А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. произойдет такое же изменение направления оси вращения гироскопа за следующий интервал времени пт, т. е. под действием постоянного момента сил М возникнет вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью П. При этом изменение момента импульса 1. в единицу времени, равное АЯ, будет определяться уравнением (1). (З~ Учитывая, что для быстро вращающегося гироскопа Е Уе, (4) где У вЂ” момент инерции гироскопа относительно его оси, получим для угловой скорости й= —. (5) Вращение оси гироскопа с угловой скоростью й под действием постоянного момента сил М называется прецессией гироскопа.
Отметим две особенности прецессионного движения. Во-первых, прецессия не обладает «инертностью» (прецессия существует, пока действует момент). Во-вторых, ось вращения прецессии не совпадает с направлением момента силы М, а перпендикулярна ему (параллельно М приращение Л Е). Цель задачи: а) ознакомление с особенностями движения гироскопа, б) определение угловой скорости прецессии и момента инерции гироскопа. Описание прибора. Прибор (рис.
8.9) состоит из электрического моторчика А, укрепленного в обойме В. Обойма опирается на вертикальный стержень С и может вращаться вокруг горизонтальной Рис. з.э оси, а вместе со стержнем — вокруг вертикальной. Собственно, гироскопом является ротор моторчика с массивным диском Е. Момент внешних снл, приложенных к гироскопу, может изменяться при перемещении груза К по стержню обоймы. Прибор содержит также электронный блок О, в состав которого входят: система измерения скорости вращения моторчика, электронный таймер, фотоэлектрическая система измерения угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.
Включение моторчика производится выведением ручки «скорость вращения» 1 из крайнего левого положения. Дальнейшее вращение этой ручки по часовой стрелке приводит к увеличению скорости вращения моторчика. Стрелочный прибор 2 на панели блока показывает скорость вращения моторчика.
Включение электронного таймера и фотоэлектрической системы измерения угла ~р поворота гироскопа вокруг горизонтальной оси производится нажатием клавиши «сеть» 8. При нажатии на клавишу «сброс» 4 происходит обнуление табло электронного блока б, 7. После нажатия на клавишу «сброс» происходит запуск фотоэлектрической. системы измерения угла ф и электронного таймера в момент, когда световой пучок попадает на фотоэлемент системы через одну из прорезей на цилиндрической диафрагмеР, поворачивающейся вместе с гироскопом вокруг вертикальной оси. После нажатия на клавишу «стоп» б происходит остановка измерений времени 1 и угла ~р при очередном попадании светового пучка на фотоэлемент системы. Угловую скорость прецессии получают путем деления зафиксированного на табло 7 электронного блока значения угла ~р на соответствующее время й Измерения. Груз К закрепляют на стержне обоймы так, чтобы весь прибор находился в безразличном равновесии, ось гироскопа устанавливают горизонтально.
Включают моторчик и выжидают 2 — 3 минуты, пока ротор не начнет вращаться с номинальным числом оборотов. Смещением груза К создают момент силы тяжести М. Величина этого момента сил определяется по формуле М=Ра, где Р— заданный вес груза, Ь вЂ” расстояние этого груза от его начального положения, измеряемого по шкале на стержне.
Далее измеряют величину угловой скорости прецессии при различных значениях момента М (при различных значениях плеча Ь). Необходимо сделать 3 — 4 измерения для каждого значения скорости вращения ротора (рекомендуемые значения скорости вращения 2000, 4000 и 6000 оборотов в минуту). При устойчивой работе моторчика (в=соп1з) в пределах ошибок измерений должно соблюдаться условие и, и, и„ (6) 01 01 цл Пользуясь этим, определяют величину Š— среднее арифметическое значение величины Е для каждого значения скорости вращения ротора а.
Далее вычисляют момент инерции гироскопа Х= =1./е. В пределах ошибок измерений значения 1 для всех е» должны совпадать. Литература: (11 — $ 35; 12) — $54; 13] — Я 101 — 104; [4)— Я 62 — 71. ГЛАВА 9 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ о с» ср ~ гбг = ~чтй=~ — ( — ) Й= — — —, с, с, (3) щсп ~й (Уб = ~ бУ=У(г,) — У(г,), (4) щсо .получим ссс 2 сси', — '+ У(г,) = — '+У(г,).
2 2 (5) "Соотношение (5) выражает закон сохранения механнческой энергии для рассматриваемого случая. Условием потенциальности поля сил, т. е. условием выполнения (1), является обращение в ноль работы по замкнутому пути. Сама потенциальная функция У(г) определяется полем снл с точностью до константы. Эта кон<танта может быть определена, если задать значение У в некоторой точке поля.
Простейшим примером потенциального поля является поле снл .тяжести вблизи поверхности Земли. В этом случае во всех доста- 116 Введение. 1. 3 а к о н с о х р а н е н н я э н е р г н и. Если на материальную точку, имеющую массу т, в каждой точке пространства действует сила, которая может быть представлена в виде храдиента от некоторой функции У(х, у, г) Р= — дгадУ, (1) то наряду с кинетической энергией то'/2 можно ввести потенциальную энергию У, прн этом будет сохраняться полная энергия Ж=лсоссз+У. Дла доказательства этого УтвеРждениЯ РаосмотРнм уравнение движения этой материальной точки (П закон Ньютона) тг= — нгабУ (г). (2) Умножим левую н правую части уравнения (2) на дг=тй н проннтегрнруем. Учнтывая, что точно близких точках оила тяжести, действующая на данное тело, имеет одно и то же значение и направление, которое принимается за вертикаль.
Если определить ось 02 по вертикали вверх, то в качестве потенциальной функции можно взять »»'(г) = »плг. (6) В этом случае получим Г,=О, Г =О, Г,= — »»»и. (7) Заменить твердое тело материальной точкой можно лишь в случае поступательного движения. Если тело вращается вокруг оси, проходящей через тело, или расположено вблизи тела, то отдельные элементы тела при этом будут иметь различные скорости и различные перемещения. В качестве примера подобной ситуации рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Начало координат выберем на осн вращения тела.
Ось ОУ направим вдоль оси вращения, радиус-вектор 1-го элемента тела обозначим через г», при этом г»»(»+р», где д» вЂ” вектор параллельный оси, а р» — перпендикулярен оси. Будем предполагать, что на»-й элемент этого тела помимо силы тяжести, равной Л п»»к (й'=(О, О, — к)), действует сила Г», направленная по прямой, соединяющей эту точку с осью.
Кроме того, предположим, что между»-м и 1-м элементами действует сила взаимодействия Гн, причем Гм= — Г»» и Г»»11(㻠— г»), т. е. сила взаимодействия (внутренняя сила). Рассмотрим уравнение движения»-го элемента Выразим скорость ч» через вектор угловой скорости»в=(0, »э, 0) н радиус-вектор г». ч»=»эХг»=»вар». Учитывая, что»э.(.р, получим эз»=»эзрз». Таким образом, »»» 2 Е Л»п» вЂ” = — .7»э», 2 2 (10) где 1=ХЛт»р»» представляет момент инерций тела относительно рассматриваемой оси.
117 Л»п»т» = Лт»й+ Г, + ) Гц. Умножнм левую и правую „части на»(г» = т»й. При этом получим ч»т»о1=6(и»»2), юг»= — д»)г», Г»»(г»=0, так как Г».1 дг». После суммирования по всем элементам появятся пары Гпдг, +Гни»= Г»»(е Х (㻠— г»)) = е((㻠— г») Х Гм) =О. Таким образом, после интегрирования по дг» и суммирования отдельных уравнений (8) получим э»' Х»хт» — + Х Ат»йг»=сонэ(.
(9) 2 Второй член (9) возможно преобразовать, вводя координаты центра масс Ъ Ьлнх~ Х Ли~у~ 2 Ьян~ хс= „. ус= „. хс= (11) При этом получим закон сохранения механической энергии в виде — .(аг+ тес = сопз1, (т = Х Ьт;). 1 2 (12) В качестве другого примера рассмотрим упругую силу, возникающую при смещении х из положения равновесия (г=сопз1, у=сопз1) Г= — йх.
(13) В качестве потенциальной энергии следует взять работу упругих сил с обратным знаком (14) Закон сохранения механической энергии в этом случае будет иметь вид т — + — Йх' = сопз1. из 1 (16) 2 2 т,ч,= Г». (16) Просуммируем эти уравнения по 1 и учтем, что Гп= — Гл. В результате получим Хт~ч~ = 0 или (18) Хт~т, = сопз1, соотношение (18) выражает закон сохранения импульса системы материальных точек с указанным типом взаимодействия. В качестве примеров рассмотрим абсолютно неупругое и абсолютное упругое соударение шаров. Удар предполагается центральным. При абсолютно неупругом соударении предполагается, что оба шара после соударения двигаются с одинаковой скоростью. При абсолютно упругом соударении предполагается, что суммарг 118 2.
Закон сохранения импульса. Рассмотрим систему взаимодействующих между собой материальных точек с массами ть Для силы взаимодействия примем лишь, что Гп= — Гп. Если на систему не действуют внешние силы, то сохраняется импульс системы. Рассмотрим уравнение движения для 1-й материальной точки ная кинетическая энергия после удара равна суммарной кинетической энергии до удара. Предполагается, что время удара столь мало, что импульсом неударных снл за время удара можно пренебречь. В этом случае в процессе удара должен сохраняться общий импульс.
В случае неупругого удара получим т101+ 02202 = (т1+ 022) о. (19) Уравнение (19) дает воэможность определить скорость о после удара. В случае упругого удара удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс системы. В этой системе отсчета суммарный импульс равен нулю, поэтому он останется равным нулю и после удара: т101с+ 0220,с — — 0, т101с+ т202с = О, (20) где 01с, 02с — скорости в системе центра масс до удара, а о',с, 0'2с — после удара.
Из (20) следует, что Ш2, ~ИД 01с= — — 02с О!с= — — 02с. т, т, (21) Для того чтобы после соударения полностью восстанавливалась кинетическая энергия, необходимо, чтобы выполнялись соотноше- ния (22) 0!с= — Оць 02с= — 02с Учитывая, что 01С = 01 ОС 01С = 01 — ОС (23) где 01101+ т11 2 Ос= 011 + 012 (24) получим о, '= — 01+ 2ос о,' = — 02+ 20с. (25) т101 = Г, + ХГ10 (26) 11Э 3 Закон сохранения момента импульса. Если на все материальные точки, входящие в систему„действуют лишь силы Гь направленные в единый центр, а между материальными точками действуют силы взаимодействия Гп= — Гп, Г1111(г1 — г1), то выполняется закон сохранения момента импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
