И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 55
Текст из файла (страница 55)
3, функция ' -" Уй"-:)+ " ~м х б Щх+ 2йг), (2й+ 1), х=х+2Ьг, Оба, является первообразиой функции х ~ —,, х б К, 0 < а < 1. По формуле Ньютона— г Лейбница имеем 1 = Е(4х) — Р(о) = ~/1 — с~ г .г -1 аг з(в х + Ог созг х ьг- г оде а = „+,, и произведя в интеграле замену 2х = т, получим аналотично решению предьгдущего йрймера о "+1' (л=' -- (о'~.~ "г) ос-'; [Ы)~ =.о, . Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислить интегралы от разрывных функций путем построения ик первообразных на всем промежутке интегрирования: 22.
У= ) ™ Лх, У(х)= (х+ ) (х ), Е=[ — 1,3)(((О)сг(2)). / + Р(~) ' *'(х — 2) Я а Функция 1 не определена в точках х = 0 и х = 2 сегмента [ — 1, 3], а подынтегральную функцию можно записать в виде У'(х) г ! + уг(х) = (атсгяу(х)), х б Е, и функция г ь атсгдг(х), х б Е, является первообразной ограниченной на множестве Е функции —,. Согласно определению 3, и. 1.5, имеем у' 1+то ' з / г х / ( ) где Г(х) = '+РЖ' солих бЕ, О, если х = 0 или х = 2. Первообразную Ф функции Г на сегменте [ — 1, 3) строим следующим образом: о ч Преобразуя подынтегральную функцию к виду 1 2 аз миг х 4-Ог созга (аг 4.3г)(1-~есоз2х)' ассоц у(х), если — 1 < х < О, и 1цп атсгОД(х), -о атсгдг(х), если О < х < 2, и Лги атсглу(х)+Сы а оо йгп агсоб 1(х) + СЫ г — о ассой у(х), если 2 < х < 3, и 1пп атсобу(х)+Сг, г-гоо еспих =О, если х = О, солих =2, если х = 2.
Гл. 4. Определенный интеграл 266 Следовательно,получаем агсгд 1(х), Ф (х) = агсоб 1(х) — гг, агсгд,у(х) — 2л, если — 1 ( х ( О, если 0 ( х < 2, если2 <х <3, где Ф(О) = — —, Ф(2) = — '-л. Применив формулу Ньютона — Лейбница, находим 32 1 = Ф(З) — Ф(-1) = агсод 1(3) — 2» — агсгд 1( — 1) = агсоб — — 2л.
27 г; 2З. 1= в!пг х+ саво х = 2ч'2 в-. 31,3 24. 1= / [х]4х. о,в < Построим первообразную функции 1 ! х г-! [х], 0 ( х < +со, имеюшей разрывы первого рода в точках х = и, и б И. Если х б]г! — 1, и[, то 1(х) = и — 1; если х б]гг, и+ 1[, то 1(х) = и, Таким образом, функция Г„! .. х ! (и — 1)х+ С„г, С„! б К, является первообразной сужения функции 1" на интервал )и — 1, и[, а функция Г„: х ! их+С»о С б Н, является первообразной сужения функции 1 на интервал ]гг, и+ 1[. Из условия непрерывности первообразной в точках х = и получаем Г !(г! — 0) = Г (и+ 0), т. е. (и — 1)и+ С ! = »г + С, откуда С = С„! — и, и б Ы.
Полагая г! = 1, 2,, получаем С! = Со — 1, Сг = Сг — 2 = Со — 3, Сг = Сг — 3 = Со — 6, Поскольку и = [х], х б [и, и + 1[, то Г(х) = х[х] — (-)(-*~ — ) является первообразной функции 1. По формуле Ньютона — Лейбница имеем 1 = Г(31,5) — Г(0,5) = 31,5 31 — 31 16 = 480,5. > го 25. 1= да(в! х)И . — !! . М функцию 1; г: г вбп (вш г), х б К, представим в внле — х б йгГ[бл; 74 б Е), О, хб(йлг ФОУ).
! ! Х ! 1 Поскольку г(х) = "" при х ф йл, то непрерывная функция Г; х г атосов(совх), х б И, является первообразной ограниченной разрывной функции 1. Следовательно, 1 = Г(20гг) — Г( — 11;г) = ыссов1 — атосов( — 1) = — л. 4О 26. 1 = ( — 1)00 л' . — г! о Н Принимая во внимание равенство мп х+сов х = -(1+в сов 4х), где е = —,, и произведя 4 4 3 1 в интеграле замену 4х = Г, получим, используя решения примеров 20 и 21, 1 2.
Основные теоремы и формулы 267 Ч Поскольку ( — Ц * = здп(з!»»тх), х б Й, то, принимая вовниманиерешенненредмдущего 1*! примера, имеем 1 1»о 1 = — агссоз (гоз тх) ~ = — (агссоз 1 — агссоз ( — 1)) = — 1. х г1 гг г 27. 1= /[е"]г1х. о м Функция х» [о ], О < х < +сю, разрывна в точках х„= 1пв, в = 2, 3, .... Пусть х б]х„, х„»1[. Тогда [г ]о!х = их+ С, С„б К, С„=- сопок Если х б]г,.»ы х»г[, то [е'] о!х = (и + 1)х + С„ею Сзе» = сопли Из условия непрерывности первообразной функции х » [е ], О < х < +ос, в точках х получаем зависимость между Со и С„е»: С„»о = ф— 1п(о -!- 1), и б »4. Полагая последовательно в полученном равенстве и = 1, 2, ..., находим С„= С вЂ” 1п в!, С' = сопя». Таким образом, функция Г: х» [е']х — !п([г ]!), О < х < +со, является первообразной функции г: ~ [е*], О < х <+со.
Поскольку [ег] = 7, то 1 = Г(2) — Г(О) = ([е*]х — !п([е»]!))]г = 14 — 1п 7Е и 28. 1 = з~зд1»(з1п(!их))6гч Е =]О, Ц. М Функция Г: [О, Ц вЂ” ~ !4„где здп(зьп(1п х)), если х с]О, Ц, (х) ] О, если х = О, ограничена на сегменте [О, Ц, а множество Х = (х» = е»; А.
б Щ ее точек разрыва счетное, следовательно, Г б й [О, Ц, и, согласно определению 3, п. 1.5, имеем 1 здп (гйп(!»» х)) Их = з~ Г(х) г!х. к о Обозначим Г(х) = 1 зд»1(з1в(!их))3х, х > О. Если с О»Оо < х < е ~, то Г(х) ( — Ц» 'х+ С», где О = [- — "1, С» = сопя». Если же е От~> < х < е 1~т'1о, то Г(х) (-Ц»х+ С»+». С»4» = сопл»..
из условия Г(е !»+ы — О) = Г(г ! + ! + О) находим С»ео = С»+( — 1)" ' 2е !»+ ! откуда С» = Со — 2(г — г ~г + ... + (-Ц» 'е» ), Со = сопл». Следовательно, Г(х) 1 ( — 1)[ о 1 т — 2(е — е + ... +(-Ц» о 3е~ о ! )тСо, причем Г(О) = Бщ С» » +»о Со — 2, Г(1) = — 1+ Со. 1+« Таким образом, е " е — 1 т 1=Г(Ц вЂ” Г(О)=-1+2 = =а —, М 1+е е +1 2 Гл.
4. Определенный интеграл 268 б 29. 1 = [х)ягп — *г1х. 6 б м Рассмо~рим Р(х) = ) [х) яп — Ых, х ) О. Если х б)п — 1, и[, то Г(х) = -(и — 1) — сов — + С„г, С ! = сопвг. Если же х е)п, и+1[, то Г(х) = — и — сов — +Св, С„= сопяг. Из условия Р(п — 0) = Г(и+ 0) получаем б пт С„= — сов — + С„ гг 6 откуда 6 / гг 2х пгг1 Г:„= Сб+ — ( сов — + сов — + ... + сов — ) . я[, б 6 6) Следовательно, 6 хх 6/ гг л тх 80 Р(х) = — — [х] сов — + — [ сов — + соя 2 — + ... + сов[я) — ) + Сб, 1 = Р(6 — 0) — Р(0) = —. м гг 6 л[ 6 б 6 л г! э 30. 1 = ~ хвбп (сов х) г/х. М Рассмотрим Р(х) = [ хвбп(совх)бх, х б К.
Подынтегральная функция разрывна в точках хь = -+ Йя, Й б Ж, поэтому ах' 1 гг гг Р(х) = (-1) — + Сь, если х б ~ — + (Й вЂ” 1)х, — + Йл 2 )г 'г Р(х) = (-1) — + Сьб!, если х б — + Йя, — + (Й + 1)я ~. 2 12 '2 Из условия Р(хь — О) = Р(хь + 0) находим Са„=(-1) ( —,, +Йя) +С,, ь /л ! /л Са = гг — ) — [ — +я) + ... +( — 1) [ — + (Й вЂ” 1)гг) +Со, Са =сопви 'г2) [2 ) [,2 Поскольку Й =, то =- [ ~-: ())'-([)' — [.~'[.— [[":)-).)'-' Следовательно, 1=Г( — "я-0)-Г(--) = -'( — "я) +(-") — (~-)'. (~-)'- И-)' (~-)'- ~ (-Ц'=-Е-' .
Иногда пределы различных сумм вычисляются путем приведения их к интегральным суммам для интегрируемых функций. При переходе к пределу при и со получаем интегралы, которые вычисляются с помощью формулы Ньютона — Лейбница. Вычислить: 31. Ййп Яя, В„= — + — + .. + —. 1 1 1 +1 +г "' 2п М Записав 5 в виде 1Е 1 =1 209 ! 2.
Основные теоремы и формулы 1 31! )1 !1ш Я„= ! — = 1п(1+ х)) = !и 2. В. / 1+х о о 32. Бпг Я, 9 = — ~/1+ — + ~(1+ — + .. +)~1+— / и ° Ч ° ' ~ ° /' и Поскольку Яо = -„~ (/1 + — ' = 2 ~(б,) ~»х„где ! (х) = ~/Г+ х, 0 < х < 1, б, = х» = — „, си! 1 1=1,а, 13х,=-,то 1 1 (1 !!1п Н„= Я+х1(х = -(1+х)'~ = -(2х/2 — 1).
/ 3 3 о о 33. !пп Яо, Н„= мп — ~ ог о 2+ со»вЂ” »=! М Поскольку мп — = — + О ( — ) и )!1в О ! — ) ) з) 2.~ »о = О, то 2+ соз— »=1 т~~ 1 и ~ ' 2+соа— »=1 П)п Яо и Пш Но —" 2т» —— 2 тУ(б») 23х», где у"(х) тогда , 0 ~< х ~< гг, б» !0 „, )о 1, и, гаях» 3х 1 /' 3х 1пп Я„= ! 2-, 'соех 2/ 1+Обсозх о о (см. пример 20). и 34.
Лгп,3"„, 3'- =T —, 1=1 и Представим 9 в виде и и ь где б = -2 ,'2, 51, = — 2' —,. Из оценки 0 < Я„< —, = — следует, что Бш,ээ) = О, !г) го г -„р) 1» о и =1 =1 поэтому 1 !!ш )г' = Бп! Ьо! ) = / 2~ !(х = — ~ !п2!о !п2 о О оо ИспользУЯ пРавила Ловит»як и теоРемУ 2, п. 1.3, РаскРыть неопРеделенности виДа ©3 и,„—: ) соз ! 1(Г 35. Ппг -+о х приходим к выводу, что это нижняя интегральная сумма для функции х ь !»~, 0 ~ х,м, 1, 1 при разбиении П = (х, = -'; 1 = О, и) сегмента (О, 1) и выборе б! = х,. Поэтому Гл.
4. Определенньгй интеграл 220 м Применяя первое правило Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, получаем )соотг ог !нн о -+о х г г Бго — сов! о!Г = йш созг = 1. +а о!х / о-+о о „„,. Ц"")' о ° Применяя второе правило Лоциталя два раза, наводим )с ~!1 — „)е Й Бш !нв = 11ш 2 о а 2е' ) е' В о е*, . 1 2 рйп — = о. и 2хе ' -+, 2х = 2 йпг,, =2 1пп е' -+ — ое ' а !!гв 37.
Пусть г" 6 С!О, +ос! и у!х) А при х !-со, Найти 1пп у(ггх) ех. а ~ Произведя в интеграле замену иг = г, получаем г йн~ / Дпх) й~ = йш — ~ Дг) о!Г = йш х,о о и / где 1о„— значения функции Ог: х ь — ) Г(1) ец 0 С х ( -!-оо, в точках х = и, и ~ К. 1 о Следовательно„ о —,'.1 !)«=Ж()«.—,'/У()« о о и Из оценок Мго — 1~1(«!1 <— а е(х — Ь) ( (— 2х 2 1 х получаем оценку х — ~! У(1)й! С., 1 / о гма если х >— !!Ш 1о„= йш — ( Г!Г)й1. .—.- ../ о Если А = О, то ое > О зЬ > 0: Чх > г.'г ~ )у(х)! < -'.
Поскольку в рассматриваемом случае функция 1" является ограниченной, то ЗгУ > 0: !1!хИ < М тх е )О, +со~. Пусть х > гз. Тогда 12. Основные теоремы н формулы 271 Следовательно, Лш р„ = А = О Если А ф О, то 77 > О Эс?71 > О 1Ух >?Ь! ~ А — е < /(х) < А+ с. При з >?с! имеем Ьс 12 /(1) с!! = / Я) ей + / /(1) сй > / 7"(!) ей + (А — е)(з — Ьс). 0 з! 0 Поэтому Лш /(1) сй = оо. + .,/ 0 Применяя второе правило Лопиталя, получаем Г 1пп — ( Я) й = 1ш! — ( /(!)гй = Лп! /(х) =А.
, з 2 -! С?З + 0 Следовательно, !ип р = А. н е' 38. Доказать, что / с' сй — при я — с +ос. :1з 0 ?х ) с' с?! 0 М Докажем, что 1!ш = 1, применив второе правило Лопиталя: .2 е' гй 2 ) е' ей + ?хе* 0 !пп -+ '2хе' — 2х) е' 0 1пп +20 —,е 2х)з' сй Лп! е 2 )Е' сй +1 зг' З7)Е' Гй 0 +1 — (хез ) 22 г 1,езг + 2зге*' Бш *-+ Вш 1 сй 1 ) ,77:"гсс,т 1 1(С вЂ” Е) 2+ 4,/2 = — 1п —. 1/2 7 7 ч В неопределенном интеграле (, ~,, с!х, з е К, произведем замену переменной по фор- 1 муле з — — = 1, з ~ О. Тогда с!х = ( = — агс!д — + С = — згс1О + С, х е !и'г(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
