Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Например, результат 92,81 с погрешностью 0,3 должен быть округлен до 92,8 ~ 0,3. 28 Глава 2 требует «научной записи» (т. е. использования формы 3 10а вместо 3000), то проще и нагляднее приводить результат и погрешность в одинаковом виде. Например, результат измеренный заряд =(1,61 ~ 0,05) 10 Кл гораздо проще прочитать и понять в такой форме записи, чем в виде измеренный заряд = 1,61 ° 10 ~ 5 !О Кл. 2.3. Различие Прежде чем обратиться к вопросу о том, как использовать ошибки в экспериментальных отчетах, необходимо ввести н определить несколько важных терминов. Во-первых, если два измерения одной и той же величины различаются, то мы будем говорить, что между ними имеется различие. Численно определим различие между двумя измерениями как их разноста: различие= разность между двумя измеренными значениями одной и той же величины.
(2. 1О) Важно иметь в виду, что различие может быть значимым или незначимым. Вели два студента измеряют одно и то же сопротивление и получают результаты 40~5 Ом 42~ 3 Ом, 45~ 1 Ом, то оказалось бы, что два измерения явно расходятся, и различие в 1О Ом было бы значимым. В этом случае требуется ряд тщательных проверок, чгобы обнаружить, какой из результатов является неверным. В учебной лаборатории часто измеряют величины (такие, как скорость света г илн заряд электрона е), которые прежде много раз тщательно измерялись и для которых очень точное то различие в 2 Ом меньше, чем погрешности их результатов, так что два эти измерения, очевидно, согласуются.
В этом случае мы бы сказали, что различие является незначимылп С другой стороны, если бы два результата были 35+- 2 Ом Как приводить и использовать погрешности принятое значение известно и опубликовано в учебниках. Это принятое значение, конечно, не является абсолютно точным; оно представляет собой результат измерений и, подобно всем экспериментальным результатам, обладает некоторой погрешностью. Тем не менее в большинстве случаев принятое значение намного точнее того, которое студент может получить сам. Например, принятое значение величины скорости света сесть (принятое значение с) = 299792 458 -~- 1 м/с. 12.11) Как ожидалось, этот результат имеет погрешность, но она исключительно мала по стандартам большинства учебных лабораторий '). Хотя имеется много экспериментов, в которых измеряют величины, принятые значения которых известны, тем не менее лишь в небольшом числе случаев известен «истинный ответа ').
Фактически истинное значение измеряемой величины никогда не может быть точно известно, и его в действительности трудно определить. Однако иногда полезно обсуждать разницу между измеренным значением и соответствующим истинным значением, и некоторые авторы называют эту разницу истинной ошибкой. 2.4. Сравнение измеренного и принятого значений Мало смысла в выполнении эксперимента, если из него не делается какого-либо вывода, Лишь очень небольшое число экспериментов имеет целью главным образом качественный результат — наблюдение интерференционной картины на поверхности кюветы с водой или наблюдение цвета светового луча, прошедшего через некоторую оптическую систему,— в то время как огромное большинство экспериментов приводит к количественным выводам, т.
е, к утверждению численных результатов. Поэтому важно осознать, что не представляет никакого интереса результат, представленный в виде единственного измеренного значения. Утверждения, подобные тому, что для плотности некоторого металла измерения дали ') Однако так бывает не всегда. Например, если кто-то определяет показатель преломления стекла, то может получать значения в интервале от 1,5 до 1,9 в зависимости от состава стекла.
Оледовзтелызо. в эксперименте по определению показателя преломления стекла, состав которого неизвестен, «принятое» значение есть нс более чем грубый ориентир н ожидаемому результату. ') Так как читатель может быть в затруднении придумать любой такой эксперимент, приведем пример. Если кто то измеряет отношение длины окружности к се диаметру, то истинный ответ есть точно и. Очевидно, такие эксперименты очень надуманны. зо Глава а (2.13) по сравнению с принятая скорость = 331 м/с, (2.15) 9,3 ~ 0,2 г/см' или что для импульса тележки измерения дали 0,051 ~ 0,004 кг м/с, сами по себе не интересны.
В выводе, представляющем интерес, должны сравниваться два или более значений: измеренное и принятое значения; результат измерения и теоретически предсказанное значение или результаты нескольких измерений, чтобы было видно, в каком отношении друг к другу онн находятся в соответствии с некоторым физическим законом. Именно при таком сравнении чисел особенно важна теория ошибок. В этом и двух последующих разделах мы обсудим три типичных эксперимента, чтобы проиллюстрировать, как используются погрешности прн получении выводов из эксперимента. По-видимому„простейший тнп эксперимента — измерение величины, принятое значение которой известно. Как мы уже обсуждали, это несколько искусственный, характерный для учебной лаборатории, эксперимент. В нем измеряют величину, оценивают экспериментальные погрешности и, наконец, сравнивают нх с принятым значением. Например, эксперимент по определению скорости звука в воздухе (при нормальных температуре и давлении) мог бы привести к выводу, что измеренная скорость 329 ~ 5 м/с сравнивается с выражением принятая скорость = ЗЗ! м/с.
Этот численный вывод студент мог бы, вероятно, прокомментировать тем, что поскольку принятое значение скорости лежит внутри полученного им интервала скоростей, то измерение было удовлетнорительным, на чем его отчет мог бы и закончиться. Смысл погрешности бх заключается в том, что правильное значение х, «вероятно», лежит между х„,„, — бх и х„,„„+бх, н, конечно, возможно, что правильное значение слегка выходит за рамки этого интервала. Следовательно, измерение можно рассматривать как удовлетворительное, даже если принятое значение слегка выходит за рамки измеренного интервала. Например, измеренное значение 325 ~ 5 м/с можно считать совместимым с принятым значением 331 м/с. С другой стороны, если принятое значение выходит далеко за рамки измеренного интервала (скажем, различие намного больше, чем удвоенная погрешность), то имеются основания полагать, что где-то допущена ошибка.
Таким образом, незадачливый студент, который получит измеренная скорость = 345 ~ 2 м/с (2.14) З1 Каи приводить и использовать погрешиости должен проверить свои измерения и расчеты, чтобы обнаружить допущенные огрехи. К сожалению, очень сложно проследить появление его ошибки, так как существует множество разных возможностей. Он мог допустить ошибку в измерениях или расчетах, которые привели к результату 345 м/с. Он мог неправильно оценить погрешность своего эксперимента. (Результат 345~10 м/с был бы вполне приемлемым.) Он мог сравнивать свои измерения с ошибочным принятым значением.
Например, принятое значение 33! м/с есть скорость звука при нормальных температуре и давлении. Так как нормальная температура равна 0'С, то вполне вероятно, что измеренная скорость в (2.14) получена не при нормальной температуре. На самом деле, если измерение было выполнено при 20'С (т.
е. при обычной комнатной температуре), то правильное принятое значение для скорости звука составит 343 м/с и результат измерения окажется вполне приемлемым. Наконец (и, возможно, наиболее вероятно), различие, подобное полученному между (2.14) и (2.15), может указывать на некоторый необнаруженный источник систематической погрешности (как в случае секундомера, ход которого быстрее нормального, что обсуждалось в гл.
1). Обнаружение таких систематических погрешностей (которые изменяют результат в одном направлении) потребует тщательной проверки калибровки всех приборов и детального рассмотрения всех процессов. 2.5. Сравнение двух измеренных значений Во многих экспериментах измеряют два значения, которые, согласно теории, должны быть равны.
Например, закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс изолированной системы есть величина постоянная. Чтобы проверить это, мы могли бы выполнить серию экспериментов с двумя тележками, которые могут сталкиваться при движении без трения по скамье. Мы могли бы измерить полный импульс двух тележек перед столкновением (р) и после столкновения (р') и затем проверить, выполняется ли равенство р = р' в пределах экспериментальных погрешностей. Для одной пары измерений наши результаты могли бы иметь вид начальный импульс р=1,49 -~- 0,04 кг м/с и конечный импульс р'=1,56 -ь 0,06 кг.
м/с. В этом случае интервал, в котором, возможно, лежит р (от 1,45 до 1,53), перекрывается с интервалом, в котором, воз- Глава 2 Таблица 2.!. Иамереииые импульсы (в иу и/с) Начальный ил~пульс р 4Е0,04! Ксаечный импульс ре !Ее,004 Начальный импульс р 4 ей.044 Кснечный импульс рс 4Е0004 1,49 2,!О 1,56 2,!2 1,05 и т. д. 1,! б и т. д.
(измеренное значение р) = р„,„, -Е бр можно, легкит р' (от 1,50 до 1,б2). Следовательно, это измере. ние находится в согласии с законом сохранения импульса. Если бы, с другой стороны, оказалось, что два вероятных интервала даже не близки к тому, чтобы перекрываться, то измерение не находилось бы в согласии с законом сохранения импульса и мы должны были бы искать ошибки в наших измерениях или расчетах, определять возможные систематические погрешности и проверять возможность того, что какие-то внешние силы (такие, как сила тяжести или трения) изменяют импульс системы. Предположим, что мы повторяем подобные пары измерений несколько раз.
Каков лучший способ представить наши результаты? Во-первых, почти всегда удобнее всего представить последовательность подобных измерений в виде таблицы, а не как отдельные результаты. Во-вторых, наша погрешность часто очень мало изменяется от одного измерения к другому. Например, мы могли бы принять, что погрешность во всех измерениях начального импульса р есть бр ж 0,04 кг м/с и что ошибка конечного импульса р' есть бр' ж 0,06 кг м/с.
В этом случае хороший способ представить наши измерения был бы такой, как показано в табл. 2.1. Для кагкдой пары измерений вероятный интервал значений р перекрывается (или почти перекрывается) с интервалом значений р'. Если бы это оставалось верным для всех измерений, то мы могли бы считать, что наши результаты согласуются с законом сохранения импульса. Немного поразмыслив, мы могли бы представить наши результаты в виде, который сделает наш вывод даже яснее. Например, закон сохранения импульса требует, чтобы разность р — р' была равна нулю. Если бы мы добавили в нашу таблицу столбец со значениями р — р', то в любом месте этого столбца стояли бы величины, не отличающиеся от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
