А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 13
Текст из файла (страница 13)
й 27. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ Покажем теперь, как можно для заданной вероятности Рэ,=а, построить интервал (26.1), т. е. определить число К,. Величина у=-. может находиться внутри этого интервала с вероятностью ч,=-аэ. Рассмотрим различные возможные случаи. 27.1. Использование известного закона для функции плотности л заданной дисперсии. Пусть для случайной величины х известен закон функции плотности 1(х) н задана дисперсия атп, Вероятность а того, что значение х не отличается по модулю от своего математического ожидания р более, чем на К офа, равна, очевидно, площади под кривой плотности на интервале И~К п5Уп (см.
$20): > ~-к,р!УХ Рч((р — х!(~К о(р"й)= ~ Г(х)дх=сс. (27.1) э кач1" ~ Из соотношения (27.1) для заданного значения а можно определить Ка. С другой стороны, выражение для этой вероятности Рч можно переписать следующим образом: РЯР— х(~..К,оР(/и) =Р,( — К п~/и р — х(К п)фл)= =Р,(х — Кол(р(х+К пфл), (27.2) т. е. мы получили для величины р следующий интервал, соответствующий коэффициенту доверия а: х — К пфл(~р<х+К а1р'л. (27.3) Полученное соотношение (27.3) вместе с условием (27.1) для определения К„ решает поставленную задачу определения интервала для рассматриваемого случая. Следует заметить, что вычисление коэффициентов К не зависит от конкретного значения 1ь н может быть проделано раз и навсегда для заданного закона распределения. Очевидно, что для известногд закона распределения можно заранее задать набор коэффициентов К и затем по формуле (27.1) рассчитать соответствующий ряд значений а.
Построенной таким образом таблицей значений а и К„можно пользоваться для вычислений интервала (27.3). Пример. Пусть извлечена выборка объема л (см. % 24) из нормального распределения с известным значением дисперсии о'. Тогда величина х также будет распределена по нормальному закону с дисперсией о'/л. В этом случае (см. соотношения (20.6) и (27.1)) коэффициент К совпадает с $,.т. е. для заданного а имеем К =$„(см.
9 20.2). Если а=95%, то из табл. 1 нриложения Б находим значение Х„=2 и получаем для величины м следующий интервал, соответствующий коэффициенту доверия из=95%: х — 2о/ у' л ~( р ".~ х+ 2п7р~л. (27.4) Если, например, известно, что от=0,25 и я=25 и вычисления по формуле (25.1) дали х=5,0, то из (27.4) определяем интервал для оценки значения р, который условимся записать в виде р=5,0 ~ 0,2; коэффициент доверия аз=0,95. Пример. Пусть производится считывание со шкалы измерительного прибора или просто округляется некоторое число. Результат этих операций — случайная величина с прямоугольным распределением (см.
$20.1). Если известна цена деления прибора в (в случае округления значение в обычно равно одной единице последнего значащего разряда), то о=в/112 (см. формулу (20.3)). В этом случае для заданной вероятности а находим, переписав формулу (20.4) в виде, аналогичном (27.2), что К„=а, а интервал для оценки р имеет вид х — ав7у' 12 ( р ( х+ ав/''р' 12 .. (27.5~ ((х-р) зПерепишем выражение для 1 в виде (используя выражение 20.2) (27.6) Ул (х — р) (27.6а) Мощно доказать (см., например, [121), что числитель и знаменатель в (27.6а) независимы.
Так как величина уй(к — )з) в числителе распределена по нормальному закону (см. $25) со средним значением 0 и дисперсией о', а в знаменателе стоит корень квадратный нз среднего арифметического суммы квадратов (л — 1) величин с тем же законом распределения *, то согласно $23 величина г имеет распределение Стьюдента с параметром а — 1. Поэтому, переписывая формулу (23.4) в виде, аналогичном (27.2), находим следующий интервал для оценки )з, который характеризуется заданной достоверностью оп х — го,~~.з;~~)з((х+(„,я ~ з,-. (27.7) Значения х и з; рассчитываются из результатов измерений, а коэффициент г, ~ для заданной надежности ао и числа измерений и находится по таблицам П приложения Б.
Пример. Пусть извлечена выборка объема а=4 из нормального распределения и по формуле (25з1) вычислено, что к=2,1, а по формуле (25.7) рассчитано значение з- 0,05. Тогда для аз=0,8 и параметра и†1=3 находим по табл. П приложения Б значе- "л величии (х~ — х) связаны одним соотношением ~~ (хз — х) =О. Мошс-з но перейти к (л — 1) новым независимым переменным, которые будуг распределены по нормальному закону с математическим ожяданием и 9 и дисперсией ов (подробнее см.
1121). Если, например, отсчет х=12,7, цена деления ш=Оз1; аз=0,8, то (27.5) определяет следующий интервал для оценки р: р=12,7~:0,02; коэффициент доверия аз — — 0,8. 27.2. Применение распределения Стьюдента. Пусть величина л а, следовательно, и У распределены по нормальному закону.
Б данном случае в отличие от рассмотренного в $27.1 конкретизируется закон распределения, а именно задается нормальный закон, но не задается величина дисперсии а' и поэтому необходимо пользоваться оценкой стандартного отклонения з" согласно (20.7). Рассмотрим следующее отношение, которое обозначим через 1: нне коэффициента 1,„,„-~=1.6. Для оценки р в этом случае из (27.7) получаем следующий интервал: р=2,10~0,08, коэффициент доверия аз — — 0,8. 27.3. Использование неравенства Чебышева. Если функция плотности для случайной величины х неизвестна, но дисперсия задана, то интервал для оценки р можно рассчитывать, воспользовавшись неравенством Чебышева (см. э 2!) х — у„п;(р(х+у„,а,-; коэффициент доверия а)~а„(27.8) где у„„определяется формулой (21.2).
Вероятность того, что математическое ожидание р будет заключено внутри интервала (27.8) не меньше аз. Пример. Пусть, например, известно, что о-'„=0,16 и вычисления по формуле (25.1) дали 3=9,2. Из таблицы П1 приложения Б для аз —— 0,8 находим 7„=2,2. Тогда для оценки р нз (27.8) можно рассчитать следующий интервал: р = 9,20 ~ 0,88, коэффициент доверня аз) 0,8. 27.4. Ориентнровочные интервалы. Если функция плотности или дисперсняслучайной величины неизвестны, топозаданной выборке нельзя построить доверительного интервала для оценки математического ожидания р, так как нет строгих методов, которые позволили бы для заданного интервала (26.1) рассчитать величину а или по крайней мере получить неравенство для этой величины. Аналогично для заданного а нет методов вычисления коэффицнентов Кч.
Однако, если объем выборки и настолько велик, что оценка стандартного отклонения для величины з' не превышает 407р от математического ожидания М(зз), то можно построить ориент и ров очный интервал, используя неравенство Чебышева для оценки а н величину з, вместо о,. х — уаБ~~р~(х+уазд, ориентировочно коэффициент доверия а (27.9) Коэффициент доверия в этом случае лишь ориентировочно равен а, т. е. может быть несколько больше нли несколько меньше. Поэтому интервал (27.9) имеет смысл вычислять только для ориентировки. При вычислении интервалов типа (27.9) не следует использовать значения а, близкие единице, так как в этом случае ошибка в величине интервала особенно велика.
Разумно использовать значения а около 0,5 †: 0,7. Как следует из (25.6), в случае нормального распределения стандартное отклонение для зз не превышает 40% от математиче- 3 зак. 74 аз "~' — ~ 0.4, (27.10) откуда а~13. Если распределение неизвестно, то объем выборки должен превышать это значение. Если же объем выборки и~10, то вычислять ориентировочный интервал вряд ли имеет смысл. Лучше приеестивыборочныехарактеристики У н к- и объем выборки и. ского ожидания М(зз) в случае выборки объема и, где и удовлет- воряет неравенству ГЛАВА 7 ВОПРОСЫ АНАЛИЗА И ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ й ЗЗ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В процессе измерения мы получаем величины, которые не являются значениями интересующих нас параметров объекта. Дело в том, что а) процесс измерения всегда сопровождается погрешностью; б) как правило, доступны измерению не те параметры, которые нам нужны, а другие, связанные с первыми зависимостью, причем известной лишь приближенно.
Это последнее обстоятельство может определяться природой явления, а может быть связано с техникой измерения (прибором). Например, при так называемом дистанционном измерении температуры тела мы вынуждены довольствоваться измерением электромагнитного излучения, лишь косвенно связанного с его температурой, причем эта связь обычно известна приближенно. Такая ситуация характерна для спутниковых измерений температуры поверхности океана, для измерения температуры плазмы и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
