И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Поскольку тело абсолютно твердое, то работа внутренних сил равна нулю. В конце промежутка времени тело остановилось, значит, Т = О. Следовательно, Та = -А. Знак минус соответствует затрачиваемой работе. При вычислении кинетической энергии выделим кольцевой цилиндр радиуса р, 0 ( р ~( г, толщина которого бр и высота 6. Его объем с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Ир, равен 2тбрбр, а масса йт равна 2лблрйр (рис. 70). бр Линейная скорость е точек диска, находящихся на расстоянии р от оси вращения, равна ыр, где ы — угловая скорость диска.
Так как диск совершает и оборотов в секунду, то ш = 2яи с '. Следовательно, е = 2хпр. Кинетическая энергия кольцевого цилиндра приближенно равна ,2 4Та = — йп = — ш д Игп = гбш (гд бр. э 2 3 3 2 2 1'огласно общой схеме применения интеграла, получаем То = ябб ~ыыр г(р = 4хзб~зб| рз бр = хзбя йг~. а о Рис. 70 Следовательно, А = -Тэ = — тзбпэбг 1 е, К 148.
Электрические заряды отталкивают друг друга с си° р — ~ е~ез -Я Й. лой —, где гч и ез — величины зарядов, а г — расстояние гз между ними. Определить работу, необходимую для того, чтоРис. 71 бы приблизить заряд гэ = 1 к заряду е~ из бесконечности на расстояние, равное г(. М Элементарная работа йА равна произведению силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения; 4А = Р сох п йг (рпс. 71). В рассматриваемом случае имеем ИА = 1'з Иг соз т = — Еэ йг = — Я-бг, так как Рз = Я.
Согласно общей схеме применения интеграла, находим и 14г с~ ~в е~ г К Упражнения для самостоятельной работы 146, Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и 6 разбивается на две части параболой, пер~инна которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и проходит через его противоположную верШину. Найти центры тяжести верхней гй и нижНей Яз, частей прямоугольника. 'з 7. Применение определенного интеграла 335 147. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной осями координат н параболой ,'г + угу =,/а. 148. Найти статический момент однородной фигуры, ограниченной графиками функций г з, ь- — — и я ь- я, х Е И, относительно оси Ох.
!э 149. Нанти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком функции, заданной уравнением 9 = ах — х г з 150. Найти декартовы координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком правой петли лемннсхаты Бернулли р = а сов 2(э.
151. Найти я~картоны координаты центра тяжести части логарифмической спирали р = ис~, —,' < И < з. 152. Найшг момент инерции боковой поверхности конуса, радиус основания которого )( н высота Н, отлосптг льна его оси симметрии. 153. Найти положение центра тяжесгн однородного конуса. 154. Радиусы оснований усеченного прямого кругового конуса равны Я и г, высота Ь, плотность у.. (, 'какой силой действует он иа материальную точку массы т, помещенную в его вершине? 155.
Капля с начальнон массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную пг. Какая работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1об. Треугольлал пластинка, основание которой а = 0,4м, а высота Ь = 0,3 м, вращается вокруг своего основания с постоягзг<ой угловой скоростью ш = бх с '. Найти кинетическую энергию пластпнки, если толщина ее а = 0,002 и, а плотность материала, из которого она изготовлена, и = 2200кг )м з 157. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота Ь.
а) Вычпсюгш, сплу давления воды на каждую из сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? 156. ( !тержепь длиной ! вращается вокруг своего конца, совершая з оборотов в секунду. Определить вели гину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен а. а центробежная сила для массы т, движущейся по окружности радиуса г с угловой скоростью ш, равна пггш г 159.
Под действием нагрузки 1 проволока цлиной ! с поперечным сечением с" и модулем )Онга Е получает уцзпнение Ы равное —, Определить удлинение этой проволоки под денев ' с танем сво~й тяжести, если оиа висит вертикально. Удельный вес вещества проволоки равен д.
160. От нагрузки в 9,8 Н проволока растягивается на 0,01 и. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее на 0,04м? 161. 1(экуго работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы радиусом 1,2 и и высотой 1 и, если плотность песка 2000 кг)м ? 162. По закону Джоузш количество тепла, выделяемого постоянным током, равно Яс г (,' г где с =- Ои! — — посгояиная, Н вЂ” сопротивление, ! — число секунд, г — сила тока. Найти выделяемое ~епэо для переменного тока г = а соя Ь!. 163. По закону Торрпче.эли скорость вытекающей жидкости равна чз299Ь, где Ь вЂ” глубина отверстия под уролнеи жидкости.
Определить время выгекания воды из конической воронки с вершиной внизу. имеющей площадь основания Р, высоту Ь и отверстие в вершине плошадью а. 164. Цияпндр радиуса 0,15м и высотой О,бм наполнен воздухом под давлением 9,5. !О Н!и . 1(экую работу пэдо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два г раза меньшего? 165. Точка движется по оси Ох, начинал от точки (1, О), так что скорость ее численно равна абсцпссе. Где будет находиться точка через 10 с после начала движения? Гл. 4.
Определенный интеграл ~ 8. Интеграл Стилтьеса 8.1. Верхний и нижний интегралы Стилтьеса. Критерий интегрируемостн. Пусть Х: 7 — Н, 7 = [а, Ь], — ограниченная на сегменте 3 функция, в: .1 Н вЂ” неубывающая на этом сегменте функция, П = (а = хь, хн ..., х„= 6) — — произвольное разбиение сегмента 7. Образуем верхнюю и нижнюю интегральные суммы Еп(Х, в) = ~~~ М. Ьвн .5п(Х, в) ж ~~~ т, гЬвц где М, = эвр (Х(х)), т, = !и! (Х(х)), ггв, = в(хьы) — в(х,), .,<л<л,ч~ ,цл<лыа н введем в рассмотрение числа Хбв = !в!(5п(Х, в)), / Хбв = звр(Яп(Х, в)), / / которые называются соответственно еерхним н нижним итлегралами Сглила~ьеса. Определение.
Если ] Хба = ] Хба, то общее значение ьсрхисго и иимисго иитегралое назовем интегралом С~яилтаьсса функции Х ао функции в (или опгносительио функции в) и обозначим его Х(х)б (х). Множество всех функций Х, интегрируемых по Стилтьесу относительно Функции в на сегменте [а, 6], обозначим Х б .5(в)[а, Ь]. Из этого определенгш следует, что прн в(х) = х интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана функции Х на сегменте 7 В общем случае функция в может быть разрывной на У Функцию в называют итиегрирующео функциеб, Теорегла (критерий ннтегрируемостн).
Х с .5(в)[а. Ь] се Ыг > О ЗП: О < 7!5п(Х, в) — 5п(Х, в) < г. 8.2. Интеграл Стилтьеса как предел интегральной суммы. Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента,7, И(П) = шах гЬх,. На каждом сегменте ойьйь-1 [хн хс Ы] возьмем произвольную точку б; и образуем сумму Яп(Х, ) = Е Х(6) 1, =э которую назовем ииа1егральиой суммой СЬлилтьеса. Полагаем !!ш Еп(Х, в) ж Х, если г!и1-о Ые > О ЗЬ > О: ЫП Л И(П) < Ь <Э ]Ец(Х, в) — Х[ < с. Теорема.
Если: 1) при Н(П) О Л !ца.5п(Х, в), то Х б.5(в)[а, Ь] и !пп Яп(Х, в) = Х(х) Йт(х); г!и! с 3,3Т( э 8, Интеграл Стилтьеса ь 2) Х Е.')((е)[а, 6], а Е С[а, 6], л(о Э 1пп Яп(Х, а) = ] Х(х)да(х). ) ) ' ( щп)-о ',Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Стилтьеса.ьй 8.3. Основные свойства интеграла Стилтьеса.
Теорема у. Если( 1) Х Е Я(е)[а, 6], д Е Я(е)[а, Ь], то (Х + д) Е Я(е)[а, Ь], сХ Е Я(а)[а, 6], с = сопвг, и при э Р г) о и ь ь ь ь ь (г г .)( ) Ы ) = / Л.) г.(*) г / ( ) г.(* ), / Л ) г.( ) - / г( ) г ( ); 1 а 2) Х, д Е Я(е)[а, 6], Х(х) ( д(х) эх Е У, то ь ь Х(х) да(х) (ж д(х) де(х)) 3) Х Е Я(а)[а, Ь] и если с Е ]а, Ь[, то Х Е Я(е)[а, с] г( Х Е Я(аНс, Ь] и при этом ь ь Х(х) де(х)+~Х(х) де( ) = ~Х(х) д (х); 4) Х Е,5(а)[а, 6] и если (Х(х)] ( М ()х Е У, то ( М(а(6) — а(а)); Х(х) да(х) 6) Х Е Я(е) )[а, 6] и Х Е Я((ег)[а, Ь], )по Х Е Я(е( + ег)[а, Ь] и при этом ь ь ь Х(х) д(е) + ег)(х) = /Х Х(х) даг(х) + э~ Х(х) даг(х); 8) Х Е .')(е)[а, Ь] и с — положил)сльное число, п(о Х Е Я(са)[а, Ь] и ь ь Х(л) д(се(х)) = с / Х(х) да(х).
Следует отметить, что в случае интеграла Римана справедливо и обратное свойству 3) утверждение: если Х Е Я[а, с] и Х Е 26[с, 6], )по Х Е В[а, 6]. ь Для интеграла Стилтьеса из существования /Х(х) де(х) и / Х(х) На(х) не следует, вооб- с щс говоря, существование / Х(х) да(х). Теорема д, Пдсп(а Х Е Я(а)[а, Ь], А ( Х(х) ( В (гх Е [а, Ь], д) Е С[А, В] и д = д) о Х: [а, Ь] — е К. Тогда д Е Я(е)[а, Ь]. Теорема 3.
Если Х Е Я(аЯа, 6] и д Е Я(еаза, 6], то) 1) Хд Е Я(е)[л, 6]; ь ь 2) $Х] Е 5(е)[а, Ь] и ] Х(х)де(х) (/ ]Х(х)]де(х), л () Кслп о раорывпа, то вооможои случай, что Х Е Я(е)(а, 6], а 1пп Яд(Х, а) ие существует (см. л1п)-о пример 154). Гьь. 4. Опредедеииый интеграл 338 ь ь И ) дд( ) = 1( )д(х)['. — ~д(х)й(х) 8.4. Классы функций, интегрируемых по Стилтьесу. Теорема 1. Если функция 1' непрерывна на сегменте [а, 6], то з' Е Я(а)[а, 6]. Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
