Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если мы измеряем две величины и ищем их произведение, то погрешности в исходных двух величинах «распространяются» и образуют погрешность в их произведении. Эта погрешность дается следующим правилом: Погрешность в произведении Если величины х и у измерены с малыми относительными погрешностями бх/(х„,„,( и бу/(унана( и если измеренные величины х и у используются для вычисления произведения д = ху, то относительная погрешность а равна суламе относительных погрешностей х и у: бу ах Ьу ( унана ( ! хнанл ! ) Унанл! (2.27) Мы использовали знак приближенного равенства в (2.27), поскольку, как и в случае правила вычисления погрешности для разности, мы позже заменим (2.27) более точным правилом. Следует подчеркнуть также две другие особенности этого правила.
Во-первых, при выводе выражения (2.27) предполагалось, что относительные погрешности х и у должны быть достаточно малы, чтобы их произведением можно было пренебречь. На практике это условие почти всегда выполняется, так что мы всегда будем его предполагать. Тем не менее следует помнить, что если относительные погрешности ненамного меньше единицы, то правило (2.27) неприменимо.
Во-вторых, даже если х и у имеют различную размерность„ то в уравнение (2.27) входят безразмерные величины, поскольку все относительные погрешности безразмерны. В физике мы постоянно перемножаем числа, поэтому очевидно, что правило (2.27) для нахождения погрешности в произведении играет важную роль в теории ошибок. В данный момент наша главная цель — подчеркнуть, что погрешность Как приводить и использовать погрешности любого произведения д = ку наиболее просто выражается через относительные погрешности выражением типа (2.27). Задачи Таблица 2.5.
Момент импульса (в кг. м~/с) Нечельныа С Кане ыыа Се Начальный С Кенечныи Сг 2,7-'-0,6 8,0т! 16,5т! 3,0~0,3 7,4~0,5 14,3~1 25~2 32~2 37~2 24~2 31т2 41~2 Напоминание: звездочка у номера задачи означает, что задача ре. шается илн ее ответ приводится в разделе «Ответы» в конце книги. 2.1 (равд 2.1). В гл, 1 плотник представил результаты своего изме.
ренин высоты дверного проема в виде утвержения„ что его наилучшая оценка высоты равна 210 см и что, по его убеждению, высота может составлять величину, лежащую где-то между 205 н 2!5 см. Перепишите этот результат в стандартной форме х„,нл ~ бх. Проделайте то же для измерений, отраженных соотношениями (1.1) и (1.2) и (1.4). *2.2 (равд. 2.2).
Перепишите следующие ответы в наиболее наглядном виде с нужным числом значащих цифр: а) измеренная высота = 5.03 ~ 0,04329 м; б) измеренное времн = 19,5432 ~! с; в) измеренный заряд = — 3,21 10 —" ~ 2,67 10 —" Кл; г) измеренная длина волны = 0,000000563 т 0,00000007 ы; д) измеренный импульс = 3,267 10'т 42 г см/с. *2.3 (равд.
2.3). а. Студент измеряет плотность жидкости пять раз и получает результаты (в г)смл); 1,8; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8. Что вы могли бы предположить о наилучшей оценке и погрешности, основываясь на его намерениях? б. Ему сказали, что принятое значение равно 1,85 г)см'. Каково различие (между его панлушпей оценкой и принятым значением)? Считаете ли вы его значимым? 2.4 (равд. 2.5). Время десяти оборотов диска проигрывателя измеряется путем фиксирования моментов времени начала и конца вращения при помощи второсортных ручных часов с последующим вычитанием одной величины из другой. Если время начала и время конца вращения имеют погрешность по з81 с, то какова погрешность времени десяти оборотов? *2.5 (равд. 26).
В эксперименте по проверке закона сохранения момента импульса студент получил для начального и конечного моментов импульса (С и С') вращающейся системы результаты, представленные в табл. 2.5. Добавьте к табл. 25 дополнительный столбец для разности С вЂ” Г и ее погрешности. Согласуются ли результаты студента с законом сохранения момента импульса? 2.6 (равд. 2.5).
Экспериментатор измеряет массы М н т автомобиля и прицепа. Он приводит сван результаты в стандартной форме М„,л ~ бМ н т„,„, -~- бт. Какова будет его наилучшая оценка для полной массы Л(+ т? Рассматривая наибольшее и наименьшее вероятные значения полной массы, покажите, что его оценка погрешности полной массы равна. 46 Глава 2 Таблица 26. Змачения высоты и скорости Л, и ! жв,ов) ац мпс' в, м (жэ,оз) аб мауса 7~3 17ш3 25ш3 38ш4 0,4 0,8 1,4 2,0 2,6 3,4 3,8 45шб 62жб 72~6 Таблица 2.7. Амплитуда н период колебаний маятника Аааагмуда А, град Перасд Г, с Ачааатуда А град Пераад Г, с ! 40~4 53~4 ! 67шб 1,932ш0,005 1,94ш0,0! 1,96~0,01 5~2 17ж2 25~2 2,01~0,01 2,04~0,0! 2,12~0,02 сумме бгИ н бш. Г!рнводпте свои результаты последовательно и аргументированно, а не просто записывайте ответ.
2.7 (равд. 2.6), Используи данные задачи 2.5, постройте график зависимости конечного момента импульса б' от начального 6 для описанного там эксперимента. Нарисуйте вертикальные и горизонтальные черточки ошибок. (Как н при составления всех графиков, отчетливо разметьте вапш оси, указыван названия величин и единицы измерения. Используйте соответствующую миллиметровую бумагу. Выберите лаасштаб таким образов, чтобы граф;к заполнял разумную долю площади бумаги и включал начало координат ) На какую кривую, по-вашему, будут ложиться все точки? Лежат ли точки на ожидаемой крнвоя (с учетом экспериментальных погрепшостей)? "2.8 (равд.
2.7). Если камень бросить вверх со скоростью и, он должен подиятьсн до высоты й, определяемой уравнением ра = 2яй. В част. ноет~, величина па дол>хна быть пропорциональна )г, Чтобы проверить это, студент измеряет о' и и для семи различных бросков и получает результаты, приведенные в табл. 2.6. а, Постройте график зависвмости р' от Ь, включая вертикальные н горизонтальные черточки ошибок. (Как обычно, разметьте оси ко. ординат, использ)йте миллиметровую бумагу и разуино выберите масштаб.) Согласуется лн паш график с предсказанием, что оа Д? б Наклон вашего графика должен быть равен 2р.
Чтобы найти наклон, проведите наилучшую, по вашему мнению, прямую через начало координат и все остальные точки и затем определите ее наклон. Чтобы найти погрешность в определении наклона, проведите наиболее крутую и наименее крутую прямые, которые еше разумно совпадают с точками. Наклоны этих прямых дадут наибольшее и наименьшее вероятные значения наклона. Согласуются ли ваши результаты с принятым значением 28 = 19,6 и/са? *2.9 (равд. 2 6).
а. В эксперименте с математическим маятником студент решает проверить, действительно ли период Т ве зависит от амплитуды А (определепной как наибольший угол, на который отклоняется маятник от вертикали во время его колебаний). Он получает результаты, представленные в табл. 2.7. Постро(1те график зависимости Т от А. Как приводить н яспользовать погрешности Табляпа 2.8. Начальные и кавечпые скорости Первое испытание Второе испытание 14,0 18,0 19,0 19,6 Обратите внимание па выбор масштаба. Если почувствуете затруднения, постройте два графика; один, включаюпгий начало координат А = О, Т = О, и второй, иа котором показаны только значения Т между 1,9 и 2,2 с.
Должен ли студент сделать выпод, что период не зависит от амплитуды? б, Рассмотритс, как изменились бы результаты «а», если бы все измеренные значения Т имели погрешность ~0,3 с. 2.10 (равд 2.7). Рассчитаите погрешности в процентах для пяти измерений, првведенных н задаче 2.2 (не забудьте округлить до разумного числа значащих цифр). 2.11 (равд.
2.7). С помощью деревянной линейки можно произвести отсчет с точностью до миллиметра. а с помощью измеритсльного микро. скопа — до 0,1 мм. Предположим, вы хотите измерить длину 2 см с точностью 1%. Можно ли это сделать с помощью деревянной линейки? А с помощью микроскопа? *2.12 (равд. 2.7). Чтобы рассчитать ускорение тележки, студент измеряет ее начальную и конечную скорости о~ и и; и вычисляет разность (и? — о;). Его данные для двух независимых испытаний (в с»Нс) приведены в табл. 2 8. Все четыре результата измерения характеризуются погрешностью 1 « . а.
Вычислите абсолютные погрешности всех четырех измерений, найдите разность (пг — и,) и се погрешность для каждого испытания. б. Вычислите погрешность в процентах для каждого нз двух значеннй (и! — и,). (Ваши ответы в этом задании, особенно в случае второго испытания, иллюстрируют отрицательные последствия методики измерения малых чисел с помощью разности двух гораздо больших чисел.) 2.13 (равд.
2.8). а. Калькулитор студента показывает результат 123,123, Если студент решил, что это число в дейстиительности имеет только три значащие цифры, оцените, какоиы его абсолютная и относительная погрешности. б. Сделайте то же для числа 0,123!23. в. Сделайгс то же для числа 321,321. г. Лежит ли относительная погрешность в иитернале, ожидаемом для случая трех значащих цифр? *2.14 (равд. 29). а. Студент измеряет дье величины а и Ь и получает а = 11,5*0,2 ем и Ь = 25,4 ~ 0,2 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
