А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ется как М(х). Определяется математическое ожидание для непрерывкой величины согласно формуле +ОО М(х) ~ х~(х)бх=р, ЮФ (19.1) где обозначение р — результат вычисления интеграла. В случае дискретной случайной величины М(х) =~; Р,х, =р, $ (19.2) где Р; — вероятность значения х;; р — результат вычисления суммы. Если вероятности всед х; равны то Р;= Цп, где п — число значений хь Тогда (19.2) переходит в следующую формулу: и М(х) = — ~ х~ — — р. 1 %'$ а 1=! (19.3) 1 Р(хп») = —, 2 ' (19.4) т.
е. слева и справа от значения хп» площади под кривой плотности равны. Кроме математического ожидания и медианы функцию распределения можно характеризовать еще параметром, показываю«цим, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно «центра» распределения. Наиболее употребительной мерой, характеризующей рассеян ие случайной величины, т. е.
разброс ее значений относительно «центра», является дисперсия, которая обозначается через Ю(х) и определяется согласно формуле +ав 0 (х) = ~ (х — р)' 1(х)'дх = М (х«) — р' =о', (19.5) где а' — результат вычисления интеграла и М(х») — математичес- кое ожидание квадрата случайной величины, т. е. интеграл Если функция плотности 1(х) асимметрична (т. е. имеет длинный «квост» с какой-либо одной стороны), то «центр» группироваиия значений случайной величины лучше характеризуется не математическим ожиданием р, а медианой, которая определяется уравнением Квадратный корень из дисперсии, т. е.
величина и, называется среднеквадратичным отклонением, или, станд а р тимм отклонением. Чтобы сравнивать рассеяние (разброс) различных случайных величин, вычисляют относительное стандартное отклонение, т. е. велнчицу (19.6) В последующем мы будем рассматривать только такие функции распределения, для которых понятия математического ожидания и дисперсии имеют смысл. й 20. ПРИМЕРЫ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ 20.1. Прямоугольное распределение. Когда считывают показания со шкалы измерительных приборов или просто записывают числа с конечным числом значащих цифр, то всегда возникает погрешность (см.
гл. 2), связанная с округлением числа, которую можно рассматривать как случайную величину $. Функция плотности атой случайной величины определяется следующей формулой: — при $~ (р — а/2, р+а/2], /(х) Ое е 1 (26.1) 0 при $4 (р — а/2, И+а/2]. На рис. 5 изображена эта функция плотности. Распределение, функция плотности которого определяется формулой (20/1), назы- вается прямоугольным, или равномерным, распреде- лением. Математическое ожидание случайной величины для прямо- угольного распределения равно +ОО е+е/з М (Х) еО ~ Х/ (Х) ПХ Ое ~ — = р, ОВ е ы/2 а дисперсия (если использовать обозначение М(х) =р) е» е+е/3, е+е/з 0 (х) = 1 (х р)3 / (х) /(х = 1 (" — Р)"Ь 1 'Р'" рз е' ...', 12 ОВ е — е/з е-е/з (20.3) Площадь заштрихованной фигуры на рис.
5, т. е. величина /(х)дх=бх/а, равна вероятности того, что случайная величина $, имеющая прямоугольное распределение, лежит и интервале зна- чений х —:х+ дх. Вероятность Ре того, что случайная величина $ лежит в ин- тервале 1р — аа/2; р+аа/2], где положительное число а~1, равна, очевидно, плошади прямоугольника со сторонами 1/е н ае, т. е. Р.=РЬ вЂ” 12(Ъ(р+ Я= . 202.
Нормальное распределение. Нормальное распределение, или распределение Гаусса, является предельной формой, в которую могут переходить' многие другие виды функций распределения. Приблизительно нормальное распределение имеет случайная величина, характеризующая результат одновременного влияния большого числа случайных факторов, каждый из которых по своему влиянию не превышает заметным образом остальные. Функция плотности нормального распределения имеет следующий внд: (20.4) Г(,.) 1 ( (з — р)~ ) (20.5) где математическое ожидание +ею М(х)= ~ хехр ( — 1" ") ) бх=р, а дисперсия, если использовать М(х) =и, +Ф Р(х)=М(х') — рз= ~ х'ехр ~ — ") ~ дх — рз=о'.
а 1~ 2л,) 1 зла Ф з+Ью Р„=Р(р — Ха(р,(р+Рл)= ( ехр( ~ ") ) дх.(20.6) 54 На рис. 6 изображены две функции плотности нормального распределения. Функция плотности 1(х) в точке х=в имеет максимум, а точки в~ о являются точками перегиба. Изменение значения и вызывает только смещение кривой по оси абсцисс без изменения ее формы. Изменение величины о вызывает изменение масштаба на обеих координатных осях.
~В одном масштабе кривая с меньшим о уже кривой, для которой о больше (см. рис. 6), что иллюстрирует смысл величины о (см $19). Площадь, заключенная между кривой плотности и осью абсцисс, равна единице (см. формулу (18.2)), т. е. вероятность Р того, что случайная величина $ имеет произвольное значение, равна единице. Вероятность Р того, что случайная величина ~, имеющая нормальное распределение, не отличается по модулю от своего математического ожидания 14 больше, чем на Хо, где Х вЂ” некоторое положительное число, а а — стандартное отклонение, равна, очевидно, площади под кривой плотности на интервале р~Ы (см.
$18), т. е. Очевидно, для каждой вероятности Р =а можно определить такое число Х, что интеграл в правой части соотношения (20.6) для этого значения А будет равен а; Величину а можно выражать в долях единицы или в процентах. В таблице 1 приложения Г приведены значения коэффициентов 3 для разных а. й ЗЕ НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА Для оценки вероятности попадания случайной величины в заданный интервал выше мы использовали конкретный вид функции плотности (см.
формулы (20.4) и 20.6)). Однако часто значительный интерес представляет возможность такой оценки без использования конкретного вида функции плотности вероятности (например, когда она неизвестна). Очевидно, что такая оценка возможна, если только имеется какая-то информация о случай-. ной величине, например известны математическое ожидание и дисперсия.
Если же нет никакой информации, то такая оценка невозможна. В случае известных значений р и а' П. Л. Чебышевым было получено следуюшее неравенство для оценки вероятности того, что случайная величина $ не отличается от своего математического ожидания а на величину, ббльшую уа, т. е. что она лежит внутри интервала в ~то, где Т вЂ” положительное число: Р (р — уа ( Б( р + Та) Л~ 1 — —. 1 (21.1) Тй Для каждой вероятности Р =а можно определить такое чис-' ло Т,)0, что будет выполняться неравенство (211). Из (21.1) очевидно, что 7а »~ (21.2) Из неравенства Чебышева (21.1) следует, что вероятность попа- даниЯ слУчайной величины в интеРвал а~уча не меньше а, где т„определяется формулой' (21.2). Величину а можно выражать в долях единицы или в процентах.
В табл. П1 приложения Б приведены значения коэффициентов Т„для разных а, вычисленные по формуле (21.2). 5 22. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СВЕРТКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Если имеются случайные величины $ и гь то пару значений ($, Ч) можно рассматривать как составную случайную величину. Согласно $18, вероятность того, что составная случайная величина лежит в двумерном интервале (х —:х+ ох; у — . 'у+ ду), равна Р(х(~(х+бх; у(т)(~у+ду) =~(х, у)дну, (22.1) где )(х, у) — функция плотности составной случайной величины.
Говорят, что две случайные величины $ и Ч независимы, если функция плотности составной случайной величины (Е, т1) имеет следующий вид: [(; ,) =[,(.) ~г(у), '(22.2) где ~,(г) — функция плотности случайной величины $, а 1я(у)— величины ц.
Аналогично (22.2) вводится условие независимости и большего числа случайных величин. В дальнейшем мы будем рассматривать только независимые случайные величины. Рассмотрим и независимых случайных величин $ь $м ..., $,, каждая из которых характеризуется функцией плотности ~~(х~), математическим ожиданием )м и дисперсией пР. Сумма всех этих случайных величин есть, очевидно, функция этих величин и тоже является случайной величиной.
Обозначим эту сумму через $, т) е. 5=51+52+ ... +В. (22.3) Случайная величина ~ также будет характеризоваться какой-то функцией плотности 1(х), математическим ожиданием р и дисперсией а'. В случае суммы и независимых случайных величин имеют место следующие соотношения [121: И = р1+ рз+ ° ° ° + рп ~ (22.4) о'=па+ига+... +а„', (22.5) т. е. математическое ожидание и и дисперсия и' случайной величины $ равны соответственно сумме математических ожиданий и сумме дисперсий слагаемых величин й~. Функция плотности 1(х) определяется всеми функциями ~~(х~) [121. В случае суммы двух случайных величин функция плотности определяется сверткой исходных фУнкций плотности 1, и 1м т.
е. интегРалом .Л +ае 1 (х) = ~ ~, (г) ~, (х — г) дг. (22.6) й 23. РАСНРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА В математической статистике большую роль играет распределение, называемое распределением Стьюдента, к которому можно прийти в следующем случае. Рассмотрим а+1 случайных величин: $, $ь $г,..., $„каждая из которых имеет функцию плотности вида (20.5), т. е. распределена по нормальному закону. Пусть математические ожидания всех этих случайных величин одинаковы и равны нулю, а дисперсии тоже одинаковы и равны пг.
Рассмотрим следующую функцию этих случайных величин, которая тоже будет случайной величиной и которую мы обозначим через 1: (23.1) Случайная величина 1 имеет распределение, называемое распре- делением Стьюдента. Функция плотности этого распределения за- висит от параметра л и имеет следующий вид: (23.2) где гамма-функция Ю Г (и) = х"-' ехр ( — х) сХх. В случае положительных и Г(а) = (п — 1)1 (23.3) (23.3') Математическое ожидание величины 1 в этом случае равно ~а О, а дисперсия а' и1(п — 2).
На рис. 5 пунктирная кривая 2 изображает функцию плотности распределения Стьюдента для а=З, р=О и о=13. Для больших значений п функция плотности з (х) мало отличается от функции плотности нормального распределения. При и-~-оо предельным выражением з,(х) является плотность нормального распределения, а для малых п кривая плотности з (х) шире кривой для нормального распределения с дисперсией, равной единице (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
