Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Эти ошибки трудно обнаружить, как мы увидим в гл. 4. В нашем примере выходом из положения могла быть поверка данного секундомера относительно более надежного. В общем случае должно быть ясно, что если у кого-то имеются основания сомневаться в правильности показаний какого-либо измерительного прибора (секундомера, рулетки, вольтметра), он должен попы- ') Правильная статиствческая обработка обычно дает также меньшую погрешность, чем полный интервал между наименьшим и ваибольшим на. блюдаемыми значениями. В самом деле, по четырем результатам в (1.3) мы заключили, что период, «вероятно», лежит где-то между 2,3 и 2,3 с, Статистические методы, изложенные в гл.
4 и б, позволят нам утвер. ждать, что с веРоап!остью 70 7з он ленсит в меньшем интсРвале: от 2,33 до 2,44 с. Предварительиое аиакомство с теорией ошибок 23 таться поверить его относительно прибора, о котором известно, что его показания более надежны '). Примеры, обсуждаемые в этом н предыдущем разделах, показывают, что в некогорых случаях экспериментальные погрешности могут быть легко оценены.
С другой стороны, имеется много измерений, для которых оценить ошибки ие тпк легко. В конце концов, мы также хотим получить более точные значения для погрешностей, чем те, которые могут нам дать обсуждаемые выше простые оценки. Эта тема будет занимать нас в последующих главах, начиная с гл. 3. В гл.
2 временно предполагается, что нам известны методы оценки погрешности для всех величин, представляющих интерес, так что мы можем обсуждать, как лучше записывать погрешности и как их использовать при получении экспериментальных выводов. ') См. примечаиие псрсводчика иа с. 19. — Прим. перев. Глава 2 Как приводить и использовать погрешности Итак, у нас имеются некоторые представления о том, насколько важны экспериментальные погрешности, каковы причины их появления. Мы также видели, как можно их оценить для ряда простых ситуаций. В этой главе будут представлены некоторые основные соображения и правила теории ошибок и приведены примеры их использования в нескольких типичных экспериментах физической лаборатории.
Наша главная цель— познакомить вас с основным словарем теории ошибок и с его применением в учебной лаборатории. После этого, начиная с гл. 3, мы будем готовы перейти к изучению реальной оценки погрешностей. В разд. 2.1 — 2.3 определяются несколько основных положений теории ошибок и обсуждаются некоторые общие правила представления погрешностей. В равд. 2.4 — 2.6 мы обсудим, как эти определения могли бы быть использованы в некоторых типичных экспериментах в учебной физической лаборатории. Наконец, в равд. 2.7 — 2.9 вводится еще одно основное определение — относительная погрешность — и обсчжаается ее значение.
2.1. Наилучшая оценка ~ погрешность Мы видели, что корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины и интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Например, результат измерения периодов, обсуждаемый в разд. 1.6, был представлен как наилучшая оценка времени = 2,4 с, вероятный интервал 2,3 — 2,5 с. (2.1) В этом случае наилучшая оценка 2,4 с лежит в середине оце.ненного интервала вероятных значений от 2,3 до 2,5 с, так же, Каи приводить и использовать погрешиости как это было во всех наших примерах. Такое положение, очевидно, очень естественно и относится почти ко всем измерениям. Оно позволяет выразить результаты измерений в наиболее компактном виде, Например, измерение времени, зафиксированное в (2.1), обычно выражают следующим образом; измеренное значение времени = 2,4 -Е 0,1 с.
(2.2) Это вь>ражение точно эквивалентно двум в (2.1). В общем случае результат любого измерения величины х приводится как Это утверждение означает, что, во-первых, наилучшая оценка экспериментатора для измеряемой величины есть число х„,„, и, во.вторых, он до определенной степени уверен, что эта величина лежит где-то между х„„,— бх и х„,„, + бх. Число бх называется погрешностью или ошибкой в измерении х.
Погрешность бх принято считать положительной величиной, так что х„,„, + бх есть всегда наибольшее вероятное значение измеряемой величины и х..., — бх — наименьшее. Мы умышленно оставили смысл понятия интервала от хилла — б» до халил + б» в какой-то степени неопределенным. В некоторых измерениях его можно определить более точно.
В случае простого измерения, подобного определению высоты дверного проема„мы можем легко указать интервал от »лллл — бх до хл ил+ бх, внутри которого, как мы абсолютно уверены, лежит измеряемая величина. К сожалению, для большинства научных измерений очень затруднительно сделать такое утверждение. В частности, если мы хотим быть вполне уверены в том, что измеряемая величина лежит между х„,„,— бх и х„,„, + бх, обычно необходимо выбрать для бх такое значение, которое слишком велико, чтобы представлять практический интерес.
Чтобы избежать этого, мы можем иногда выбирать такое значение бх, для которого вероятность того, что действительное значение лежит между х„,„,— бх и халил + бх, будет равна, например, 70'/о. Однако этого, конечно нельзя сделать без детального знания статистических законов, которым подчиняются процессы измерения. Мы вернемся к этому вопросу в гл.
4, а пока довольствуемся определением погрешности бх, согласно которому мы «до некоторой степени» уверены в том, что измеряемая величина лежит где-то между х„„— бх и х„,„, + бх. Глава 2 2.2. Значащие цифры Следует отметить несколько основных правил записи погрешностей. Во-первых, поскольку величина бх служит оценкой погрешности, ее, очевидно, нельзя приводить с очень большой точностью. Если мы измеряем ускорение силы тяжести д, было бы абсурдом представлять результат, подобно следующему: (измеренное значение д)=9,82 ~ 0,02385 м/ст. (2.4) Невероятно, чтобы погрешность в измерении могла быть известна до четырех значащих цифр. В случае высокоточных измерений иногда приводятся погрешности с двумя значащими цифрами, но для учебной лаборатории мы можем сформулировать следующее правило '): (2.5) Таким образом, если некоторый расчет дает для погрешности 6д = 0,02385 м/ст, то это значение должно быть округлено до бд = 0,02 м/с', и вывод (2.4) следует переписать как (измеренное значение д) =9,82 ~ 0,02 м/ст.
(2.6) Важное практическое следствие этого правила состоит в том, что многие расчеты ошибок можно выполнить в уме, без помощи калькулятора или даже карандаша и бумаги. Есть только одно важное исключение из правила (2.5). Если первая цифра в погрешности бх есть 1, то, возможно, лучше сохранить две значащие цифры в бх. Например, предположим, что некоторый расчет дал для погрешности 6х = 0,14. Округлить это значение до бх = О,! — значит на 40 7е уменьшить ошибку; так что более правильным было бы сохранить две цифры и привести бх = 0,14. Тот же аргумент, вероятно, можно было бы использовать, если первая цифра есть 2, но уже определенно нельзя, если она больше. Когда погрешность в измерении рассчитана, необходимо проанализировать, какие цифры в измеренной величине являются значащими.
Утверждение типа измеренная скорость = 6051,78 -~- 30 м/с (2.7) ') Лля удобства ссылок на такие правила онн внлючены в нумерованную последовательность соотношений неаавнснмо от того, содержат лн онв уравнения. 27 Как приводить и использовать погрешиости очевидно нелепо. Погрешность 30 означает, что цифра 5 на третьем месте от начала числа 6051,78 могла быть в действительности равна 2 или 8. Ясно, что последующие цифры 1,7 и 8 вовсе не имеют значения и должны быть округлены.
Таким образом, корректная запись (2.7) есть измеренная скорость=6050 ~ 30 м/с. Ясно, что общее правило выражается следующим образом: (2.8) Правило приведения результатов Последняя значащая цифра в любом приводимом результате обычно должна быть того же порядка величины (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность. (2.9) Если же ошибка равна 3, то тот же результат следует представить как 93 ~ 3, а если ошибка равна 30, то как 90 ~ 30. Однако используемые в расчетах числа должны, как правило, еодержать на одну значащую цифру больше, чем это оправдано.
Это уменьшит неточности, возникающие при округлении чисел. В конце расчета окончательный ответ следует округлить и избавиться от этой добавочной (и незначащей) цифры '). Заметим, что погрешность в любой измеренной величине имеет ту же размерность, что и сама измеренная величина. Следовательно, будет понятнее и более экономно писать единицы измерения (м/сз, смя и т. д.) после результата и погрешности, как в выражениях (2.6) и (2.8). Подобным же образом, если измеренное число настолько велико или мало, что оно ') Имеется еще адно небольшое исключение из правила 12.9): если первая цифра в погрешности мала (! или 2), то может бмть более правильным сохранить одну дополвительвую цифру в конечном результате. Например, такая запись, как измеренная длина = 27,б ~ 1 см, вполие приемлема, поскольку, как можно показатгч ее округление до 28 ~ ! см озиачало бы потерю ииформзции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
