А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В других случаях сам сигнал разрушается измерительным прибором: например, оптическое изображение «размывается» из-за явления дифракции и несовершенства оптической системы. Наконец, измерительный прибор возмущает измеряемый объект и регистрирует параметры возмущенного объекта, в то время как нас интересуют параметры объекта в невозмущенном состоянии.
Если ограничиться аддитивной погрешностью, то схему измерения можно записать в виде. $;=а~(~) +ть 1=1, ..., п, нли в векторной форме Ъ=аЯ+». (28.1) При 1-м измерении сигнал от объекта 1 поступает на вход прибора, преобразуется в сигнал а~(1) и регистрируется в виде числа $~ вместе с ошибкой то Наша цель — зная й, нужно возможно более точно определить параметры объекта, которые связаны с сиг- *. ~ .~ -ь.в ° - ° .,О|.
'......О . и-. -у п~ ... °;, ° .. ° ° ! ° ыараметрамы объекта, ыааеетыа. За 87 вся эта информация должна извлекаться из $, то в общем случае это будут функции г1(ф),..., г,(Ц. Задача заключается в том, чтобы найти такие функции г,($),...,г,($) (векторную функцию г($)), которые были бы в совокупности как можно более близки к истинным значениям параметров объекта и,(1), ..., иа()) (соответственно к вектору п(1")).
Наиболее распространен, хотя он и не единственный, способ оценивать близость векторов по квадрату нормы их разности. Таким образом, метод обработки измерений вытекает из определенного принципа оптимальности. Однако то, как реализуется этот принцип, определяется тем, что известно относительно схемы измерения (28.1) от ее математической модели. Если о погрешности неизвестно ничего, т.
е. ч может быть априори произвольным некотором, то задача не может быть решена. Как правило, сведения о чг могут быть даны либо в форме оценок (ограничений), либо в вероятностных терминах, в предположении, что и — случайный вектор. Пусть известна оценка для ч (например, ~~чгйв<6 или шах!чгс!(6). Это значит, что задано множество значений вектора ч, каждое из которых можно считать истинной ошибкой с равным основанием. Предположим, что уравнение 4=а((), где $= а()о)+ч, для каждого ч из указанного множества имеет единственное решение.
В этом случае множество значений ч порождает множество (1) решений ), в котором содержится истинное значение )=1о, последнее в свою очередь порождает множество (п(1)) значений параметров объекта п(1). Если множество (н(1)) ограничено, то его можно использовать для интерпретации измерений, в противном случае (п(1)) не имеет физического смысла и мы имеем дело с так называемой некорректной задачей. Способы решения таких задач основаны на введении дополнительной информации о решении («априорной информации»), котораялибо имеет вид ограничений, т. е.
указывает что 1 должно принадлежать некоторому («априорному») множеству*, либо на множестве решений вводится функция предпочтения, которая может носить характер декларации **, а может быть задана законом распределения (вероятностн) (. Учет априорной информации при решении задачи (28.1) называется регуляризацией в широком смысле. Методы регуляризации, основанные на априорно принятых предпочтениях типа гладкости, величины нормы и др., развиты в работах А. Н.
Тихонова н его учеников. Если предположить, что погрешность и†случайная величина с известным распределением, то условие типа йч~Р<6 будет носить вероятностный характер, а множество решений задачи (28.1) образует так называемое оценивающее множество, содержащее с заданной вероятностью истинное значение (=~о. Его размер зависит от задаваемого параметра — вероятности оценивания, В оце- * При атом множество не обнаательно ограничено.
*' Например, й предпочтительнее /т, если 161«1Я!. 68 п (Ь вЂ” а, ф)а — ппп. 1=ч Значение (=), при котором достигается минимум в (28.8), используется в дальнейшем: в качестве искомых параметров рассматривается и()). В некоторых случаях этот метод обладает оптимальными свойствами в смысле (28.2); но априори это ниоткуда не следует. В методе максимального правдоподобия измерение $ рассматривается как случайный вектор с известным (чаще всего нормальным) распределением, зависящим от неизвестного параметра ~. Оцевка параметра Г находится как такое его значение, при котором наиболее вероятно получить данную реализацию случайного вектора й.
Этот критерий выбора ) не связан явно с какими- либо свойствами оптимальности, в частности не ясна его связь с критерием (28.2), хотя конечные формулы для оценок параметров в ряде случаев совпадают для всех трех критериев. Метод получения г(Ц параметров объекта п(1), который непосредственно вытекает из условия оптимальности (28.2) с учетом ю~ * и* р . 6Ы ' Это множество может совпадать со всем пространством. (28.3) нивающем множестве можно выбрать точку ~=(($), которая об.
ладает некоторыми оптимальными статистическими свойствами, и принять ее за решение («точечная оценка» ~). Способы построения оценок и оценивающих множеств, а также их свойства изучает раздел математической статистики — теория статистических оценок. Принципом построения статистических оценок для рассматриваемой задачи может быть минимизация средней ошибки. В этом случае математическая задача заключается в том, чтобы найти функцию г1(й),...,г,($), для которых минимально среднеквадратичное уклонение г($) от пЦ): зпр Е йг ($) — и Д)~~е — ппп. (28.2) ц) Буквой Е обозначено математическое ожидание, т.
е. усреднение по всем реализациям случайной величины $ (или м).Для решения задачи (28.2) необходима математическая модель: должны быть известны функции а( ), и( ), статистические свойства погрешности м и задано множество, априори содержащее ~ее. Эти зависимости могут быть заданы в неявной форме, в виде математической задачи, решение которой может быть получено численно и и т.
д. Задача (28.2) относится к области математической статистики, известной как анализ регрессий. В настоящее время среди физиков широко распространены метод наименьших квадратов и тесно с ним связанный метод максимального правдоподобия. В принятых обозначениях метод наименьших квадратов сводится к минимизации квадратичной формы методом редукции измерений (от лат. геЫисйо — восстановление). Формальная сторона теории достаточно полно разработана для линейных задач, в которых функции а( ), и( ) и г( ) являются матрицами (линейными операторами), обозначаемыми А, У и )г соответственно. Метод редукции основан на определении оператора )с и последующем преобразовании измерения $ к виду т($=)гА$+ 1гв, согласно которому 1сй — искаженный погрешностью )гт сигнал, полученный на выходе прибора )гА, на вход которого подан сигнал 1. Если )г удовлетворяет условиям РА = У, В ())Ь1~ — ш(п, (28.4) и то )гв интерпретируется как выходной сигнал прибора У, равный параметрам измеряемого объекта с точностью до слагаемого )гт, определяющего ошибку такой интерпретации.
Метод редукции допускает и инструментальную трактовку, когда принцип оптимальности применяется не к сигналу, а к прибору, Йапример, нужно найти такой оператор 1г, чтобы прибор 1гА был наиболее близок к У при некотором ограничении на погрешность )Ь: 11)сА — У11 — пнп, Е 11)гт~~з ( з. (28.5) В отличие от задачи (28.4), которую можно понимать как задачу оптимального синтеза выходного сигнала прибора г(й), задачу (28.5) следует понимать как задачу оптимального синтеза идеального прибора О, на выходе которого исследователь получает значение параметров объекта. $29.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МЕТОДА РЕДУКЦИИ ИЗМЕРЕНИИ (А1)(х)=~ а(х, у)~(у)бу. (29.2) 70 Обозначим через ) сигнал, поступающий от объекта и среды на вход измерительного прибора А, т — случайную ошибку измерения (шум). В процессе измерения сигнал 1 разрушается двумя преобразованиями: ~-~А (1)-+А (1)+в= Б. Обозначение Б примем для сигнала, полученного на выходе измерительного прибора.
В дальнейшем преобразование, даваемое прибором, будем считать линейным и записывать в виде А1, а ошибку т — чисто случайной со средним значением, равным нулю (зто означает, что систематическая ошибка либо отсутствует, либо уже учтена). В математической форме зто преобразование запишем в виде Б=А1+т. (29.1) Как правило, математическая модель измерительного прибора — интегральное преобразование вида Однако в реальном эксперименте измеряется конечное число зна- чений, например, (А/)(х,)=~а(х/, у)~(у)ду, 1=1, ..., л, соответственно с ошибками ть (=1, ..., и, а поскольку и интеграл вычисляется приближенно, равенство (29.2) преобразуется в алгебраическую форму (А/) =~' а////, /=1, ..., в.
(29.3) / $ Поэтому будем считать, что в равенстве (23.1), далее называемом схемой измерений, ~яР, $, А/, тен/г'„илн иначе говоря, $= ф, ..., $„)~, ч=(ть ..., т„)~, ~=Д„..., ~,„)~, А=(а//)„; Я„, Я вЂ” соответственно в- и /и-мерные евклидовы пространства. Задача редукции измерения состояния объекта, выполненного на приборе А по схеме (29:1), сводится к определению оператора Я, такого, что Я$ можно интерпретировать как наиболее точное приближение для значений параметров состояния объекта. В процессе измерения как объект, так и среда, в которой находятся объект и измерительный прибор, оказываются в той или иной степени возмущенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
