А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика) (1108542), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поскольку исследователя интересуют значения параметров объекта, свойственные,иевозмущенной системе «объект — среда», или, иначе говоря, значения параметров объекта в естественном состоянии, Рй должно быть наилучшим приближением именно этих значений параметров, а не тех, которые характеризуют объект в процессе измерения. Обозначим У оператор, описывающий гипотетический измерительный прибор, взаимодействующий при измерении с объектом и средой так же, как А, но дающий на выходе значения параметров объекта в естественном состоянии.
Поскольку на вход У поступает тот же сигнал / от объекта н среды, что и в схеме (29Л), то У/ — значения параметров объекта в естественном состоянйн. Оператор У моделирует то, что в экспериментальных исследованиях называется идеальным прибором. Из самой постановки проблемы ясно, что, .найдя оптимальное преобразование Р, мы в максимальной степени скомпенсируем искажающее влияние прибора А и шума ч. Следует особо подчеркнуть, что, как правило, прибор У физически не реализуем, однако его можно синтезировать на измернтельно-вычислительной системе, вычисляя оператор К.
Для определения оператора редукции необходима сквозная математическая модель, связывающая параметры объекта с $, т. е. модель взаимодействия в системе «объект — среда — прибое», модель измерительного прибора, взаимодействующего с объектом н средой, модели шума и т.д.
Для реализации вычисления оператора Л предполагается наличие вычислителя (ЭВМ), причем с инструментальной точки зрения измерительный прибор и вычислитель с должным математическим обеспечением, объединенные в измерительно-вычислительную систему (ИВС), можно трактовать как новый прибор со свойствами, максимально приближающимися к идеальному прибору К Здесь уместно отметить, что требования к измерительному прибору, входящему в состав ИВС, для оптимальной интерпретации измерений могут быть иными, чем когда он используется отдельно от ЭВМ.
Модель схемы измерения. Схема (29;1) должна быть дополнена сведениями о приборе: вид оператора А, модель шума ч. Хотя обычно измерительному прибору свойственны оба преобразования А1 и А!'+ч, мы будем их разделять для удобства математического описания и оператор А ассоциировать с собственно прибором. Характерные примеры приборов можно получить, рассмотрев эксперименты, в которых равенство (29.!) связывает распределение яркости излучения на поверхности объекта и его оптическое изображение, например, в микроскопе, истинный контур спектральной линии и наблюдаемый на спектографе, сигналы на входе н выходе электрического фильтра.
В этих случаях А„как правило, можно записать в виде интегрального оператора А((у)=)а(х — у)7(х)дх, уену. (29.4) х Функция а( ) (ядро А) называется еще аппаратной функцией прибора А. Если, к примеру, А — микроскоп, его аппаратную функцию можно интерпретировать как изображение точечного источника света единичной интенсивности.
Обычно аппаратная функция имеет вид плавной кривой с одним пиком (иногда несколькими). Чем меньше ширина пика аппаратной функции, тем лучше прибор различает два близких точечных источника. Минимальное расстояние между точечными источниками, при котором они еще различаются на выходе прибора, было выбрано Рэлеем как мера разрешающей способности. В реальных задачах, как уже было сказано, измерения обычно проводятся в дискретных точках уь 1=1, ..., и, а интеграл в (29.4) можно заменить приближенно какой-либо квадратурной формулой с т узлами, так что получается так называемое дискретное представление (29.3) равенства (29.2), в котором ац=а(х; — у7), 1=1, ..., и, =1,, т, В итоге оператор А представлен матрицей (ап)„'" в некотором естественном для эксперимента базисе.
Отметим также что на выходе ИВС мы получаем обычно конечномерный вектор значений как результат дискретных вычислений, так что искомый оператор Я также задается матрицей. Распространенной мерой разрешающей способности служит погрешность воспроизведения параметров объекта или различие между Я$ и У1. Довольно естественный, хотя и не единственный способ ее оценки — величина Е!1)гй — У1Р, где Š— символ вычисления математического ожидания или усреднения по реализа- 72 цням случайной величины ч, входящей в состав $. Так, выбранная оценка. погрешности позволяет найти решение, используя минимальную информацию о модели схемы измерения (29.1).
Для этого должны быть известны (задан) оператор А н корреляционный оператор Х шума т, определяемый равенством Е х=Ет(х, т), Ухы)1, (напомннм, что мы будем считать всегда, что Еч=О): Таким образом, заданную информацию о схеме измерения (29.1) мы назовем «моделью схемы измерения» н обозначим [А, Е1.
Если в )т'„выбран ортонормнрованный базис (е!), то оператор Е можно задать его матричными элементами о!!=(Хеь е!), 1, 1=1, ..., и. и Поскольку в таком случае и =~~, т!е!, т!=(т, е!), !=1, ..., л, ! 1 оп=Ет!' — средняя энергия !ьй координаты т (днсперсия), а оп=Ет!т; при !э"/ задает корреляционную связь между (-й н 1-й координатами, т характеризующую тенденцию совместного поведения»л ич! в среднем. Прн этом средняя энергия шума равна и « Е!!т!!»=Е~[ тз!=~', он — — 1гЕ н не зависит от выбора базиса. ! ! ! ! Отметим также очевидные свойства оператора Х (матрнцы ~~о!!1~): симметричность н неотрнцательность. Если в качестве базисных выбрать собственные векторы Х, то его матрица станет диагональной н корреляционные связи между координатами т в этом базисе исчезнут.
Такой базис носит специальное название базиса Карунена — Лоэва. Как уже отмечалось, модель [А, Ц характеризует минимальную информацию о схеме измерения (29.1), позволяющую решить задачу редукции. В общем случае принципы построения оператора )т зависят от конкретной задачи редукции и от модели схемы измерений. Рассмотрим другие модели.
Если в (29.1) ) можно понимать как случайный вектор со значениями в Я, то будем считать, что кроме А и Х задан корреляционный оператор Р вектора 1, Рх=Е((х, 1), Ух~ )т . В этом случае будем говорить, что задана модель [А, Р, Ц схемы измерений (29.1). Если же сверх того известно еще н среднее значение Е[=[м то будем говорить, что задана модель [А, [м Р, Х1, но здесь Р— ковариацнонный оператор 1, нлн, что то же самое, корреляционный оператор вектора ! — 1а.
Несмещенная редукция измерений. В задаче редукции намерений требуется определить оператор Я так, чтобы 1«$ было максимально точной версией У[. Определим погрешность редукции равенством лЯ, 0)=зпрЕ~)Яф — У~~~'=зирЕ)~ЯА — О)[+Ят(~»= / = зпр Е ~~ДА — 0) Я'+ 1г йМ', (29.5) где, как нетрудно убедиться, Ей!ЬР=1г)«Ы*. (Оператор Р"', называемый сопряженным с Я, определяется равенством (!гх, у) = = (х, Я'у). В ортонормировамном базисе ему соответствует транспортированная матрица.) Поскольку в данном случае произвольный вектор Я, условие и(!т, У)(оо эквивалентно равенству )«А У. Таким образом, задача .несмещенной редукции формулируется так: для данных операторов А, Е и У требуется определить Я из условия ш!п(1г Я 2 Я«~К ЯА=(!) (29.6) что буквально означает: найти оператор Я такой, для которого 1г Я Х )г ' достигает минимума при дополнительном условии ИА= У. Для так определенного )! погрешность редукции зар Е!٠— УЛР=Е~!!ЬР=1г РЕЯ' (29.7) минимальна и тем самым редукция дает самое точное решение задачи интерпретации в классе линейных решений.
Название «несмещенная» связано со следующим свойством: ЕЮ~=В(йА!+Кт) =У1, !е=Я,„, означающим, что в среднем редукция )г$ совпадает с У!. Будем говорить, что задача редукции (29.6) сформулирована для модели [А, Ц схемы измерений (29.1). Для решения задачи (29.6) следует выяснить условия разрешимости уравнения )гА= У. (29.8) удобнее всего это сделать, используя эффективную технику псевдообращения. Операторное уравнение (29.8) разрешимо, если и только если У(! — А-А);=0 (оператор (матрица) А = 1ппА' (АА'+ -~-м!) '=1пп (А'А+в!) 'А' называется псевдообратным к А). Всякое его решение можно представить в виде )«=УА +Я(! — АА ) (29.9) при некотором операторе Я. Слагаемые в (29.9) ортогональны в смысле скалярного произведения операторов (матриц) (А, В),=1гАВ. (29.10) Решение )«=УА- имеет .минимальную норму ЦЩ=~(Я, Я)ь Теорема.
Задача редукции (29.6) для модели 1А, Е] ймеет решение толда и только тогда, когда У = а„.„=(У: и(! — А-А)=0). (29.11) Если корреляционный оператор Е невырожден, то прн условии (29.11) задача имеет единственное решение Я=У(Х ы'А) Х"~=У(А'Х 'А) А'Х '. (29.12) Шум редукции 1т$ — У(=14ч н имеет среднюю энергию Е [٠— УуЦ~= Е ~! 3Ь 1[*= 1г У(А'Е 'А) У'. (29.13) Доказательство. Условие (29.11) необходимо н достаточно для разрешения уравнения (29.8). Поскольку ему эквнвалентно Я Е~~з(Х-паА) =У, то КЕ'~~=У(Г '~А) +Х(! — Е '~А(Х '~~А) ). Отсюда, учитывая, что (Е '~'А(Х наА) )'=Е '"А(Х и'А), У(Е-паА)-[1 — Е-'~'А(Е-'~'А)-[г= О, получаем й(а У) =(ггЫ*=1гУ(Е-"А)-[У(Е-"А)-Г+ + (г Х (1 — Х "~А (~ '~А) ~ Х' ~ (г У (Х. пзА) [У(ХО~А) 1' = =1гУ(А'Х 'А) У". (29.14) Здесь мы воспользовались следующими свойствами псевдообратного оператора: А'АА-=А", (А*А)-=А-(А') —, а также тем, что АА- н 1 — АА- — ортогональные проекторы в Я„.
Очевидно, что минимум в (29.14) достигается на единственном Й (29.12) н средняя энергия шума редукции равна (29.13). По аналогии с формулой (29.1) вектор )с$=РА1+Рт нлн выходной сигнал прнбора йА=У (равный значениям параметров объекта), на вход которого поступил сигнал 1. Условие разрешимости УанЮ~л,ю (необходимое н достаточное) задачи несмещенной редукции означает, что всякий раз, когда А(=О, то н У(=О, что совершенно прозрачно: если А( О, то в измерении $ нет информации о [, и о У[, если У~М О.
Будем считать, что в ИВС полностью реализуется оператор Р (29.12), который в свою очередь определяется моделью [А, Х1, и это последнее обозначение также относится к ИВС. Для того чтобы проводить сравнение ИВС (сравненне моделей схемы измерения), введем определения. 1) Будем говорить, что ИВС как измерительный прибор определяется функцией Ь(Р, У), У~йб~,~, ь Ее область определения йб~л,ю задает возможности синтеза приборов на ИВС [А, Х1, сама она определяет погрешность измерения на ИВС.
2) ИВС [А, Ц равномерно не хуже ИВС [Х, Е1 нлн ~[А, Ц( ([Х, Е), если: а) Ур, -~ ~У~д, хь б) Щ 0)(Ь(й, У), Уее Тьг' х~. Если [А, Е]([Х, Х] и [Х, Й]([А, Е], то ИВС эквивалентны, [А, Е] [Х, Х]. Таким образом, в любой ситуации, если [А, Е]([Х, Х], то ИВС [А, Е] предпочтительнее [А, Е], поскольку имеет более широкие возможности редукции и ие большую энергию шума. Как видно, качество ИВС зависит от входящего в нее прибора А, однако эта зависимость не столь очевидна, поскольку не обязательно лучшему прибору А отвечает ИВС более высокого качества. В частности, принято считать, что хороший прибор — это тот, который ~не искажает сигнал и не вносит погрешности.
Таким образом, оценка качества прибора, используемого непосредственно, может быть охарактеризована величиной Е1$ — 1Ц*=ЕЦ(А — 1)1+чЦ'= Ц(А — 1) Я'+1гХ. При фиксированном корреляционном операторе Х результат лучше всего при А=1 (это соответствует 6-образной аппаратной функции). В качестве примера рассмотрим случай двух измерений и запишем матрицу А в виде Число Ь характеризует «неидеальность» прибора: при Ь=О, А=1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
