И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл (1108557), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Точка Мо(хо, 1"(хо)), для которои либо )о(хо) = О, либо (о(хе) не суи(еству- ет, егнзь точка трг, иба, егли )"(х) меняеги знак при переходе через пшику хо. Найти промежутки выпуклости определенного знака и точки перегиба графиков следую- щих Функций: 108. ): х 222 — *", " Е Н, М Вторая производная (о(х) = б(1 — х) положительна при х < 1 и отрицательна при х > 1. Следовательно, согласно теореме пункта 7.1, на интервале ] — оо, 1[ график функции ) имеет выпуклость, направленную вниз, а на интервале ]1, +со[ — выпуклостьь направленную вверх. Согласно определению пункта 7.2, точка Мо(1, 2) есть точка перегиба графика. И 109. ).х~-х (х>о). М Поскольку вторая производная (о(х) = х" ((!и х + 1) + -) > 0 прн х > О, то, согкасио теореме п.
7.1, график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз. !ь 110. Прн каком выборе параметра 6 'кривая вероятности" Й Лг; у= — е, Ь>0, Л/х Ь ~ 2 2 имеет точки перегиба жо, — е ? 'у= ) и 2Л, 2 2 Л2 2 м судя по знаку второй производной 1' (х) = — .
(26 х — 1) е, заключаем, что прн 1 х = ~=. имеются перегибы (прн переходе через эти точки вторая производная меняет знак). ,Гзь Поэтому требуемое значение 6 получим нз равенства (( = о) ю ((Ь = у(, о > О. и 162 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 111. Пусть функция х' дважды дифференцируема в промежутке а ( х < +со, причем; 1) 1(а) = А ) 0; 2) 1" (и) < 0; 3) 1" о(х) ( 0 прн х ) а. Доказать, что уравнение у(х) = 0 имеет один и только один действительный корень в интервале ]а, +со[.
ч По формуле конечных приращений Лагранжа при х > а получаем 1(х) = А+ (х — а)1 (61(г)), а < 61 < х, (') 1 (х ! = 1 (а) -1- (х — а)1 (сг(х)), а ( сг ( х. (2) Из условия 1 (бг) < 0 следует, что 1 (х) < 0 при х ) а, поэтому функция 1 убывает на интервале ]а, -6оо[. Иэ формул (1) и (2) находим Г(х) = А+ (х — а)~'(а) + (х — а)(Ь1 — а)~и(62(61)). (3) В силу условий ~'(а) < О, 1' ~(бг(61)) < О, из формулы (3) следует, что при достаточно болыпом хо ) а значение функции отрицательно. Поскольку функция 1" непрерывна на сегменте [а, хо], то по теореме коши о промежуточных значениях существует такое хг к]и, хо[, что 1(хг) = О.
Функция 1 не может обратиться в нуль ни в какой иной точке, отличной от хг, так как убывает на интервале ]а, +ос[, !ь 1 12. Функция 1' называется выпуклой сниау (сверху) на интервале ]а, 6[, если для любых точек х1 и хг из этого интервала и произвольных чисел Л1 и Лг, Л1 > О, Лг > О, Л1+Лг = 1, имеет место неравенство )(Л1х1 + Лгхг) < Л1ПХ1) -~- Л2Л(хг) (илн соответственно противоположное неравенство 1 (Л1хг -!- Лгхг) > Лгг'(хг) + Лгг (хг)). Доказать, что функция Г выпукла снизу на ]а, 6[, если )" (х) > 0 при а ( х < 6, и х' выпукла сверху на ]а, 6[, если Го(х) < 0 при а < х < 6.
М Пусть |о(х) > О, х б]а, 6[, н пусть Л1 > о и Лг > Π— произвольные числа, удовлетворяющие условию Л1 + Лг = 1. Если хг и хг — любые точки интервала ]а, Ь[ и хэ < хг, то точка Лгхг + Лгхо, очевидно, лежит между ними. По формуле Лагранжа имеем ~(Л121 -6 Лгхг) — э'(хг) = Лг(хг — х1)хэ(сэл), (1) где хг < 41 ( Лгх1 + Лгхг, и хэ(гг) — Г(Л1 х1 -!- Лгхг) = Л1(хг х1)Х (Ьг), (2) где Лгхг+ Лгхг < 5 < хг. Умножая левую и правую части равенств (2) и (1) на Лг н Лэ соответственно и вычитая из первого полученного равенства второе, находим Лгу(хг) + Л11(х,) = 1(Лгх1 + Лгхг) + Л1Л2(хг — хг)1 (Сз), (3) где Сг < бз < бг. В силу условий Л1 > О, Лг > О и Го(бз) > О, имеем Л21(хг) + Л11(хг) > 1(Л1 хг+ Лгхг), т.
е. Г выпукла снизу на ]а, 6[. Если же )"(х) < 0 на ]а, 6[, то функция 22 1 х еэ - Г(х) по доказанному выше выпукла снизу на ]а, Ь[, в силу чего имеем Л! 22(Х1) + Л2р(Х2) ) 22(Л1Х1 + Л2 Х2) откуда л11(хг) + лг)(хг) < 1(л,х1 + лгхэ). полученное неравенство показывает, что 1 вы- пукла сверху на ]и, 6[. !е 113. Показать, что функции 121 1 х е х" (а > !), 222: х 1 е*, 1ог: х 1 х!их, х > О, выпуклы снизу на интервале ]О, +оо[, а функции 41 . х еэ х (О < п < 1), 262 . х е !и х выпуклы сверху на интервале ]О, -!-оо[.
М Дифференцируя дважды данные функции, находим (х) — п(в 1)х Огг (х) = е ез (х) — 01 (х) в(п 1)г лог (х) х х2' При х б]0, +со[ илгеем 121о(х) ) О (1' = 1, 3), ОЬлб(х) < О (6 = 1, 2), поэтому, на основании ре- зультата, полученного при решении предыдущего примера, можем утверждать, что функции 1оэ выпуклы снизу, а функции 1111 выпуклы сверху на интервале ]О, +со[. М 163 17.
Направление выпуклости графика функции 114. Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные. ° Предположим для определенности, что функция у выпукла снизу на интервале ]а, Ь[. В силу ограниченности г" на ]а, Ь[, Зс > О такое, что [г(х)[ < с. Пусть хо Е]а, Ь[ и приращение аргумента Ь > О в этой точке взято такое, что точки хо — й и хо+ й также принадлежат ]а, Ь[. Поскольку 1" выпукла снизу, то справедливо неравенство У(хо + Ь) +г(хо — Ь) > 2г(хе), которое перепишем в виде ~(х) — 1(хз — й) < у(хз + й) — 1(хз). Из неравенства (1) получим систему неравенств 1(хо — йй) — У(хо — (й + 1) Ь) < г (хо + Ь) — Х(хо) < < [(хо + (й+ 1) Ь) —.У(хо + йй), й=б,п — 1, (2) при условии, что точки хз — (й -Ь 1)й, хо + (й + 1)й (й = 1, и — 1) принадлежат интервалу ]а, Ь[.
Суммируя неравенства (2) по й ат О до а — 1, приходим к неравенству Дхз) Х(ха — ггй) у(хо + пй) — У(ха) (3) и и из которого, принимая во внимание ограниченность функции 1, получаем [)'(хз -Ь й) — 1"(хо)[ < —. (4) и Каким бы ни было е > О, при всех и > 1 — '] имеем Гг (8) [У(хэ+ й) - 1(хз)[<., если Ь удовлетворяет условию (Ь вЂ” ха хо — а ~ Непрерывность функции г" в любой точке интервала ]а, Ь[ доказана. Докажем существование односторонних производных функции.
Пусть й > Ьг > О. Тогда справедливы неравенства Х(хо + Ь,) — у(хо) у(хо + Ь) — Х(хо) Х(хо — йг) — Дхо) У(хо — й) — Х(хо) а) < й , б) > В самом деле, записав йг = дй, О < 9 < 1, видим,что неравенство а) эквивалентно неравен- ству д)'(хо + й) + (1 — д)Х(хо) > Х(хо — Ьг), а неравенство б) эквивалентно неравенству духо — й) + (1 — д)У(хо) > г'(хо — йг), каждое из которых справедливо в силу выпуклости снизу функции Г. т„,, ~„,,ф„„„„ г г., ь числом — — „', а функция и: Ь, возрастает при й +О и ограничена сверху гг числом —. Поэтому существуют пределы ьг ' йш 1г(й) = Х+(хо), 1пп ф(й) = У' (хо).
М 11 5. Доказать, что если функция у' дважды дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +ос[ и 1пв у(х) = О, Ьйп 1"(х) = О, то в интервале ]хо, +со[ имеется, по меньшей — ьаз г-+с мере, одна такая точка у,что у (8) = О. м В силу выполнения условий задачи 81, в интервале ]хо, +оо[ ЛЬг такая, что г'(бг) = О. Поскольку у'(х) = о(х) при х +со, то на основании решения примера 93 заключаем, что йш ]г '(х)[ = О. + Тогда, в силу примера 81, в интервале ]бг, +ос[ Вб такая, что ~о(б) = О. М 164 Гл. 2, Дифференциальное исчисление функций одной переменной Упразкнения для самостоятельной работы Найти интервалы выпуклости следующих функций: 254.
г: х ь (1+ ха) з + х. 255. г': х ь-з агссоз —, +Зх — 8. 256. у": х н -г;=== — 5г 257. ь": х зо — ' — 1+ Зх. 7з.з-ь ' ' ь+. 253. У ь Х У, х = (Г+ 1), у = (1 — 1) . 259, У': Х з У, х = з1ь 1 — 1, у = с(ь1 — 1. 260. зз: Х У, х = 11п 1, у = — бьц — Зтг. 1 ь 261.
Ь:Х У,х=(1+1)ь,у=(1+Г) ь. 262. у:Зз~ ь,о<р< —, 263. У: ььз ь р = Зз — у~, Зз ~~ О (р, Зз — полярные координаты). 264. Исследовать направление выпуклости графика функции Г . Х У, заданной неявно уравнением х — у — Зх у — Зу+ 1 = О в окрестности точки М( — 1, О). з з г 265. Исследовать на перегиб в нуле графики следующих функций; ] х зьп-, х~б,, ( х соз-', хфбь а) г': х б) ь":х~ х = О. 266. Пусть )' — выпуклая снизу на интервале ]а, 6[ функция.
Доказать, что гдеа<хз<хг« ., хз=6,а>2. Используя неравенство предыдущего примера, доказать неравенства: 269. а) 1" +2" + ... +а >и( — "), о>1, пб1ь1; ь ь 270. з ~" ~ > (з~з~ ) з, х > О, у > О, з ) О, х ~ у, х ~ з, у ~ з, зь ) 1. Доказать неравенства. ь ь.-ь 271.
~ (: —,) — > — при зь > по > 1. 6ь Указание. Использовать выпуклость вниз графьзка фуикпви 1 у: —,, > о. з 272. 2, .з >Опрнб<х<зг. з=ь Указание. Рассмотреть функцию г' ь х ь-ь 2 — „' при о < х < х. з. з=ь 273. Доказать, ьто сумма конечного числа функций, выпуклых вниз, есть функция, выпуклая вниз. 274. Доказать, что функция У': х ь-ь 1пп У (х), х Е]а, 6[, тле ь"ь,,ьг, -., У, выпуклые вниз на ]а, 6[ функции, является выпуклой вниз функцией. 275. Доказать, что если: 1) р, ) О и рь + рг + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
