И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Интеграл Стилтьеса 343 н рассмотрим разность о! ..!»г»-ь и »=2.»»»! ([1! и!»с- »»»о.;) =о (,'атласно нервов теореме о среднем, имеем р(х)»(х = и, Ьх., »и, (и, <М,, где ии = пй (р(х)), ЛХ, =- зар (р(х)). Принимая во внимание оценку ]у(х)[ < М, *, <.«.,ч» ,< <,ч» а < х < 6, Л! = сопл(, неравенство [Л,-р(Е»)] < и»., где и», —. колебание функции р на сегменте [х„х,о»], а также интегрнруемость функции р, получаем, что о»е > О ВЛ > О: -! )дп(1, Р) — зп(Ур)[ < М~~» и» с»х» < о, =о для каждого разбиения П, для которого»((П) < Л. о Таким образом, В 1па Яп((, Р) = йт»»п(ур) = ] У(х)р(х)»(х. Следовательно, а(п1-о а(п(-о Ь ь ( б,д(Р)[и, 5] и / ((х)»(Р(х) = ~Цх)р(х)»(х.
156. Вычислить ~ х»(д(х), где е н — 2« -1, если — 1 < х < О, еслиО<х<2. м »1»ункцня д имеет скачки, равные 1, в точках х = — 1 и х = О, а ее производная д' имеет вил ( 1, если — 2<с< — 1, д (х) = О, если — 1 <х < О, 2», еслиО<х<2. Применяя йюрмулу (1), и. 8.5, получаем 2 х »(д(х) = / х »(х -Ь 2 / хз »1х + ( — 1) 1 + О 1 = » г о х 2 з(з 17 — +-х ~ — 1= —. » 3!о -б »(М ~~» х,( ЬФ(х,) = Яп(х, Ф), =о 157. Пусть на сегменте [и, 6] осн Ох расположены массы, непрерывно распределенные и сосредоточенные в точках х,, 1 = 1, и.
Найти статический момент зтнк масс относительно начала координат. М Пусть г »- Ф(х), и < х < 6, — количество массы на сегменте [а, х] С [и, 6], причем Ф(и) = О. Тогда Ф вЂ” неубывающая функция. Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [и, Л] на и частен. Тогда на сегменте [х,, х,ч»] содержится масса Ф(х,.>!) — Ф(х;) = »2Ф(х»).
В частности, на сегменте [хо, х,] содержится масса Ф(х») — Ф(и) > О (в силу предположения Ф(и) = О). ('читая в каждом случае массу сосрецоточенной на правом конце сегмента [х„опо»], получим приближенное значение статического момента»(М всей массы относительна начала коорцинат в виде Гл. 4. Определенный интеграл 344 где Ьп(х, Ф) — интегральная сумма Стилтьеса функцип х по функции Ф. Переходя к пределу при Л(П) — ~ О, получим для вычисления искомого статического момента И формулу ЛХ = х дф(х).
Если х ь р(х) — линейнал плотность непрерывно распределенной массы, то Ф'(х) = д(х). В точках хю у' = 1, гп, функция Ф разрывна и в каждой нз зтих точек ее скачок равен массе пз„. Применяя формулу (1), и. 8.5, для вычисления интеграла Стилтьеса, находим ь ж М = ~хр(х) лх+ ~ ~х з=! Упражнения для самостоятельной работы 166. Пусть у: х ~ ав х, 1з: х з хз — Зх+ 5, 0 <» < —. Вычислить / т(х) 31з(х). о 167. Пусть г": х н х~, О < х < 1, 1з: » ~ А, если — < х < — „, 1з(0) = О, А.
= 1, и. 1 Вычислить / у(х) 3Ф(х). з ~. х,. х,р ... [,'], О « * б. В ° «лить Х У( ~ ~~~ о 166. П у; х ° х', О < х < 1, с(х) = О если х б [' ! Вычислить / у(х) 3л(х) о 176. Пусть у': х ь хз, 0 < х < 1, зз(х) = 1, если х Е ]О, 1[, Ф(0) = Ф(1) = О. Вычислить 1 / »"( ) 3р(х). о з ( О, еслнх= — 1, 171. Вычислить / »Ну(х)> где зз(х) = 1, если — 1 < х < 2, -1 -1, если 2 < х < 3. з з г 172.
Вычислить / »Нх(х), / х' 1 "(.»), / (ха+ 1) лзз(х) где ( х+2, если — 2<х< — 1, 1з(х)=~ 2, осли — 1<»<0, 3, если О < х < 2. 173. Пусть у' — функция ограниченной вариации на сегменте [О, 2я] и у(2т) = )(0). Показать, что каждый из интегралов у(х) з(п ях ох о / г(х) сохи» й», о не превосходит ' * по абсолютной величине.
а Полученная формулапоказывает,что интеграл Стилтьеса позволяет объединить с помощью одной интегральной формулы разнородные случаи непрерывно распределенных и сосредоточеииык масс. 1 О. Приближенное вычисление определенных интегралов [[ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 1'. Формува прямоугольников. Если Функция у(х) Е СО)[а, 6]; Л =:„; х, = о+ ьЛ (ь = О, 1,..., и); у(х,) = у„то у(х) ь)х = Л (уа + у! + ... + у -!) + Я , где Я„ш ( — -)ау (б), и < 6 < Ь.
2'. Формула трапеций. Если у = у(х) б Сь~)[а, 6), то прн тех же обозначениях имеем у(х)Ых = Л ( + у!+ уз+... + у„!) + А„, 2 Л у(х) ь)х = — ((ус + уг!) + 4(у! + уз+ . + уга — !) + 2 (уг+ у!+... + Уы-2))+ Я«, где А„ш — 1:;-«) — Уь )(ь'), а ~ (ь ~ (6. Примечание. Если имеет место формула [[2-6[[, =!в,т[., —;,[< ЛУЛ", гле Ь, — - прибтижеявос гяачсчве вош! поо .,: ы шсяевное по некоторой формуле, то говорят, что зта формула в некотором классе функций имеет «-й порядок точности (М Р О вЂ” постоянная, не зависящая от Л). таким образом, формула прямоугольников ямеет в классе у б с1 !) [а, ь) первый порялок точности, формула трапеппй в классе у б С12) [а, Ь[ имеет второй поряяок точности, формула парабол в классе у б С1!) [а, Ь[ имеет четвертый порядок точности.
Часта вместо норльы Ц [[з берут другие спепнальные нормы, выбор которых зависит от характера решаемых зала"ь, В лальнейшем отрезок [а, Ь] с выделенными на нем точками х, — а + ьЛ (ь = О, 1,..., «) будем называть равномерной сеткой с шагом Л; точки веления х, называются узламн сетки. 158. Применяя формулу прямоугольников (гь = 12), приближенно вычислить 1 = г х яп х йг; н результат сравнить с точным ответом.
о ч Рассмотрим равномерную сетку на отрезке [О, 2т) с шагом Л = е, тогда х; = ь- (! = е О, 1, 2,...,12). По формуле прямоугольников, имеем к = к ь! г 3 \ х ..3' т ч хявхь)х — — 22 ьтзш 6~ 6' 6 36 е =о =е г ь! ьт 3 \ ! яв — = — — ау соз ьх 6= 36 ь[2 =! ь! тг [ [6 в!в бх яв г 2— 36 [ ь! 2 2.2 !' сов бх яп — х ! — соз — х .
сов бх ! яп— ь! ь! ь . е г 2 ) г+ яп— 2 яп 2 з 2 где )1„= -~— ," ' ув(!)), а < !) < 6, 3'. Формула парабол (формула Симпсона). Пусть у = у(х) б С1~)[а, 6). Полагая н = 26, можно получить формулу Симпсона ! л. 1. Определенный интеграл 1 . ° 11 — соз — соз Ох ып — х + 2 2 ' "' 2 Зли саз — з!п — 77) 11 12 12 7Н 11 хг ( — соз — хз(н 2 12 12 2 36 1 тйл 1г г, 11 гоз — ' з114 — „+ соз — зш 12 !" !2 с(5 —, = — —, (о + Л) = -6,.2961 х т' 12 6 г ып 12 (взяли з 3,14; 1/3 — 1,73).
Точное значение интеграла 1 = -22 = — 6,28. 1 59. (1 помощью формулы трапеций вычислить интеграл = [у(,::.0,2.4, !а=„ 4 о и оценить погрешность формулы. Построим на отрезке [О, —;) равномерную сетку с шагом А 1 = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6) . По формуле трапеций Г,,=л —; 1г' 12 ' с 2+!/3 1 ч 7 ' . г 1 .г (2+ч73 31 ч — л + - ~ )/7+ сот 21 — = — -1- — ~ 7+ созл- 6) с +,/3 1 !/14+,/3 л/15 5— л/13 31/14 л/3 х 12 2+ 733+ 4/14т л/34 Л,"+ /14+ л/133+ Л/14- /.~~ = ( 48 3,142...,..., „3,142 22,422 — (3,732 + 3,966 з-'1,873 + 3,742 4 3,605 + 1,5!03),. †' ' 1,4677.
Оценим погрешносп, формулы трапеп»ч; дгя та"о оценим К,„. Очевидно, [К„! 6. ы-(2) — !пах [/а(7!) !. «<Ог'Л а( В нашем случа~ шзх 4,1! — — ып х ) [ ( — 7 4 ' 14714' ( агс(х х 4(Х. х о < Построим равномернула сетку с шагам 5 = 0,1 (х, = 114; 1 = О, 1,..., 10) и вычислим приблигкенно С' по формулс ((пмпсш!а 1 О = — ((уо + 910) + 4(у! + Уз + ул -(- 97 -(- уо) + (92 + У4 + уа + уа)) . ,10 Вычисляя саответгтвующи4! значения функции с точностью цо пяти знаков после запятой, получаем Уо = 1', уш = 0,78540; уо + У1о = 1;78*40: ул = 0,99668; уг = 0,97152; ул = 0,92710; Таким образом, !К„! < —,„, „4 ы < 0,002 160. (.' помошыа формулы ('нмпсона вычислить интеграл 1 (х 1= / — (6=2).
/ 14 г о 1! М Деля отрезок [О, 1) па четыре равных части (А = -), по формуле Симпсона имеем 1 12 ((Уо+ ул)+4(ул+ ул)+2уг) —,(1+0 5+376471+2 56+ 1 6) = 078539. 161. Принимая и, = 10, вычислить константу Каталана 1 э' 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 347 уэ = 0,87246; уэ = 0,81424; 4(у! + Уз -~- уэ -1- у!+ уэ) = 4 4,58220 = 18,3-880; уг = 0,98698; уэ = 0,95127; ув = 0,90070; ув = 0,84343; 2(уг+ у! + уз+ ув) = 2 3,68238 = 7,36476.
Подставляя вычисленные значения, находим С вЂ” 1'78540 + 18'32880 + 7'36476 30 1 .х Т 3х 4 162. пользуясь формулой — = 1 —, вычислить число х с точностью до 10 4 / 1+хг' э 1 М Мы уже вычислили в задаче 160 интеграл ) ~~, с помощью формулы Симпсона, взяв 1+ э э 5 = 2 . Оценим погрешность формулы. Поскольку (см. пример 77, гл. П) 11э1 (-1) "! ! „'„, э!ц ((н+ 1) агс18 х), .г) (1+ хг) г то ~( е э) < 4! при х Е [О, 1], следовательно, 00 ]В„[ < — — = — 5 10 4 180 44 1920 Используя результат задачи 160, нахоцим х 4 0,78519 = 3,14156. Сравнивая полученный результат с табличным т = 3,141592..., видим, что все четыре цифры после залитой правильны.
163. Вычислить з[ е' йх с точностью до 0,001. э Г 1141 М Вычислять интеграл будем по формуле Симпсона; поскольку 11в ) < 228 при х Е [О., 11, то шаг сетки выбираем и,! условия (оценивая погрешность формулы парабол) Ь~ < !э 14 8 )1! — 4 !э Деля огреюк [О, 1] на 10 равных частей, получаем 1 е' 3х = — ((уэ+ у!э) +4(у! + Уз + уз+ уэ+ уэ)+ 2(уз + 94+ уз 4 ув)) 30 в Вычислим значения функции е в узлах сетки с точностью до 1О (можно вычислить, используя, например, формулу Тейлора). Имеем уэ = 1, уш 2,71828, у! 1,01004, уэ 1,09417, уэ 1,28733, у! 1,61210, уэ 2,24789, уг 1,04081, ув 1,17351, д, = 1,41312, р, = 1, 89648, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
