А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. прибор идеальный. Это значит, что если прибор используется как таковой, то Ь следует брать как можно меньше. Рассмотрим, как зависит точность (качество) ИВС от Ь, если прибор А используется в составе ИВС (будем считать, что Х =1)? л = 1г (А'А)-' = ( + (1 — У)~ ' Анализ этой формулы показывает, что возможна ситуация, когда (при Ь)~3)' прибор как таковой плохой, а ИВС реализует хороший измерительный прибор. Наоборот, при достаточно хорошем приборе (Ь(~1) невозможно уменьшить ошибку ниже уровня я=2, а прн плохом (при Ь>~3) можно.
$ 30. пОнятие нАдежнОсти %Одели Как было показано, если задана модель [А, Е] с невырожденным корреляционным оператором Е, решение для )г, дается формулой (29.12) и )гав=)гА1+)тч можно интерпретировать как искаженйый шумом Яч результат измерения 1 на приборе У=)гА, выходной сигнал которого равен параметрам исследуемого объекта. Погрешность редукцнн Ь=Е))Я$ — УЯ'=(гУ(А'Х 'А) Ц' в этом случае минимальна.
Если же модель неверна, причем ошибочно задан оператор А, то на самом деле $=В1+ ч, В~А, и Е!٠— (Чй =!!и(А"Е-'А)-А Х-'( — АЩ*. Ясно, что если ВмА, то зпрЕЙВ$ — У1й*=оо. Попытаемся оценить, верна ли модель, анализируя ее на пред- мет соответствия полученным экспериментальным данным. Для простоты будем считать, что оператор Е 1 (общий случай сво- дится к этому преобразованием $-+.Е-,м'$) известен точно, 11=1, а сомнение вызывает оператор А.
Кроме того, предполо- жим, что шум ч распределен нормально Л'(О, 1) или т~енЛ'(О, 1), 1=1, ..., и, н независимы. Если модель верна, то при этих предположениях В=А1+ч, гезЯ, чек.Ф(0, 1), а если неверна, то $=В~+т, ~енЯ, ч енЛэ(0, 1), В~=А. Поскольку априори 1 произвольный вектор яг, А1 — произвольный вектор зх(А) н прн 3=В)'+ч условие Вч'А не сможет быть проверено, если В)~йй(А). В лучшем случае мы можем отвергнуть модель (А, Е], если В~ФЯ(А), поэтому рассмотрим задачу проверки гипотезы Ф: $=а+т, аепЯ(А), ч~.Р(0, 1) против альтернативы Ж 3= Ь+ч, ЬФЯ(А), ч~Л'(О, 1).
Если гипотеза Ж верна, это еще не означает, что верна модель (А, Ц, мо если верна альтернатива, то модель неверна, Прежде всего рассмотрим более общую задачу проверки гипотез о значениях параметров распределений. В такой задаче задано распределение случайной величины, зависящее известным способом от неизвестною параметра, причем множество значений параметра разделено на две части, одна яз которых соответствует гипотезе М, это множество обозначим М, а другая — альтернативе Л'.
Гипотеза (альтернатнва) называется простой, если множество Ж(Л') состоит нз одной точки: М=(Щ ()з =(6Д). Требуется по значениям случайной величины определить, к какому из множеств следует отнести неизвестное значение параметра, которое на самом деле определяет ее распределение. Правило, по которому принимается решение, называется решающей процеду- 77 ' рой, или критерием.
В конечном счете это правило во многих случаях сводится к указанию области Х и проверке включения йеиХ или $ФХ. Если первое отвечает альтернативе, а второе— гипотезе, то Х называется критическим множеством. Ясно, что в этом случае указание критерия равносильно указанию критического множества. Поскольку при верной гипотезе случайная величина может попасть в критическое множество, возможна ошибка 1-го рода, причем вероятность такой ошибки (уровень значимости) обычно задается.
Что касается ошибки 2-го рода, когда гипотеза принимается, а на самом деле оиа неверна, то ее вероятность стремятся уменьшить выбором критерия. Понятно, что предпочтителен такой критерий, который при данном уровне значимости обладает минимальной ошибкой 2-го рода, или наиболее мощный. Рассмотрим задачу проверки «простой» гипотезы 9=9о против «простой» альтернативы 9=9ь 9оФ9ь Решение этой задачи — наиболее мощный критерий — определяется следующим критическим множеством: (30.1) Х= ~х, р("' ) ~(С~, р(х, 0,) где С определяется уровнем значимости ~р(х, Оз)с(х=се, х этом мощность критерия ~ р(х, О,) с(х максимальна е.
д Надежностью гипотезы 9=9о назовем а $) = 1п1 (сз 3 сг, $ еи Х (а)) прн (30.2) ' См. лемму Неймана-Пирсона в книге: Пмтьев Ю. П., Шишмарев И. А. Курс теории вероитностей и математической статистики длк физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983, зйй с. — минимальный уровень значимости, при котором й принадлежит критическому множеству Х. Другими словами, надежность а(й) — минимальная вероятность ошибочно отвергнуть гипотезу иа основании измерения й. Надежность как функция от случайной величины й сама является случайной величиной; ее распределение зависит от того, верна ли гипотеза (9=9,) или альтернатива (9=9~). Если 9=9з, то а(й) †случайн величина, равномерно распределенная на [0,11.
Если же верна альтернатива 9=9ь то плотность вероятности а(й) неограниченна в нуле. Поэтому если верна альтернатива, то надежность должна концентрироваться вблизи нуля. В случае сложных гипотез и альтернатив может оказаться, что сам критерий (и надежность) зависят от параметра 9 и тогда особенно ценны равномерно наиболее мощные критерии, однако гарантировать существование такого критерия нельзя. Вернемся теперь к модели 1А, Х]. Прежде всего заметим, что: 1. Боли тевй/(О, 1), то Ут~щМ(0, 1), где У вЂ” любое ортого-' нальное преобразование.
Действительно, Р(Учен Э)= ~ (2п) /'ехр( — — ((х!!'~/(х 2' $Ъбм = ~ (2п) ~'ехр( — /()У 'х)!'~ )де1Р '(Йх=Р(тенй). вам 2. Распределение случайной величины т=!!т+ а!!з, где тен енМ(0, 1), зависит только от !!а!!. Действительно, случайная вели- чина т"-!!Ут+а!!з !! У(т+ У-'а) !)з !!т+ У-'а!!з при любом ортогональном операторе У распределена так же, как т. Следова- тельно, распределение т'=!!У!я+а!)з не зависит от Ч, т.
е. опре- деляется величиной !! У-'а!!з=)!а!!а=6. 3. Распределение т=!(я+а!!з, тыЛ/(О, 1), носит название Х' — распределения с в степенями свободы (тенЯ„) и парамет- ром нецентральности 6=!!а!!з. й Иначе говоря т=~ (т/+а/)~ где т~~.//в(0,1), /=1, ..., и, /=! независимы н т+п=~(т/+а/)з/ где еь..., е— / ортонормированный базис Я . Сказанное ле зависит от выбранного базиса (го), ибо переход к другому базису можно представить как ортогональное преобра- зование е/-+ Уе/, /=1, ..., а, я+а-~-У(я+а), не меняющее распределение т. 4. Пусть оператор П ортогональио проектирует в Я„ на линеи- ное подпространство Я .
Тогда т !!П(я+а)!!з имеет Х' распре- деление с т степенями свободы и параметром нецентральности 0=!!Па!!з. Действительно, выберем ортонормированный базис (е/)~Я так, чтобы векторы еь ..., е образовывали ортоиор- мированный базис Я . Тогда П(я+а)=~ (т/+а/)з/, (!П(я+а)!!'=Я(т/+а/)', / / 1 где т;ыЛ'(О, 1), /=1, ..., /и и попарно независимы. б. Пусть р,(г) — платность распределения т=!! (т+ а) !!', 6=!!а!!з, т. е. ~Р.(')~= ~ (2)-' ~( — —,' !! !!')б.
з ~к+сф~г или рз(г) = ~ ~ (2п) /'ехр ( — ((!х!!') дх. Тогда рь(н)/рь(г) при любом 6)0 — монотонно убывающая функция г)0. Следовательно, в задаче проверки гипотезы 6=0 против альтернативы 6=6ь)0 множество принятия гипотезы Хь=(г, рьЯ!ра(т)>С(Р))=(з, г~(С(Р)), где С(Р) определяется условием с (г> ра(з) ба= Р о и не зависит от альтернативы. Иначе говоря, Хь — множество принятия гипотезы 6=0, равномерно наиболее мощное относительно альтернативы 6=аз)0. Рассмотрим вновь задачу проверки гипотезы $=а+ч, аенЯ(А) при альтернативе $ Ь+ч, ЬФЯ(А). Пусть $ А1+ +ч, ченЛ'(О, 1), 1= (А'А)-А'ф, д!шЯ(А) т(а, +, ч, ен.Ф (О, 1), ! = 1,..., а. Тогда Ъ вЂ” А1=А(1 — 1)+ч=А1+ч — А(А'А) А'(А1+ч)= = [1 — А(А'А) А'] ч= (1 — П) ч, где П ортогонально проектирует на Я(А) и, следовательно, т — = ٠— А1!з= 1!(1 — П)ч!з=(! — П)$зз имеет 11' распреде- ление с и — т степенямн свободы и параметром нецентральностн 6=0.
Если модель неверна, то $-В1+ч, $ — А1=В1+ч — А(А'А) А'(В1+ч)= =[1 — А(А'А) А'](В1+ч)=(! — П)В1+ч). В этом случае т — =!(1 — П) (В1+ч)Р !(! — П) (( — А)1+ +ч)!Р имеет !аз распределение с и — т степенями свободы и па- раметром нецентральности 6='8(1 — П) В1!з. сю Множество принятия гипотезы Х=(г,г(~С(Р)), где ~ Рз(з)х е хй=Р, т. е. модель [В, Х] отвергается, если т, ($))С(Р). Следуя (30.2), определим надежность модели [А, Х]: ФО а($)= 1п1(1 — Р[т„,($))С(Р))= ~ рь(х)дх. т(Р Таким образом, на выходе ИВС мы получаем результат редук- ции )г$, среднюю погрешность редукции Ь и надежность модели 80 а($). Величина надежности позволяет контролировать, насколько* используемая нами модель соответствует данному измерению.
Когда надежность мала, модель должна быть отвергнута, если у нас,нет иных оснований для ее использования.'Вместе с моделью. мы ставим под сомнение и результат редукции Щ и погрешность й. В связи с этим подчеркнем еще раз, что й — теоретическая оценка погрешности, основанная лишь на моделв и не зависящая от результатов измерений $. Пусть .нам задано некоторое множество моделей и заранее неизвестно, какую из них следует выбрать для интерпретации измерений. Надежность а(Ц можно рассматривать как функцию предпочтения на множестве моделей.
Исходя из этого следует выбрать ту модель, которой отвечает наибольшее значение надежности (принцип максимальной надежности). Итак, статистика а($) при некоторых условиях позволяет обнаружить несостоятельность модели [А, Е). Вместе с тем несостоятельность модели еще не означает, что ею нельзя пользоваться для вычисления редукции. С другой стороны, приемлемое- значение надежности а(й) не означает, что модель верна, и, более того, не может гарантировать возможность использования модели [А, Е1 для вычисления редукции, Формально это связано с тем, что надежность модели зависитот вектора о~ в †(1 — П) (В в А)[, а погрешность †вектора из †в( — А)1. Эти два вектора ортогональны, и, оценивая с помощью надежности модели величину первого, в общем случае.
ничего нельзя сказать о втором. Существует, однако, ситуация,. позволяющая на основании измерения $ высказаться о векторе пз. и ввести (аналогично понятию надежности модели) понятие надежности редукции. Надежность редукции в терминах теории проверки статистических гипотез позволяет ответить на вопрос, можно ли пользоваться формулами редукции независимо от того, верна модель или нет. Более подробно надежность редукции, а также. другие рассмотренные здесь вопросы изложены в книге Ю. П.