А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(9) 100 щий указанной симметрией, (Х,„=У„„...), называется симметричным тензором. Симметричный тензор можно привести к диагональному виду, т. е. выбрать такую систему координат, определяемую формой н положением тела, в которой все недиагональные элементы будут равны нулю. Соответствующие направления координатных осей называются главными осями инерции, а величины Хз— = Хкк~ Хг— = Угг, Ха=Хм — главными моментами инерции. Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то удобно представить г1=бс+рь где ЙДв, р;1.е (вектор в направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта).
В этом случае скорость 1-го элемента ч~=е Хрь При рассмотрении этого случая вводится понятие момента импульса относительно фиксированной оси. Если ось проходит через центр масс, то соответствующий момент импульса равен ЕЬт1р~ х ч~=ЕЬт~р~ х (е х р~)= — ЕЬт,р~ы=Хв, (3) С другой стороны, как следует из определения (4), У не меняется при вращении тела. Поэтому для определения У по формуле (8) можно брать любой момент времени, в частности и тот, 'в который система координат, связанная с телом, совпадает с некоторой неподвижной системой, т.
е. в (8) можно рассматривать У„, У,„ и т. д., определенными в некоторой системе координат, связанной с телом. Рассмотрим геометрическую интерпретацию соотношения (8). Введем декартову систему координат и для каждого значения а, р, у отложим по осям ОХ, ОУ, ОХ величины ава с0з5 с0з7 О ( . 1, т) ' ЪО ( . 5, И ' 3'3Т . К т) ' ййножество точек с координатами х, у, г определят некоторую поверхность.
Чтобы найти уравнение этой поверхности, подставим в (8) направляющие косинусы, выраженные через х, у, г: сова= =хгУ, сов()=ууУ, созу=яуУ. При этом получим уравнение поверхности второго порядка Удал~+ Узру + Уы~'+ 2Узу "у+ 2УкРз+ 2Уутуз = 1 (11) Из вида уравнения следует, что рассматриваемая поверхность является эллипсоидом. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. С помощью этого эллипсоида легко определить значение момента инерции, если заданы направляющие косинусы оси. Проведем из центра эллипсоида вектор с направляющими косинусами сова, совр, сову. Длина этого вектора до пересечения с поверхностью эллипсоида будет равна 1УГУ. Действительно, саУа+ соз~ й+ соУ т ха+а" +я у (12) ыо Описание установки. Тело, для которого определяются моменты инерции,— однородный металлический параллелепипед (рис.
8.8.). Поместим начало координат в центр масс параллелепипеда, оси координат направим по его осям симметрии. Направим ось ОХ нормально к наибольшей по величине грани параллелепипеда, ось ОУ вЂ” нормально к средней грани, а ось ОЯ вЂ” нормально к наименьшей грани. В середине каждой грани сделаны небольшие углубления для закрепления тела при его вращении вокруг осей ОХ, ОУ, ОЯ. Углубления сделаны также в местах, позволяющих укреплять тело при его вращении около осей ММь ММь ОВь Параллелепипед неподвижно укрепляется в рамке, которая подвешена на упругой металлической проволоке и может совершать крутильные колебания. В состав .установки входят также электронный таймер и фотоэлектрическая система, регистрирующая число полных периодов колебания рамки. Уравнение вращательного движения рамки с исследуемым параллелепипедом имеет вид (У +У)ч= — Ур, (13) где Ус — момент инерции рамки, У вЂ” момент инерции параллелепипеда относительно данной оси, у — модуль кручения проволоки„ «р — угол отклонения рамки от положения равновесия.
Решение этого уравнения — гармоническое колебание с периодом Т=2п ° У "+'. "Г 1 Рис. 8.8 Период колебаний рамки без параллелепипеда равен Ь' Из этих двух выражений (16) Пользуясь этой формулой, можно определить моменты инерции тела Уох, Уог, Уог, У (относительно главных осей координат ОХ, ОУ, ОЯ и произвольной оси, проходящей через центр главной системы координат), выразив их соответственно через периоды колебаний Тох, Тот, Тох и Т. Пусть размер параллелепипеда по оси ОХ равен а, а по оси ОУ равен Ь, по оси.ОЕ равен с.
Квадраты направляющих косинусов для его диагонали соответственно равны соз а= оз . ° (1= з«с« , соз«у= (17) а« + Ь« + с« а« + З« + с« ' а« + Ь« + с« 111 Подстановка 7», Х», Х„выраженных через То», То», То» по формуле (16), и косинусов, выраженных через а, Ь, с по формулам (17), в соотношение (9) приводит к уравнению т»о„и + т«»Ь»+ То»с Т'= и'+ Ь~+ е~ Соотношение (18) проверяется экспериментально.
Измерения. Для выполнения работы необходимо измерить: 1) размеры тела (ребра параллелепипеда) — а, Ь„ с„ 2) период колебаний пустой рамки (Те) и рамки с телом, закрепленным в различных положениях. Измерения рекомендуется проводить в следующем порядке. Сначала штангенциркулем измеряют величины а, Ь, с не менее трех раз в разных сечениях тела и берут для каждой нз них среднее арифметическое. Затем вычисляют их квадраты и сумму квадратов.
Для измерения периода колебаний Т, необходимо включить электронную часть прибора нажатием клавиши «сеть». Затем необходимо нажать на клавишу «сброс» для обнуления табло прибора и отжать клавишу «пуск», в результате чего будет включена цепь питания электромагнита, фиксирующего рамку в отклоненном положении. Зафиксировав рамку в отклоненном положении с помощью электромагнита, нажимают клавишу «пуск», которая размыкает цепь питания электромагнита, включает электронный таймер и фотоэлектронную систему регистрации числа полных периодов колебаний. Нажатие на клавишу «стоп» останавливает работу электронной системы после завершения очередного периода колебаний. Период колебаний Т» получают путем деления времени, зафиксированного на табло таймера, на число М периодов колебаний, зафиксированного на табло фотоэлектронной системы.
Чи. ело периодов У рекомендуется задавать таким, чтобы относительная ошибка измерения периода Те была мала по сравнению с ошибками измерения других величин. После этого закрепляют в рамке параллелепипед в разных положениях и измеряют так же, как и прежде, периоды То», То», То», Т. По полученным данным убеждаются в правильности (в пределах погрешности измерений) уравнения (18), а следовательно, и уравнения (9). Пользуясь уравнением (16), вычисляют моменты инерции параллелепипеда для осей ОХ, ОУ, ОХ (в единицах момента инерции 1»). Полученные значения моментов ннерции сопоставляются между собой. Литература: [1) — $31, 32; [2) — $53; [3] — $92, 94; [4)— $59.
Лабораторная работа 8 Изучение прецессии гироскопа Принадлежности: гироскоп, электронный блок,в составкоторого входят система измерения скорости вращения гироскопа, электронный таймер, фотоэлектрическая система отсчета угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси. Теория.
Гироскопом называется быстровращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое направление в пространстве. Большие скорости вращения гироскопа требуют, чтобы ось гироскопа была осью симметрии. Подвижность оси гироскопа обеспечивается кардановым подвесом или каким-либо другим аналогичным устройством. При этом вращение осн гироскопа происходит таким образом, что некоторая точка О этой оси (например„ центр масс гироскопа) остается неподвижной.
При вращении оси соответствующая угловая скорость Й (скорость прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей оси„ которую будем обозначать через в. Если на ось гироскопа действует некоторая сила, создающая момент М, то момент импульса относительно точки О (главный момент импульса) Е изменяется в соответствии с уравнением моментов — =М. Ж. й Анализ уравнения (1) упрощается вследствие того, что угловая скорость вращения гироскопа очень большая.
А это означает, что при относительно медленном изменении ориентации оси гироскопа главный момент импульса практически направлен по оси гироскопа. Момент внешних сил М направлен перпендикулярно оси гироскопа, т. е. практически перпендикулярно главному моменту импульса 1.. Приращение дЕ момента импульса должно быть направлено по моменту М, т.
е. практически перпендикулярно моменту импульса 1, Такое приращение вызовет изменение направления момента импульса 1., т. е. изменение направления оси гироскопа. Если при этом ось поворачивается на угол ИЖ, то соответствующее изменение момента импульса будет равно )дЦ =Ейй. (2) Если при изменении направления оси на угол й от момент. внешней силы повернется на такой же угол и не изменит своей величины, то ситуация в новом положении будет аналогична, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
