А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обозначим момент импульса через 1., радиус-вектор 1-й материальной точки через гь начало координат возьмем в точке, куда направлены все внешние силы Гь Рассмотрим уравнение движения 1-й материальной точки Умножим левую и правую части векторно на г, и просуммируем по Ь Учитывая, что г~ х Г,=О и что г~ х Рц+гт Х Гл (г; — гт) х Рц=О, получим (27) т~г~ х ч~= О. С другой стороны, дифференцируя по времеви момент импульса, получим ч %% — ) т~г~ Х чс= 11т1г; х чр+ тг1т;г, х чь (28) а Ь $ $ 1 Первый член правой части '(28) равен нулю, так как г,=ч;, второй — равен нулю согласно (27).
Следовательно, Ь = ~~т,г, х ч~ = сопз1. (29) ! Рассмотрим случай, в котором система материальных точек вращается вокруг вертикальной оси, т. е. е=(0, О, е). Разобьем эту систему на тонкие слои я=сопи( толщиной Лг. Предположим, что в каждом таком слое действуют лишь внутренние силы Ри и внешние силы Гь направленные к оси или от оси. Для каждого такого слоя будет выполняться соотношение (29), где начало вектора г~ лежит на оси. Пусть до некоторого момента времени все элементы (материальные точки) системы совершали лишь вращение вокруг общей оси.
В этом случае для такого слоя Ь=~т,(г, х (е х г,))=2т,г[е, (30) т. е 1-= Хе. (31) Если под действием внутренних сил Гц н внешних сил ГЛг~ в таких слоях происходит перемещение отдельных элементов, в результате чего меняется момент инерции, то с изменением момента инерции должна измениться и угловая скорость так, чтобы выполнялось условие (29). После того как все перемещения закончатся и все элементы системы опять будут совершать лишь вращение вокруг общей оси, будет выполняться соотношение (30).
Однако некоторые А будут иметь другое значение. Постоянство момента импульса Ь означает, что угловая скорость изменится так, чтобы выполнялось соотношение у ~ы1 =угвь (32) Литература к главе 9: [!1 — глава б; [21 — главы П1 — Ч; [3]— главы П1 — 1Ч, Х; [4) — главы П!, 1Ч. Лабораторная работа У Измерение скорости полета пули с помощью баллистического маятника Принадлежности: 1) баллистический маятник, 2) пружинный пистолет, 3) шкала для отсчета отклонений маятника, 4) набор пуль. Баллистический маятник представляет собой цилиндр, частично заполненный пластилином и подвешенный вгоризонтальном положении на длинных и легких нитях (рнс.
9.1). Масса цилиндра с пластилином равна М. В маятник в горизонтальном направле// /. / / / Рис. 9.! нии стреляют из пружинного пистолета пулей, имеющей массу ог и скорость о. Пуля входит в пластилин и сообщает маятнику некоторую скорость, в результате чего маятник отклоняется в процессе колебания на некоторый угол, который может быть измерен. Будем предполагать, что система в целом обладает вертикальной плоскостью симметрии. Обозначим в этой плоскости точкой О след оси маятника (т. е. горизонтальной оси, к которой крепятся верхние концы нитей), а точкой С вЂ” центр масс цилиндра (с пластилином). Для простоты рассмотрения будем считать, что пуля застревает в пластилине таким образом, что ее центр масс находится на прямой ОС. Размерами пули будем пренебрегать.
Существенной особенностью баллистического маятника является то, что время действия силы со стороны пули на маятник (время удара) мало по сравнению с периодом колебания маятника. Такие кратковременные силы, имеющие конечный импульс силы, называются ударными силами, а процесс взаимодействия пули и маят- лика — ударным процессом. Ударный характер взаимодействия вриводнт к тому, что к концу удара маятник, приобретая конечную скорость, практически не успевает отклониться на какую-либо заметную величину. При малых временах соударения ударные силы достигают больших значений, так как за малое время действия изменяют импульс тела на заметную величину. Если за время удара на нити не действуют такие большие ударные силы, то для анализа движения цилиндра сразу после удара достаточно учесть лишь силу, действующую со стороны пули. Движение цилиндра при этом можно будет представить, как вращение вокруг мгновенной оси.
Но для того, чтобы не возникали ударные силы натяжения нити, необходимо, чтобы такое движение не приводило к изменению длины нитей. А это означает, что мгновенная ось должна совпадать с осью маятника. Точку пересечения линии действия ударной силы с прямой ОС в этом случае называют центром удара, а сам удар — центральным ударом. В случае центрального удара натяжения нитей в процессе соударения меняются, так как возникают центростремительные ускорения элементов цилиндра. Однако эти изменения натяжений имеют конечные значения при стремлении времени удара к нулю, поэтому их в процессе соударения можно не учитывать. Если же удар не центральный, то возникают такие ударные натяжения, которые необходимо учитывать при соударенни. Прн этом помимо основного движения возникают высокочастотные колебания, которые довольно быстро затухают. Обозначим расстояние от точки О до центра масс С через (с, а расстояние от точки О до центра удара — через !.
Силу, действующую со стороны пули на цилиндр, обозначим через Р, момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно вертикальной плоскости симметрии, — через Уо, скорость центра масс цилиндра обозначим через пс, а угловую скорость цилиндра — через И. Пусть удар начинается в момент !=О и заканчивается в момент г=т. Учитывая лишь ударную силу Р, получим изменение импульса и момента импульса цилиндра в результате удара (2) о В случае центрального удара мгновенная ось совпадает с осью маятника, поэтому (3) ос=!сй.
Деля (2) на (1) и учитывая (3), получим ! — !с = —. ~о М!с !22 Соотношение (4) определяет положение центра удара. Он расположен на расстоянии 1 от оси О, т. е. несколько ниже центра масс С. Рассмотрим изменение импульса пули в результате соударения. Обозначим силу, действующую со стороны цилиндра на пулю, через Р', а скорость пули сразу после удара через о'.
Изменение импульса будет определяться импульсом силы то' — то= ~ Р'6!. 4 Учитывая третий закон Ньютона (Р'= — Р), из сравнения (1) и (5) получаем соотношение то=Мос+то'. (6) Соотношение (6) имеет внд закона сохранения импульса, к которому мы пришли, так как не учитывали действия всех сил, кроме сил Р и Р'.
Зтому соотношению можно придать вид закона сохранения момента импульса. Для этого умножим левую и правую части (6) на 1. Учитывая (3), (4), кинематическое соотношение о'=1(1 и вводя момент инерции цилиндра относительно оси О. У=уо+М1 с, (у) получим то1= (У+т12) 11. (8) Заметим, что если бы вместо нитей были жесткие тонкие невесомые стержни с осью в точке О, то соотношение (8) выполнялось бы и для нецентрального удара. Но в случае нецентрального удара возникали бы ударные силы, действующие на стержни и в конечном счете на ось.
Соотношение (6) можно также записать в виде то = (М)с+ т1) ьз. (9) После завершения удара маятник будет совершать колебания. При этом максимальное отклонение от положения равновесия пусть будет определяться углом а. Если можно пренебречь потерями энергии за четверть периода, то потенциальная энергия маятника в момент остановки будет равна кинетической энергии маятника сразу после удара: — (1+ т1') а = Мьсй+ ™а (10) 2 где Ьс равно изменению высоты центра масс цилиндра при отклонении маятника на угол а, т. е.
йс = 1с (1 — соз и) = 1с 2 3! п' — ". 2 Аналогичная формула получается для изменения высоты центра масс пули й. 123 (12) а При малых отклонениях 2з)п — =а и (13) переходит в соот- 2 ношение, связывающее амплитудные значения скорости Й и от- клонения а. Из соотношения (9) с учетом (13) получим М! +~1 2 э= .— 2яп— т Т 2 (14) Если 1с«МРс, т. е. размеры цилиндра малы по сравнению с длиной нити, то 1= МРс. Прн этом различием между 1с и 1 в (12) можно пренебречь. Вместо (12) в таком случае получим 4Ф а (15) ~с Из (14) с учетом (15), пренебрегая различием между 1с и 1, по- лучим о= М+т г — . а 1 л2яп т 2 (16) Формула (16) является окончательной формулой, которая используется в данной работе для определения скорости пули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
