А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Затем, пользуясь формулой (4), вычисляют момент инерции 1, всей системы, принимая ее массу т равной сумме масс тела и платформы. Величина момента инерции тела Т определяется как разность При помощи трифилярного подвеса может быть проверена и теорема Гюйгенса — Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инер- | пни этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. 103 Затем оба тела располагают симметрично на платформе и определяют их момент инерции при таком расположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения.
Зная это расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить указанную теорему. Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 5 — 6'. Литература: (1) — $31; (2) — $ 35, 42.
Лабораторная работа б Измерение момента инерции колеса Уравнение вращательного движения для материального тела имеет вид (см. введение к главе 8) У з=М, где Х вЂ” момент инерции тела, з — его угловое ускорение, М— момент приложенных к телу сил. Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением элементарных масс тела — геометрией масс (см.
введение). При сложной форме поверхности, ограничивающей тело, и неравномерном распределении плотности аналитический расчет величины момента инерции может быть достаточно сложной задачей. Экспериментальное же определение момента инерции осуществимо легко. В настоящей задаче измеряется момент инерции велосипедного колеса двумя различными способами. РИРАжиеиие е ОИРеделеиие момеитА ииеРции методом колеБАиии Описание установки и измерения. Велосипедное колесо А (рнс. 8.7) может вращаться с малым трением вокруг горизонтальной оси О. На внутренней стороне обода колеса симметрично по диаметру укреплены две очень легкие и одинаковые по весу короткие трубки В.
К колесу на нити прикреплен металлический шар С. Помещая шар в одну из трубок, получаем физический маятник, который может колебаться вокруг положения равновесия, отклоняясь влево и вправо от вертикали, проходящей через ось колеса. Угол отклонения может быть определен по угломерной шкале 17. 1О4 Пренебрегая моментом сил трения, можем написать уравнение движения колеса вместе с шариком (1, + 1) <р = — тф, яп <р, где У,— момент инерции колеса с трубками, У вЂ” момент инерции шарика относительно оси колеса, 7п — масса шарика, Ь вЂ” расстояние между центром шарика и осью колеса, а' — ускорение силы тяжести, ~р — угол отклонения колеса от положения равновесия, ~р — угловое ускорение колеса.
сЬ Рис. 87 Если а(пу=~р (малые углы отклонения), то можно написать (У, +,/) ~р = — 7пайр. (2) Зная, что движение является периодическим, будем искать решение (2) в виде Ф = ~ро $1 п «я, где а=2п/Т вЂ” циклическая частота, Т вЂ” период колебаний колеса,~ра — амплитуда колебаний. 1оь дважды дифференцируя уравнение (3) по времени, получаем (4) Сопоставляя (2) и (4), находим (5) Учитывая, что диаметр шарика во много раз меньше радиуса колеса, можем считать шарик материальной точкой и положить 7 тЫ (6) Тогда из уравнений (5) и (6) получаем ть ( ь).
Вычисление момента инерции колеса по этой формуле требует измерения массы шарика, периода колебаний и расстояния от оси вращения до центра шарика. Масса шарика т определяется взвешиванием, период колебаний Т вЂ” секундомером, расстояние 1. — миллиметровой линейкой. Сначала тщательно взвешивают шарик. После этого не менее трех раз измеряют расстояние от оси вращения до центра шарика. Вычисляют среднее арифметическое этой величины. Шарик помешают в одну из трубок, колесо отклоняют от его положения равновесия на угол, не превышающий 8'.
Определяют по секундомеру время 30 полных колебаний. Вычисляют среднее арифметическое значение одного полного периода колебаний. Пе полученным данным, пользуясь уравнением (7), вычисляют момент инерции колеса. УПРАЖНЕНИЕ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ ВРАТЦЕНИЯ Описание установки и измерения. Велосипедное колесо А может вращаться с малым трением вокруг горизонтальной оси О.
Колесо имеет соосный с ним цилиндр К, на который наматывается нить с прикрепленным к ней грузом — шариком С. Под действием силы тяжести шарик будет опускаться, приводя колесо во вращение. Уравнения движения системы без учетна сил трения имеют вид та =тд — Т, / е=Тг, а=зг, (8) где т — масса шарика, ӄ— момент инерции колеса с трубками В (см. рис. 1), д — ускорение силы тяжести, Т вЂ” натяжение нити, г — радиус цилиндра, на который намотана нить. 106 Из уравнений (8) получаем а= т+ (7 Ьл) 7 =тгз( ~ (з — 1). (1О) Вычисление момента инерции по этой формуле требует измерения массы груза (шарика) т, радиуса цилиндра г, расстояния Ь, проходимого опускающимся шариком, времени 1 опускания шарика.
Масса шарика определяется взвешиванием, радиус определяется штангенциркулем (используется среднее арифметическое значение из многих замеров), время опускания ( измеряется секундомером, Ь определяется по шкале )т'. По полученным данныи, пользуясь уравнением (10), вычисляют момент инерции колеса. Найденное значение Х, необходимо сопоставить с величиной, получающейся из уравнения (7) (см. упражнение 1). При выводе соотношения (10) пренебрегали силой трения. Рассмотрим соотношения, получающиеся при учете сил трения. При опускании шарика с высоты Ь (на полную длину нити) его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию системы и работу против снл трения.
тп Н Е+щМ, где М вЂ” момент сил трения, ~р — полный угол поворота колеса, Š— кинетическая энергия системы. Предполагается, что сила трея при движении остается постоянной, т. е. не зависит от скоти. После того как шарик опустится на полную длину нити й, коо будет продолжать вращаться, и нить начнет наматываться на линдр. В результате шарик поднимется на максимальную высо- Ь'(Н. Очевидно Е=тйй|+~р, М, ~р1 — полный угол поворота колеса при подьеме шарика. Учитывая, что Ь=щ, а й,=щь получаем тзг (" "1) а+а, (11) Эта формула позволяет вычислить величину момента силы тре- .
Считая его известным, можем вместо системы уравнений (8) исать (12) (От та=.тй — Т, ./,з=Тг — М, а=зг, Учитывая, что ускорение а шарика при опускании нити иа полную длину й определяется уравнением Ь=агз/2, получаем окон- чательно где по-прежнему а=2Ь/Р. Уравнения (13) и (14) дают (13) Этим выражением пользуются для вычисления момента инерции колеса с учетом сил трения. Литература: (Ц вЂ” 5 31, 32; (21 — $30. Лабораторная работа 7 Изучение эллнпсоида инерции твердых тел Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, штангенциркуль. Теория. Рассмотрим твердое тело, закрепленное таким образом, что оно может вращаться вокруг неподвижного центра масс.
Введем декартову систему координат с началом в центре масс. Бесконечно малый 1-й элемент тела, имеющий координаты хь уь гь будет иметь скорость ч;=еХгь где е — вектор угловой скорости, описывающий вращение твердого тела, а г; — радиус-вектор, проведенный нз начала координат в точку, где находится 1-й элемент. Пусть масса этого элемента равна Ать Момент импульса тела относительно центра масс будет равен 1.=~" Лт,г, м ч~ — — ~~~~ бт,г, х (е х г;) =~'Лт;(вг( — г~(г,е)). (1) В с \ Расписывая (1) по проекциям на координатные осн, получим Х л = ХаХа~+ Хщ~ц+ Х~Ма Хе= ХгФЪ+Хегмг+Хгмь 1 [ =Х х+ХЗХэе+1 в2 (2) где шесть величин 1 =Яхт,(у~1+а,'), 1 =Ябт1(4+4, Х„=Яхт,(х',+у~), $ $ ! 1„„=1„,= — Ябт,х,уь Х„,=Х = — Ябт~х;гь $ $ 1,=1,„= — Х Ьт,у,г, 108 определяют тензор инерции.
Величины Хкс~ Хгг~ Хая являются диагональными элементами тензора и называются осевыми моментами инерции. Х~р, 1г*, Х~~ 1,„, Х„„Х,„являются иедиагональными элементами тензора и называются центробежными моментамн инерции. Тензор, обладаю- где Х=ЕЬтрвв (4) является моментом инерции относительно оси, определяющей на- правление вектора угловой скорости е. Чтобы выразить момент инерции Х через координаты 1-го элемента, введем направляющие косинусы сова= — ', совр= — г, с<му= — * (в= (/оР+оР+оР) м е~ ! в н представим р1 г~~ — 4.
Рассмотрим 4 4= (г; — )'=(х~сова+увсов (3+а~сов у)'. (6) Учитывая (6) н тождество соз'а+сов'(3+совву=1, представим Х в виде Х = Х Ьт; ((х,'+ у,'+ хв) (сов' а+ сова (3+ сов' у)— — (х, сов а+ у~ сов р+г~ сову)'. Группируя в (7) члены по степеням косинусов, получим Х = Х сова а+ Х„„сов'(3+ У„сов' у+ + 2Х„„сов а сов (3+ 2Х„, сов а сов у+ 2Х„, сов ~3 сов у. (8) В соотношении (8) компоненты тензора Х„, У,„и т. д. при вращении тела меняют свою величину, так как они определяются с помощью неподвижной системы координат, а не системой координат, связанной с телом. Если ввести такую систему координат, для которой в некоторый момент времени тензор инерции принимает диагональный вид, то для этого момента времени получим Х=Х,совва+Х сова(3+Х,совву.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
