А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пытьева «Методы анализа и интерпретации эксперимента»- (М.: Изд-во Моск. ун-та. 1990, 228 с.). ЧАСТЬ П ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ П 1. Матвеев А. П. Механика и теория относительности. 2.е нзд. Мл Высшав школа, 1986. 2. Сввркйн Д.'В. Общий курс физики. Том 1. Механвка. 3-е взд, Мх Наува, 1989. 3. Хайкин С. Э. Физические основы механвки. 2-е изд. Мх Науиа, 1971. 4. Стрвллбв С. П.
Механика. 3-е нзд. Мл Наука, 1975. б. Стрелков С П. Введение в теорию колебаний. Мл Наука, 1964. ГЛАВА 8 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Введение. Любое реальное физическое тело можно мысленно разделить на достаточно малые части, такие, что каждую из них можно рассматривать как материальную точку. В этом представлении физическое тело может рассматриваться как некоторая совокупность конечного числа материальных точек, т.
е. как система материальных точек. Каждая материальная точка системы может взаимодействовать с другими матерИальными точками системы и материальными точками или телами, не входящими в данную систему. Силы, действующие на материальную точку со стороны других материальных точек системы, называются внутренними силами, а действующие со стороны материальных точек или тел, не входящих в рассматриваемую систему,— внешними. В природе существуют различные тела.
У некоторых из них различные части тела могут свободно перемещаться друг относительно друга, например в газах, жидкостях, сыпучих телах. У других тел взаимное расположение частей относительно фиксировано, в результате чего они относительно устойчиво сохраняют свою форму. Такие тела называются твердыми телами.
Под действией внешних снл может происходить изменение формы твердого тела, которое называется деформацией тела. Если эта деформация пропорциональна вызывающим ее внешним силам, то такие твердые тела называются упругими твердыми телами (эти тела подчиняются закону Гула). В ряде случаев законы движения твердого тела могут существенно отличаться от законов движения материальной точки и определяться размерами, формой и распределением массы твердого тела.
При этом часто деформации тела не играют существенной роли при описании движения тела и ими можно пренебречь. В этом случае мы приходим к важной абстракции абсолютно твердого тела как абсолютно жесткого, недеформируемого. Такое тело мы можем описать как систему математических точек, взаимное расположение которых друг относительно друга строго фиксировано. Рассмотрим основные особенности кинематики и динамики абсолютно твердого тела. В дальнейшем в этой главе для краткости вместо термина «абсолютно твердое тело» будем использовать просто «твердое тело». Произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное. Поступательное движение, когда все точки твердого тела двигаются по одинаковым траекториям, в кинематическом отношении не отличается от движения матери.альной точки.
Плоское вращательное движение — движение, прн котором не менее двух точек тела остаются неподвижными. Прямая, проходящая через зти точки, называется осью вращения. все точки, лежащие на оси, неподвижны, а остальные двигаются по .окружностям, центры которых лежат на оси вращения. При вращении твердого тела, радиус-вектор каждой точки, не лежащей на оси, за время й поворачивается на угол с( ср. Величина угловой скорости определяется как сьг Й (8.1) где чс и гс — линейная скорость и радиус-вектор любой указанной точки. Производная в=в (8.3) ссс называется угловым ускорением. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела равны между собой. В нерелятивнстском случае движение самого тела .можно описать как движение его центра масс, точки С с координатами С(хс, ус, гс), радиус-вектор которой тс связан с массами и радиусами-векторами всех остальных точек соотношением ~слсгс с гс= Х сссс (8.4) Импульсом (количеством движения) системы п точек назы- вается вектор Р, приложенный,к центру масс: Рс = ~Г лссчс.
с (8.5) Для поступательного движения на основе второго закона Ньютона можно записать — "с= й (Еш$чс)=ЕРс+Е4 с с с (8.6) Угловая скорость является вектором и ее направление опреде.ляется так, чтобы выполнялось условие векторного произведения чс=ес х гс, (8.2) где 㻠— внешние силы, а 1» — внутренние силы. По П1 закону Ньютона 1» попарно равны между собой и Х 1»=0, откуда получаем с ( ~~ ш»ч ~ = — '~~~ »л»г»)»л с ~ Р Р (87) » С » Для получения уравнения моментов рассмотрим уравнение Ньютона для »чй материальной точки системы а — (п»»ч») = Р»+ Т 1ц, »»» »'» где 1п= — 1п — сила взаимодействия между»чй и 1-й материальными точками.
Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, т. е. 1»»~!(㻠— г»), Умножим это уравнение векторно »!г» »1г» на гь учитывая, что — хч =О, (так как — =т») и 1пХ Х(㻠— г»)=0, после суммирования по всем точкам системы по- лучим а г1 — ~ л»г Х к, = э~ г. Х г». Д (8.8) Е Ел»»г»Хн» Хг»Хр» называется моментом импульса системыот» носительно точки, выбранной в качестве начала координат, Е г»Х ' » Х㻠— называется моментом внешних сил относительно той же точки. При этом уравнение (8.8) можно записать в виде »и. — = 81. Й (8.9) Векторное уравнение (8.9) эквивалентно трем скалярным урав- нениям — =М; — х-=М; — *=М,.
а»к " ж (8.10) Ь,= Е Ь»,=»з~ГтЯ~»=вУ, » (8.1 1) зь» Уравнение — *=М, называется уравнением моментов относительно неподвижной оси Я, если начало координат лежит на этой оси. Применим это уравнение для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Я с угловой скоростью»з. Линейная скорость каждой материальной точки л»» нашего тела в этом случае будет т»=ы)»»», где Р» расстояние от осн Я. Проекция момента импульса на ось Я для этих точек будет равна Ь»,=1»»п»»т» »з»п»»»'», так как »з одинаково для всех точек системы. Для всего тела по- лучаем где 1 3тЯзо называют моментом инерции тела относительно неподвижной оси.
Подставляя (8.11) в (8.10), получаем основное уравнение движения для вращательного движения вокруг неподвижной оси Š— 1=а1=М,. (8.12) При непрерывном распределении масс по телу для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела.
При этом можно показать, что если произвести параллельный перенос оси вращения тела на расстояние а, то момент инерции тела относительно новой оси будет равен (теорема Гюйгенса — Штейнера) 1=1о+та', (8.13) где 1о — момент инерции относительно первичной оси, причем удобно проводить ее через центр масс тела. Важным случаем вращательного движения является движение физического маятника.
Физическим маятником называется твердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси в поле тяготения. Расстояние от осн вращения до центра масс обозначим через 1, а угол отклонения маятника от вертикали через а. При отклонении маятника на угол а на маятник действует возвращающий момент силы тяжести, равный тя1 з)па. Уравнение динамики имеет вид (при пренебрежении моментом сил трения) ,1 — = — тя1 яп а. ' ооа ° фй (8.14) Знак «минус» в уравнении означает, что момент сил направлен против увеличения угла а; 1 — момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса. Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать, что вша=а, и переписать уравнение в виде — + — а = а+оРа= О.
ооа еу! 4Р 1 (8.15) (8.16) Такие колебания называются гармоническими. Пусть физический маятник состоит из материальной точки массой т, подвешенной на невесомом твердом стержне длиной ! и колеблющейся около точки О. Такой маятник называется матема- Путем подстановки нетрудно убедиться, что решением этого уравнения являются функции асозв1или аз)пей Маятник совершает колебания с малой амплитудой а, частота и период которых определяются формулами тнческнм. Заметив, что для него как твердого тела Х=тр, нахо- дим период колебания математического маятника (8.17) Обозначив через Хр момент ннерцнн физического маятника относительно осн, проходящей через его центр массы, по теореме Гюйгенса Х=Х«+таз н формуле для периода колебаний физического маятника, получаем (8.18) Длина мате тнч го маяты ка пе но кол ая ко коле й з авен Из ве сравнения формул видно, что приведенная длина физического маятника равна 1»р — — Х/т1».
Точка физического маятника, расположенная на расстоянии 1»р от точки подвеса на прямой, проходящей через центр масс, называется центром качаний. Основное свойство центра качаний физического маятника состоит в том, что прн подвесе маятнвка на ось, проходящую через этот центр, период колебаний не нзменится. Таким образом, прн переносе точки подвеса в центр качаний прежняя точка подвеса становится новым центром качаний, т. е. точка подвеса и центр качаний обратимы. Доказательство этого утверждения следует непосредственно из теоремы Гюйгенса — Штейнера н формулы для периода колебаний маятника.
Литература к главе 8: (1) — главы 2, 6, 8; [2) — главы Ч вЂ” ЧИ; 131 — главы Х, Х111; ~(4] — главы Ч11, Ч111. Лабораторная работа Х Изучение законов равноускоренного движения на машине Атвуда Экспериментальная установка, получившая название «машина Атвуда», представляет нз себя (см. рнс. 8.1) вращающийся с максимально малым трением легкий блок В, через который перекинута тонкая нить с грузами С и С' одинаковой массы т=60,0~ + 0,01 г. Блок В крепится наверху вертикальной трубки-колонки А, на которой нанесена миллиметровая шкала. Если на груз С положить добавочный груз (перегрузок) 11 массы шь то система начнет двигаться с некоторым ускорением а. Основной задачей настоящей работы является получение сравнительно малых ускорений а (по сравнению с ускорением свободного падения д) с 87 целью экспериментального изучения основных законов кинематики равноускоренного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
