Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Дайсоном, Эддингтоном и Дэвидсоном. Их наилучшая оценка составила га = 2", и они нашли, что с вероятностью 95 Ть отклонение лелсит в пределах от 1,7" до 2,3Я '). Очевидно, этот результат оказался в соответствии с общей теорией относительности и противоречил любым более ранним предсказаниям. Следовательно, он убедительно подтвердил эйнштейновскую обтцую теорию относительности.
') Это упрощенное рассмотрение основано на оригинальной статье Дайсона, Зддннгтона в Дэвидсона (Рйй1озор(пса! Тгапэаснопэ о1 Ше йоуа( Беме!у, 229А, 291 (1920)), я перевел вероятную ошибку, приведенную в оригинале, в 95 с)э-ный довернтельнын интервал. Точный смысл такого доверительного интервала будет установлен в гл. 5. Глава 1 18 В течение какого-то времени этот результат считался спорным. Многие предполагали, что ошибки сильно недооценены и, следовательно, эксперимент неубедителен. Последующие эксперименты подтвердили предсказание Эйнштейна и оправдали заключение Дайсона, Эддингтона и Дэвидсона. Важный момент состоит в том, что решение всего вопроса зависело от способности экспериментатора достоверно оценить все ошибки и убедить других, что это сделано правильно.
Студент в лаборатории вводного курса физики обычно не будет в состоянии проводить решающие испытания новых теорий. С другой стороны, многие эксперименты в лаборатории вводного курса физики задуманы как тесты существующих физических теорий. Например, теория тяготения Ньютона предсказывает, что тела падают с постоянным ускорением гг !при соответствующих условиях), и студент может проводить. эксперименты по проверке правильности этого предсказания.
С первого взгляда такой тип эксперимента может показаться искусственным и бессодержательным, поскольку эти теории„ очевидно, были проверены много раз со значительно большей точностью, чем это возможно в учебной лаборатории. Тем не менее если студент понимает решающую роль теории ошибок и принимает вызов по выполнению наиболее точных проверок, возможных с имеющимся оборудованием, то такие эксперименты могут быть интересными и поучительными упражнениями. 1.5. Оценка погрешностей при считывании со шкалы Итак, мы рассмотрели несколько примеров, которые иллюстрируют, почему каждое измерение содержит погрешности и почему важно знать их величину.
Но мы еще не обсуждали, как фактически можно оценить величину ошибки. На практике такая оценка может быть довольно сложна; она и составляет главный предмет данной книги. К счастью, для ряда простых измерений легко с приемлемой точностью оценить погрешность часто на основе лишь здравого смысла. Здесь и в равд. 1.6 мы рассмотрим два примера таких простых измерений. Понимание этих примеров позволитстуденту приступить к использованию теории ошибок в своих экспериментах и послужит иам основой для дальнейшего изложения. Наш первый пример — измерение с использованием маркированной шкалы, такой, как у линейки на рис.
1.1 или у вольтметра на рис. 1.2: Чтобы измерить длину карандаша на рис. 1.1, мы должны сначала совместить торец карандаша с нулем линейки и затем определить, где окажется его острие 19 Предварительное знакомство с теорией ошибок дуиллгхлгетрьг 0 10 Ы 00 40 00 Рис. 1.!. Измерение длины линейкой. 9пльтьг Рис, 1,и.
Считывание со шкалы вольтметра. па шкале линейки. Чтобы измерить напряжение согласно рис. 1.2, мы должны определить то место на шкале вольтметра, куда указывает стрелка. Если допустить, что правильность показаний линейки и вольтметра гарантируется '), то главная задача в каждом из этих двух случаев — определить, где располагается определенная точка по отношению к меткам шкалы. (Конечно, если существует вероятность того, что правильность показаний линейки или вольтметра не гарантируется, то мы должны будем это учесть.) Метки на линейке на рис. 1.1 довольно близки друг к другу (с интервалом в 1 мм). Экспериментатор вполне разумно мог бы решить, что искомая длина, без сомнения, ближе к 36 мм, чем к 35 илн 37 мм, и что более точнын отсчет невозможен. Следовательно, он мог бы сформулировать свой вывод как наилучшая оценка длины = 36 мм, вероятный интервал 35,5 — 36,5 мм (1.1) ~) В нашей стране такая гарантия реализуется системой поверочных взмерений на основе соответствующих ГОСТов.
Эта система состоит в поверке данного прибора по контрольному, который в свою очередь позе. ряется по еще более точным приборам и т, д., пока не будет обеспечено сравнение с эталоном намерения данной величины, Однако учебные н демонстрапионные приборы, как правило, не поверяются, т.е. правильность показаний таких приборов не гарантируется, —.. Прим. перев. 20 Глава ! и сказал бы, что он измерил длину до ближайшего миллиметрового деления.
Такой тип заключения — что величина лежит ближе к данной метке, чем к любой из соседних,— является довольно общим. По этой причине многие ученые следуют соглашению, в соответствии с которым утверждение 1= 36 мм без дополнительных пояснений означает, что 1 ближе к 36, чем к 35 илн 37 мм, т. е. 1=36 мм 35,5 мм(1-=36,5 мм. означает Процесс определения положений между метками шкалы называется интерполяцией. Этот важный навык совершенствуется с практикой. Другие наблюдатели могли бы не согласиться с оценками точности, даваемыми соотношениями (1.1) и (1.2). В частности, кто-то мог бы решить, что можно прибегнуть к интерполяции при измерении длины на рис. 1.1 и измерить ее с мень- ') В кармаииых калькуляторах используется форма представлеяия чисел с фиксироваяиым и большим числом разрядов.— Прим.
иерее. Подобным же образом запись типа х = 1,27 без указания какой-либо погрешности в соответствии с соглашением означает, что х лежит между 1,265 и 1,275. В данной книге мы не будем следовать этому соглашению и всегда будем указывать наши погрешности явным образом. Тем не менее для студента важно понимать это соглашение и знать, что оно используется по отношению к любому числу, приведенному без погрешности. Особенно важно знать об этом соглашении в наш век карманных калькуляторов, которые часто показывают много цифр '). Если студент слепо перепишет со своего калькулятора, скажем, число 123,456 без какого-либо объяснения, то человек, читающий это число, обязан принять, что число определенно верно до шести значащих цифр, а это представляется весьма невероятным.
Метки на шкале вольтметра, показанного на рис. 1.2, расположены гораздо реже, чем на линейке. В этом случае большинство наблюдателей согласились бы, что можно сделать больше, чем просто идентифицировать метку, к которой стрелка ближе всего Поскольку промежутки между метками больше, можно уверенно оценить, в каком месте между метками находится стрелка. Таким образом, разумное заключение об измеренном напряжении может иметь вид наилучшая оценка напряжения=5,3В, вероятный интервал 5,2 — 5,4 В. (1.2) Предварительное знакомство с теорией опзнбок 21 шей погрешностью, чем приведено в соотношении (1.1).
Тем не менее лишь меньшинство стало бы отрицать, что соотношения (1.1) и (1.2) разумно оценивают соответствующие величины и их вероятные погрешности. Таким образом, мы видим, что приближенная оценка погрешностей представляет довольно легкую задачу в случае, когда единственной проблемой является определение положения точки на маркированной шкале. !.6. Оценка погрешностей в случае многократных измерений Многие измерения содержат погрешности, которые значительно труднее оценить, чем ошибки, связанные с определением положения точки на шкале. Например, когда мы измеряем временной интервал с помощью секундомера, главным источником погрешностей является не считывание с циферблата, а наше собственное неизвестное время реакции при запуске и остановке секундомера.
Такого рода погрешности иногда можно надежно оценить, если повторить измерение несколько раз. Предположим, например, что мы измеряем период колебаний математического маятника один раз и получаем в результате 2,3 с. Из одного измерения нельзя много сказать об экспериментальной погрешности.
Но если мы повторим измерение и получим 2,4 с, то можно немедленно сказать, что погрешность, вероятно, порядка 0,1 с. Если последовательность четырех измерений дает результаты (в секундах) 2,3; 2,4; 2,5; 2,4, (1.3) то мы можем сделать довольно правдоподобные оценки. Во-первых, естественно предположить, что наилучшей оценкой периода будет среднее значение 2,4 с'). Во-вторых, представляется довольно разумным предположение, что правильное значение для периода лежит где-то между наименьшей величиной 2,3 и наибольшей 2,5. Таким образом, мы могли бы вполне резонно заключить, что наилучшая оценка = среднее = 2,4 с, вероятный интервал 2,3 — 2,5 с.
(1.4) В случаях, когда мы можем повторить одно и то же измерение несколько раз, разброс в измеренных значениях дает ') Мы показкем в гл. б, что наилучшая опенка, основанная на нсскольких намерениях какой-то величины, есть почти всегда среднее результатов намерений. Глава 1 ценное указание о погрешности в наших измерениях. В гл. 4 и 5 мы обсудим статистические методы обработки результатов таких многократных измерений. При соответствующих условиях эти статистические методы дают более правильную оценку погрешности, чем соотношение (1.4), полученное только на основе здравого смысла. Правильная статистическая обработка обладает также тем преимушеством, что дает объективную величину для погрешности, не зависящую от мнения индивидуального наблюдателя '). Тем не менее оценка (1.4) дает простое и реалистическое заключение, полученное на основании четырех измерений (1.3).
На результаты многократных измерений, такие, как (1.3), не всегда можно опираться для обнаружения погрешности. Во-первых, мы должны быть уверены, что измеряемая величина действительно есть та же самая величина в каждом случае. Предположим, например, что мы измеряем разрывное усилие для двух предположительно идентичных проволок, подвергая их разрыву (процедуре, которую мы не можем выполнить более чем один раз для каждой проволоки). В случае получения двух различных ответов эта разница может указывать на то, что наши измерения выполнены с погрешностью или что две проволоки в действительности не идентичны. Сама по себе разница между двумя ответами ничего не говорит о надежности наших измерений.
Даже в случае, когда мы можем быть уверены, что измеряем каждый раз одну и ту же величину, многократные измерения не всегда укажут на погрешность. Например, предположим, что секундомер, используемый при получении результатов (1.3), имел ход на 5$ быстрее правильного. В этом случае все времена, получаемые с его помощью, будут на 5е1о больше, и никакое количество повторений (с тем же секундомером) не обнаружит этого дефекта. Погрешности такого рода, которые оказывают одно н то же влияние на все измерения, называются систематическилш ошибками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
