И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если функция 1' монотонна на сггменпье [а, 6], а о Е С[а, 6], то 1' Е Я(о)[и, Ь]. Теорема д. Если Х Е П[а, Ь], а о удав.пепьворягьп условию Липтииа на [а, Ь], ьпо Т Е Я(о)[а, Ь]. Пусть Ь: 7 К вЂ” функция ограниченной вариации на гсгмонте 7 = [а, Ь], Т ь .У В— произвольная функция. Согласно теореме 4, Ь 5, Функция Ь представима на 7 в виде где а и !3 — неубывающие на этом сегменте функции.
Определение. Полагаем 1(х) д!ь(х) = з[ ((х) до(х) — / !(х) ИЯ(х), если Х Е Я(о)[а, 1ь], 1 Е Я(11)[а, 6], и при тиом будем писать ~ Е Я(6)[а, 6]. Теорема 4. Егпи ~ Е П[а, 6], ьо Е Я[а, Ь], д(х) = ус + [ р(!) дз, а < х < 6, уз = соььэг, то д Е Я(д)[а, 6] и при этом ь ь Т(х) Йд(х) = [ У(х)ьэ(х) дх. (3) В.б, Вычисление иитеграла Стилтьеса. Теорема. Пуппь ~ Е б'[а. Ь], а функция д кусо ьно-ььгпрерььона на [а, Ь] и омегт инпьсь грируемую на этом сегмептг проиюодную д коптрая гутгшнвуень в камдой пьочк» непрерывносгпи функции д. Пусть зс — — а, гь, ..., х,„= Ь вЂ” точки разрыоа функции д и ев производной д .
Тогда справедтго формула У(х) дд(х) = [[ Дх)д'(х) дх+ У(а)(д(ьь, + О) — д(а)) -/- — ь + у(6)(д(1ь) — д(6 — 0)) + ~ /(хь)(д(хь(+ О) — д(хь — 0)). (1) ь=ь В.й. Теорема о среднем и оценка интеграла Стилтьеса. Теорема г. Пусти ь ь [а, Ь] К, ш < )'(х) < М ьх Е [о. 6], д: [а, Ь] В не убываепь на [а, 6] и Х Е Я(д)[а, 6]. Тогди тьргьведливи форзьула ь У(х) дд(х) = р(д(6) — д(а)), где <р<М. Теорема 4 (формула интегрирования по частям). Пусьпь 1 ь [а, 6] 2, д: [а, 6] — Р. и сутеспьвуеш какой-либо из инпьвгралоо Стильпьеса [ Дх)дд(х), ] д(х)д1'(х). Тогда гутгспьвует и другой интеграл, причем справедлива формула Ь 8.
Иитетрап Стилтьеса 339 Оледеггвие.. Если Х б С[а, Ь], и!о Лб б [а, Ь]: 1(х) дд(х) = 1(с)(д(Ь) — д(а)). (2) Теорема к, Если 1' й !![а, Ь] и д; [а, Ь] И вЂ” функция ограниченной вариации на [а, Ь], еао справедлива оценка (3) (МЪ(д;а,б), Пх) дд(х) функции д.
где ЛХ = гаах ]1"(х)/, И(д; а, Ь) — полная вариация «ь 149. Пусть функция о возрастает на [а, Ь], а < хь ( Ь, о непрерывна в точке хо, ь )'(хо) = 1 н 2'(х) = О, если х ф хо. Доказать, что 1 б Н(о)[а! Б] и Х(х) да(х) = О. и Из непрерывности грункции а в точке хз следует,что Че > 0 3 б > 0: гх е Е(ха, б) ~ [о(х) — о(хо)) < 2 Пусть П вЂ” такое разбиение сегмента [а, Ь], что д(П) < б. Если точка хь принадлежит сегменту [г„х,ег] при некотором 0 < ! ( и — 1, то 5п(Х, а) = о(х;+!) — п(х;) = о(х,+!)— о(хо) + о(хо) — о(х,) < е,,эп(б, а) = О, следовательно, 0 ( 5п(1', о) —.5п(Х, о) < е и ~ к Н(о)[а, Ь]. Поскольку 5п(1, о) = 0 при любом разбиении П сегмента [а, Ь], то б г!о = зир[.5п(г', а)) = / г (х) до(х) = О. 1п1— 150. Функции дг! ! [ — 1, 1] И, у = 1, 2, 3, определены следующим образом: !дг(х) = О, 1 если х < О, д (*) = 1, если х > О, !Уг(О) = О, 19з(О) = 1, ггз(О) = —, '2 Пусть У .— ограниченная функция на [ — 1, 1].
а) доказать. что б б,5(11!)[ — 1, 1] Еэ ~(+0) = К(0) и что в этом случае ! !'(х) д(дг(х) = б(0). б) Сформулировать и доказать аналогичный результат для !дз. в) Доказать, что 2" б .5(дз)[ — 1, 1] ЕЭ у непрерывна в точке х = О. г) Пусть у непрерывна в точке х = О. Доказать, что г (х) дрг(х) = / ! (х) д(1г(х) = /,б(х) дРз(х) = гг(0). и а) Необходилгосогь. Если 1" б .5(д!)[ — 1, 1], то, согласно свойству 3), теорема 1, п.
3.3, ! о ! ! г, (! Л-, ~ г, гг !!к ! )г!*! г !*! =/г(*!гг !*! г)гг! !г! ! !-)гг! ! г ! !. Гл. 4, Определенный интеграл так как ] у(х) 4(э'!(х) = О. -! ! Из существования ] !"(х) !1бг(х) следует, что !ге > О существует такое разбиение П сего мента [О, Ц, *по О < Зп(Х, б!) — Яп(Х, ~3!) < е. Поскольку бз(х,э!) — !э!(х,) = О, если ! ф О, и !Уз(х!) — б!(хо) = 1, то 0 < бп(Г„О!) —,Яп(у, ф!) = о!о < е, где о!о — колебание функции у' на сегменте [хо, х!] = [О, хз].
Тогда для любого разбиения П' такого, что 4(П') < !1(П), получим неравенство Зп. У, Ф!) — Вп*(У, Ф!) = ыо <., (О) нз которого, согласно критерию Бора, следует, гго функция 1 непрерывна справа в точ- кех=О: У(+О) = У(О). До<и!оп!очного!о. Пусть у(+0) = у(0), т. е. функция Х непрерывна справа в точке х =- О. Тогда !зе > О Зб > О: на интервале ]хо, хо + Я колебание ыу функции у удовлетворяет неравенство му < е. Возьмем произвольное разбиение П сегмента [ †, Ц, в которое входит точка х = О, такое, чтобы о1(П) < 6. Тогда О ( .уп(~, б!) — .Ьп(у",!О!) < о, следовательно, У б 5(б!)[ — 1, Ц. Поскольку при любои разбиении П сегмента [-1, Ц, содержащем точку х = О, выполняются неравенства < Г(х) б)уз(х) < Мз, -! где пг! = !п( (у(х)], М! = звр (1'(х)), и 1гп! оо! — — Гнп М! = у(0), то о«, о< < эо , +о ! Х(х) !10!(х) = ДО).
— ! б) Рассуждая аналогично, получаем Хб 5(Дэ)[ — 1, Ц:» Г( — О) =Х(0), ! и при этом / Х(х) Щ(х) = )(О). -! в) Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [ — 1, Ц и точка х = 0 не входит в П. Если 0 б]хэ, хэь![, то эп(У, (1з) —.Оп(у", 11з) = о!э, где ы! — колебание функции г" на сегменте [х, х эо]. Следователю!о, (ы! О при б(П) 0) оо (у(-0) = у(0) Ч у(+О) = [(О)'~ 1"( — 0) = = у(о) д Г(+о) = Г(о)). Если точка х = О входит в разбиение П и принадлежит сегменту [хэ, хээ!], то .5п(1, Дз)— Яп(У, 1уз) = -(!о] + о!) ), где и -- колебание функции Г на сегменте [хэ, О], о!1 (21 колебание функции у на сегменте [О, хэзо]. Следовательно, .Оп((, 1уз) — Яп((, Дз) 0 при б(П) 0 о; 1пп Г(х) = У(0), т.
е. у непрерывна в точке х = О. Таким образом, (( б Я(!эз)[-1, Ц) ЕЭ (у" непрерывна в точке х = О, и при этом ! Дх) !111!(х) = Х(0)). — ! 18.Интеграл Стилтьеса г) Если г" непрерывна в точке х ее О, то одновременно вылолияются все предыдущие случал и при этом ! ! ! г"(х) ыбз(х) = / )(х) нДг(х) = / у(х) з1!3з(х) = )(0).
в 151. Используя обозначения задачи 150, доказать, что бг б Я(б!)[-1, 1] несмотря иа то, что 1по бзп(!Уг, б!) ие существует. е1п> о и Иитегрируемость функции 13г по функции б! следует из случая а) примера 150, причем ! рог(х) !1ро! (х) = бг(0) = 1. — 1 Прп любом разбиении П сегмента [ — 1, 1] и произвольном выборе точек с; б [хп х,ез], ! = О, п — 1, имеем, если О б [хз, хзтз]! — ! ~' Р, А) = ~~ „)3 (6)(А(*+ ) — А( )) = ] 0" „,ли б' ( 0' =о Следовательно, 1!и Вп(!3г, Д) ие сузцествует. щп1-о , '!тот пример показывает, что условием а б сз[а, 6], о котором говорится в теорем«пункта 8.2, нельзя пренебрегать. 152. Показать, что 3([х]- х) = -„' 3 о и интегрирующая функция х !-! [х]-х, 0 ( х ( 3, представлеиа в виде разиосги иеубывающей функции х ! [х], 0 ( х ( 3, и возрастающей функции х !-! х, 0 < х ( 3, следовательио, согласно определению интеграла Стилтьеса ло интегрирующей функции ограиичеииой вариации, имеем 3 з з .[ х Й([х] — х) = / х д[х] — / х !1х.
о о о Функция х !- [х], 0 < х ( 3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а функция 1" ! х !- х, 0 < х ~( 3, непрерывна в каждой точке сегмента [О, 3], поэтому, согласно решению примера 151, получаем з х !1[я] = Д1) + Д2) + Ц3) = б. о з Поскольку [ х Ых = —, то окончательно имеем г ' о з 9 3 х !з([х] — х) = б — — = —. е о 153. Пусть р, — точки сегмента [а, 6] такие, что а = ро < р! « ...
р„ж 6. Предположим, что фуикцпя д: [а, 6] К ие убывает иа сегменте [а, 6] и постояииа иа каждом интервале ]р„реьз[, !' = О, л — 1. Пусть зе ! [а, 6] И, 1" б С[а, 6]. Вычислить ь Х(х) 30(х) Гл. 4. Определенный интеграл 342 < Функции у терпит разрывы первого рода в точках р„а функция у непрерывна на сегменте (а, 6]. На основании решении примера 151 можно утверждать, что д' б В(д)[а, 6], причем У(х) дд(х) =.Г(ро)(д(ро + 0) — у(ро)) + + ~ д(ул)((д(р, +О) — д(р ))+ (д(р ) — у(р, — О)))+((р.)(у(1ь,) — д(р. — О)) = ь=г = 1(а)(у(и + 0) — у(а)) + ~~~ Яр,)(у(р, + О) — д(р, — 0)) + 1(Ь)(д(6) — д(Ь вЂ” 0)).
154. Пусть С(х) = й(х) -1- у(х), а ( х ( 6, где 1ь Е СО1[а, 6], й'(х) ) 0 Чх Е (и, 6], а д н 1 — функции, заданные в предыдущем примере. Вы ~испить / ХоЬС(х). М Поскольку С вЂ” неубывающая на сегменте [а, 6] функция, равная сумме двух неубывающих на этом сегменте функций, то, согласно Формуле (1), п. 8.5, имеем Х(х) ПС(х) = / 1(х) ьЫь(х) ~- / 1" (х) Ид(х).
Поскольку й б С~'1[и, 6), то [ Г(х) Нь(х) = [ 1(х)й'(х) Нх, следовательно, получаем ь ь Х(х) Н~(х) = / 1(х)1ь (х) ь1х + д~ Г(х) ьЬд(х), ь где [ 1(х) ид(х) вычисляется по формуле, полученной в предыдущем примере. 155. Пусть 1' Е С(а, 6], р Е К(и, 6], р(х) ) 0 ох Е (а, 6]. Доказать, что Г(х) о1Р(х) = / Г(х)р(х) дх, где Р(х) = р(1) Я, а < х < 6. м Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента (а, 6] н составим интегральную сумму Стилтьеса Функции Х по функции Р: Ео .Уп(~, Р) = ~~ ~(6)(Р(хОО) — Р(х,)) = ~ У(5) / уо(х) Нх, 5 Е [х„хны]. =о =о Составим также риманову интегральную сумму интегрнруеьюй на сегменте (а, 6] функции Хр: » — 1 Яп((р) = ~~~ Я,)р(5) ьах, =о 1 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
