Графиком подзры эллипса (х + уз)з = а хо + Ьзу . 119. Графиками функций у = 4ах, х + уз = 2ах, 2к — у = 4а и лежащей над осью Ох. 120. Петлей стробюиды (а — х)уз = (а+ х)х . 121. Графиком функции, заданной уравнением (у — к)з = х и отрезком оси Ох. 122. Графиком функции, заданной уравнением . /2 +,Л ы 1, и отрезками осей коорднч з наг.
123. Эллипсом —,з + — ", = 1 и лежащей вне круга ко+ у = аЬ. 124. Графиком кривой, заданной уравнением р = а созлоз. 123. Графиком равнобочной гиперболы р сов 2у = а, -~оо ~ (у ~ ~эзо. 120. Графикамн функций, заданных уравнениями р сов 2оз = 4а соз у и р сов 2зз ж а . з з з 127. Петлей кривой, определяемой уравнением х + у = аз уз. г з з 128. 1 рафиком функции, заданной уравнением х уз = 4(т — 1) и прямой, проходящей через точку перегиба графика. 129. Вычислить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам — + — '<1, к' э' Ьз аз хз уз — + — <1, аз Ьз Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными в результате вращения следующих кривых: 130. 7 = ((х, у) Е И~: у = вш х, 0 ~( к ( зг) вокруг оси Ох. 131.
т = ((к, у) Е зз~: (2а — к)уз = хз, 0 ( к < а ~( 2) вокруг оси Ох, 132. 7 = ((х, у) Е Н~: х = а(à — вш Г), у = а(1 — сов Г), 0 < Г ( 2з а) вокруг пересекающей ее прямой у = йа, 0 < й < 2 (вычислить объемы получающихся двух тел вращения). з з 133.7 = ) (к, у) Е Н: у = з з, х Е Й) вокруг своей асимптоты. 134. Кривая, заданная уравнением рз = а сов ЗЗз, вращается вокруг полярной осн. Опре.
делить объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной петлей, лежа- щей в третьем квадранте. 13б. Сегмент круга радиуса Я, соответствующий центральному углу 2п, вращается во- круг своей хорды. Определить обьем тела вращения. 130.
Куб с ребром а вращается вокруг своей диагонали. Определить объем тела, полу- ченного в результате вращения одной из граней куба, 137. Ребро куба а. Определить объем тела, полученного в результате вращения одной из граней куба вокруг диагонали противоположной грани. 138. Кривая, заданная уравнением хо+уз зз 2ахуз, вращается вокруг оси Оу. Определить объем тела, ограниченный полученной поверхностью вращения. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями; 139. Ь" = ((х, у, з) Е Рз; то+ 4у и Оз, хо + 4у ж 1, з = О). 140.
5 = ((з, у, з) Е Ы~: уз = 2у(а — х), х — з = О, х — 2з = 0). 141. 5 = ((х, у, з) Е Я~: зз = (а — х — у)а, к = О, у = О, э = 0). 142. Я = ((х, у, з) б зз~: зз = Ь(а — х), то + уз = ах). 143. 8 = ((к, у, з) Е й~: уз + зз = а ей~ — *, — Ь < х < 6) . 144. В прямой круговой цилиндр (стакан) радиуса г налита вода.
Ось наклонена под углом о к горизонту. Часть дна, покрытая водой, является сегментом с центральным углом тоз. Найти объем воды. 145, Трн взаимно перпендикулярные прямые являются осями трех круговых цилиндров одинакового радиуса т. Определить объем общей части всех трех цилиндров. ззг Гл. 4. Определенный интеграл ~ 7.
Общая схема применения определенного интеграла. Задачи из механики и физики 7.1. Аддитивная функция промежутка. Если всякому сегменту [а, Д], содержаиг*муся в фиксированном сегменте [а, Ь], отвечает значение определенной физической или геометрической величины Р([о, (у]), то Р называют функцией промежуглка. Определение. Фуикция Р: [а, д] |-о Р([о, й]), [а, Я] С [а, Ь], иазываеьнся аддиюивиой, если Чу Е ]о, д[ =.ь Р([о, й]) = Р([а, у]) + Р([т, Д]).
Теорема. Пусть Р: [а, Я ьо Р([о, Д]), [а, д] С [а, Ь], — аддипьивиая функция, а р; [а, 6] 66, р Е С[а, Ь], такая функция, чпьо Р([хо, х]) = р(х — хо) + о((х — хо)), х хо, эхо к [а, 6]. Тоада справедлива формула ь РЯа, б]) = ~р(х) Нх. 7.2. Вычисление статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести плоских кривых и фигур. Пусть (М (х, у )) — система материальных точек плоскости хОу с массами т,, 1' = 1, гь. Величины М,, = ) опоу„ о э 1 =~ па у„ ь=)го)л+7ог ., о=1'.*от г( г ., (о) а координаты ее центра тяжести С(Ь, у) вычисляются цо формулам Мо М где 1 — длина кривой у.
Предположим, что криволинейная трапеция Ф лежит по одну сторону оси Ох и что оиа однородна. статическими моментамн и моментами инерции этой трапеции относительно осей Ох и Оу называются соответственно величины ь 61о — зда 1(х) ~ х 1(х) дх, охват) / э,. 2 (4) 1, = — / 1 (х)[1(х)[обх, 1„= / х [3(х)[дх, а координаты ее центра тяжести С(6, у) вычисляются по формулам М„М Р' Р' называются соответственно спьаоьичвским момеипьом и моментом инерции этой системы точек относительно оси Ох.
если на гладкой кривой т = ((х, у) е к~: у = Дх), а ( х ( 6) равномерно распределена масса с линейной плотностью д ы 1, то статическими моментами и моментами инерции кривой 7 относительно осей координат называются соответственно величины Гл. 4, Определенный интеграл гидростатики, согласно которому давление воды на полоску, погруженную в нее, равно площади полоски, умноженной на глубину погружения: Р((г, х+ Их)) — х1(х) Ых = 2х1гГаз — хз сХх.
Согласно формуле (1), и. 7.1, имеем О 2 з Р = 2у~ х,lа' — хэ Их = г(а — х )э = -а'. 3 3 о 147. Диск толщиной 6 и радиусом г состоит из вещества с плотностью б и совершает и оборотов в секунду. Какую работу нужно затратить, чтобы его затормозить? М Согласно теореме об изменении кинетической энергии, ее приращение за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной приложенными к телу силами за тот же промежуток времени: Т вЂ” То =А. Здесь Т вЂ” кинетическая энергии в конечный момент, Та -- начальная кинетическая энергия тела, А — работа внешних спл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
