И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 52
Текст из файла (страница 52)
118. ) -' — йх. 119. ) —, *, 120. ),",* . 121. ) сйвх ГГх. 122. ) с!ззхв!ззхйх. 123. ) ' —, ГГх. )) 6. Разные примеры на интегрирование функций Найти интегралы: 137. в' ~ Представляя знаменатель в виде 1 + к~ +х = !х'+ !)з — х' = !х'-~-ха+ !)!хв — хз+ !), разложим подынтегральную функцию на простые дроби: ! !( х+! ! -!- хз + х' 2 ! х' -~- хг + 1 хв — хз -!- ! + Интегрируя последнее выражение почлеппо, получаем х -!-1 " Г! !х з) игагс13 — + -У*взззх, если х ф О, з г,1Г» '! Г х+х+! —./(, )з+3-1 О, „..х=О, ! — х / и)х+ „) 1 х +хзГЗ+ ! '+хз-р1,/ )'х+')' З зчГЗ ' — хчГЗ+! Итак, искомый интеграл равен ( з — (агсзд — ' + — !и —: — — - — + — ' здв х) + С, если х ф О, / '-'- ~*в+. Гзт ~ з,/3 ! .,Гз з ~-,2-:.,Гзез ~ з- С, если х=б.~ 138.
Т= !2+ ' х)' уб. Разные примеры иа интегрирование функций 249 М Пользуясь результатом примера 131, находим «» ( '1(» х) 1 соэх 2 ( «х (о+ли! х),/ (2.(-сов(- — х)) 3 2+гйлх 3 / 2+эшх' » последний интеграл вычислим с помощью универсальной подстановки 1 = 13 —, 2пх — х < х < з ' х+ 2агг, и Е Уо, «х 2 213$ — 1 1(х) = ! = — агс13 + С„. / 2+э' х ./3 »Г3 Иэ условия !(х+ 2лх — 0) = 1(х+ 2нх+ 0), аналогично тому как мы поступали при решении примера 125, находим '!я С = — о+С, С = Со, 2пгг — гг < х < я+2пт.
,Гз Таким образом, 1 сов* 4 -' б з + 4 х+ я1 + агс13 ! + — — ~+С, 3 2+,'! - 3,IЗ '3 3,/З1 2Я ! !(2лт -!- х) = 1го! 1(х). м -! ° т . 1(х)— (2+ згл х)! х ~ 2вгг + з", х«х= — ', +С,; ! аналогично прп х < 0 — / х «х = — — '+ Сг. В точке »: = О, согласно определению первообразной, должно С! = С» = С, где С— произвольная постоянная. Поэтому при всех х имеем ~~)~1»=, лбах+С= +С. х, х(»г! 2 140.
«(! эо(х) г1», гле 1о(х) — расстояние числа х до ближайшего целого числа. М Из условия задачи эо(х) = )х — п(, в — — < х < п+ —, л Е 'ьо, поэтому ! ! 1 1 1 1(х) = / Ьо(х) «х = -(г — в)(х — и) + С„, в — — < х < и+ —.
'! ! '! Из непрерывности первообраэной получаем 1 (гг+ — — 0) = 1 (в+;), т. е. — + С„= — — + С„ег, ! постоянная. Поскольку и < х + — < 1(х) = —, 1 141. (х]).ыйн огх) 1». 139„~ (х(«х. М При»: ) 0 нлгеем ! С *.л! = С» -~ —, откуда С„= -" + С, где С = Со — произвольная п + 1, то и = (х + с) . Окончательно находим г! !)' (-(х 61 -1"И'~~'И '. Гл.
3. Неопределенный интеграл 250 ° а По определению целоК части имеем [х]] вгл хх] = ( — 1)" и вьп хх, и < х < а + 1, а б Ез. Поэтому .ь- ! [х]]в!вхх]ь1х = асов ьгх+ С',' а < х < а+ 1. Из непрерывности первообразной в точках х = а+ 1 получаем равенства ! ( — 1)< ы 1)»аз асовхх+ 51„= (а+ 1)сов тх + С е! т л = е! в= .!.! 3 .!- ! „ь откуда Све! = С„+ —.
Реп!аз это уравнение, получаем С„= С'+ —, С' = Са. Поэтому [(-1)"а' ] а [х]] гйв ах] г1х = сов лх + и — + С, п < х < а+ 1. ьг х Поскольку х изменяется в указанных пределах, то всегда а = [х) Таким обрааом, окончательно имеем [х][вьп хх~ ььх = — ([х] — (-1) ' сов ьгх) + С, [х] 1П где С' — произвольная постоянная.
м 142. Пусть Г(х) — монотонная непрерывная функцив и ( '(х) — ее обратная функция. Доказать, что если ((х) г1х = Г(х) + С, то Г-'(х) (х ы хГ-'(х) — Г(1-'(х)) + С. М В силу условия теоремы, справедливо равенство = Х(У '(х)) = Г'(Х '(х)). Интегрируя его по Г ь(х),получаем х !1(Г (х)) = Г(( (х)) + С, откуда х Ц( '(х)) = хГ (х) — /Г ь(х) г1х = Г(1 ь(х))+ С. и Упралгнеиия длл самостоятельной работы Пользуясь различными методами, найти следующие интегралы: зх" 1 еьр '" 1ввь,— „," "г 1ь~ +В-з- ~ьгг '" 1/Р- гс 'ь' 3 7. Интегрирование вектор-функций ~ 7. Интегрирование вектор — функций и функциональных матриц . (( 1,~/1 — хз 1»»4 — хэ 1+хэ' 4+ х / < Если неопределенный интеграл укаэанной вектор-Функции обозначим символом 1, то, согласно теореме 1, * =(/ ' - / " ' / " '/ — ")= х 1 х1 = (агсгйпх, ысгйп —, агсядх, — агсгб — ) + С, (х( ~ (1, 2' '2 2) где С б К вЂ” постоянный вектор.
В 144. / (— М Аналогично предыдущему примеру 1(х) = (1п (1 + х(, !п»у'1+хэ, ..., !п ьссГ+ х ) + С. В 145. З( (сов х, сов Зх, ..., сов зпх) дх. 1 Имеем я1п 2х я1в пзх»» (соя х, сов 2х, ..., сояпзх) дх = (гйпх, — ' —, ... » ) + С. ° 2 ' ' т ) Найти интегралы от Функциональных матриц: г 1с впх ящ2х гдпЗх гйп4х»1 146.
/ созх соя2х сояЗх соя4х дх. Гйх гд2х гяЗх ЗЗ4х м Пусть А — первообразная матрица, тогда ссс 4* 4 сс 3 з спээ з — соя х А(х) = гйпх — !п ) соя х( — !п»уУ) сов 2х) Пс э з -!и 'г»)СОВЗХ) -!П 1гс(СОя4Х) х» А(х)+С, где С вЂ” постоянная матрица. М 2=1, м, х>0. и интеграл равен функциональной матрице 147. з~ (а,з) дх, где а;1 = хз, 1' = 1, сп; М При фиксированных 1 и у 1+.1 хз дх = —,.х 1 +счп 1+1 Следовательно, /(а»1) дх = (б;1) + С, где б;; = ф- х 1, а С = (с,з) — постоянная матрица. в» Теорема 1. Векпсор-функция г = (г1, гг, ..., гсс) является первооБразмой вектор- функции Г = (уы Уз, ..., г" ) на интервале Х Е бб псогда и птлько тогда, когда на этом интервале функции г, яеляюпься первообразными функций у», 1' = 1, гп.
Теорема к, Аналогично, функциональная матрица В = (бп) является первообраэной на интервале Х функциональной матрицы А = (ао) псогда и только тогда, когда ма згпом интервале функции бп являюпэся первооБразными фумкций ао, 1 = 1, т, у = 1, и. Найти интегралы от вектор — Функций; Гл. 3. Неопределенный интеграл 252 148.
Докаэатгч что (Е+А )а1 = 1 А-'(Е+А )а+'+с, (1) и + 1 где Š— единичная, А. С вЂ” постоянные матрицы одного порядка и матрица А — невырожденная, и — натуральное числю. М Для доказательства достаточно показать, что производная левой части равенства (1) равна подынтегральной матрице. По правилу дифференцирования произведения матриц имеем 1 — ! ( — А '(Е+ Ах)а~')= — ((Е+ Ах)аА+ (Е+ Ах)" 'А(Е+ Ах) + ...
+ А(Е+ Ах)") . А так как матрицы А и Е+ Ах коммутативны, то ( А (Е+ Ах) ы') = — А(я + 1)(Е+ Ах)" = (Е+ Ах)". м 'Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от вектор — функций: 142. [(в1п х, сове) 4х. 143. /(акт, 182х, 183х) г1х, х 5 ) О, — [. 144. [(твшх, хвш2х, ..., хвшшх)Ит, 145. [(хе", хзе*, тзе* )г1х. 146. [(х, т, ..., х"') Их. 147. [(х, х,..., х"')1и хнах, х ) О. Найти интегралы от Функциональных матриц: 148. 2т+сов2х тсовх+в1пх+ — +совх1пх 1 ет, — х в1п х + сов х + '" — в1 и х 1л е: сов 2х + 2— '" ~(' "")(-' "-")гг"'Л' ')" ».
/ [е+ ~( Й». ))4.. 152. Пусть все элементы квадратной функциональной матрицы т е А(х) имеют производные на интервале )а, 6[. Доказать, что на этом интервале справедливы равенства: а) 1 (А(х)А'(т) + А'(х)А(х)) Вх = Аз(х) + С; б) [ (А (х)А'(х) + А(х)А'1х)А(х) + А'(х)Аз(х)) г1т = Аз(х) + С 153. Доказать, что ) (А(х) —,В(т) + ( —,А(т)) В(х)) 4х = А(х)В(х) 1-С, где А и  — квацратные функциональные матрицы. 154.
Пусть А — постоянная квадратная матрица. Матрицу е " определим посредством е равенства е" = 11пг (Е+ — 'Ах) Доказать, что ) ее* е1х = Ае'г -1- С, где С вЂ” произвольная постоянная квадратная матрица. Глава 4 Определенный интеграл ~1. Интеграл Римана 1.1. Верхний и нижний интегралы Римана. Критерий ннтегрируемости фунхции. Определение 1. Разбиением П гегменпьа [а, 6] нозываепься конечное множесьпво точек (хв,хь, ...,х„], гдеа=хв<хь« ...
х„=6. Пусть 1 1 [а, .6] — Гь н )' — ограниченная на сегменте [а, 6] функция, а П вЂ” произвольное разбиение этого сегмента. Верхней и нижньй интегральными суммами, соответствующими разбиению П, называются числа бп(1) = ~~~ й1 гбх, Уп(() .= ~~ ьп,Ьх„ =о =ь где М, = зар (1(х)), ьп, = ьп( ()(х)), ьбх, = х,вь — х,. *,« *,.ь.ь ,<з<, Ь.ь Определение 2. Числа Удх = йь1(Ьп(У)), удх = зпр(гзп(У)], (п1 ',1 (п1 где точные грани берутся по всем возможным разбиениям гегменто [а, 6], называются сооиьвеии твенно верхним и ннж ниль ииьиегралами Римана функции 1 на сегменте.
[а, 6]. Определенпе 3. ьрункцьья ) нозыьпется интегрируемой по Риману на сегменте [а, 6], егли ] 1 дх = ] ( дх, а общее значение верхнего и нижнего интегралов назьюается инпьегра- ь пои Римана функции Р на этом гегмеььте и обозначается ] 1(х) дх. Класс всех интегрируемых по Рнману функций 1' обозна ьают ) Е Л [а, 6]. Криьььерий иишегрируемогьни. Для того чпьобьь ограниченная функььия 1 1 [а, 6] -ь И была иипьегрируемой на гегмсшие [а, 6], необходильо и достапьочно, чиьобы ге > О суьцествоеало пьакое разбиение П этого сггменньо, ппо О < бп(Х) — Уп(ь) < е.
( окрашенно критерий интегрирусмости записывают следуьощнм образом: У Е 11 [а, 6] Еь ьгг > О ЛП 1 О < бп(1) — Чп(1") = ~ щььбх, < е =в (здесь ьо, = м, — ьп, — колебание функции 1 на сегменте [х,, х,вь]). 1.2. Интеграл Римана как продел интегральных сумм. Пусть П вЂ” нронэвозп,нос разбиение сегмента [а, 6] и д(П) = тах ьбх,. На каждом В«Ц -1 сегменте [х„гьзь] возьмг м произвольную точку б, и образуем так называемую интегральную сумму бп(() =~ 'У(6,) 6г,. =в 254 Гл. 4. Определенный интеграл Полагаем йш Яп()) =1, если эг > О Зб > О: цп) о ьььП л д(П) < б =э (Яп (У) — 1] < г.
Теорема, Если: 1) при д(П) -э О д1ьььь.'зп(Г) = 1, то У б И[а, 6] и ] Дх) дх 2) У б В[а, 6), то 3 йш Еп(у) = [ 1(х) дх. з1п1-о Эта теорема устанавливает два эквивалентных определении интеграла Римана. 1.3. Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману. Теорема 1. Если Г б С[а, 6], пьо Г б Л [а, 6].
Теорема О. Если ь монотонная на сегменте [а, Ь] функция, то з б И[о, Ь]. 1.4. Мера О Лебега и мера О Жордана. Определение 1. Мерой 1ьПь сегмента 7 = [а, 6] (мерой РП интервала П =]а, 6[) называюпь его длину, т. г. *гасло 6 — а. Определение 2. Множесньво Х С И имеет лгбггову меру О,,если зг > О сущеспшует такое счетное нокрьтьие Йь = (,ьз; ) с И) энього множвспьва сегмгнпьоми Уз (ььчепьное покрыпьие и' = (Пьз, з б и) ььньььврвалами,7~), меры копьорых лз, чпьо 'С лз < г, где ) лз —— з=ь з=ь Ьш ~~ь и,.
з=ь Примером множества лебеговой льеры О может служить произвольное счетное множество точек Х С И. Определение 3. Множество Х С И имеет жорданову меру О, если эг > О существует пьакое конечное локрыншс ЬУ = [,зз; 1 = 1, о) (ЬУ = (,ьз; ф = 1, ьь)) эпього множества сегментами У (онтервалами Пьз), меры которых рю чпьо ~ лз < г. з=ь Примером множества жордановой меры О может служить любое конечное множество точек Х С И, а также любое счетное множество точек У С И, имеющее конечное число предельных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
