Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Единственная трудность здесь заключается в том, что мы должнЫ знать, как рассчитать погрешность для разности р — р'. Но это можно легко сделать. Предположим, что мы произвалй измерения и получили Кан приводить и использовать погрешности и (измеренное значение р') = р' ~ бр'. Числа рн,н, и р,'„н, — наши наилучшие оценки для р и р'. Следовательно, наилучшая оценка для разности (р — р') есть (р„,„л — р,'„н,). Чтобы найти погрешность в (р — р'), мы должны определить наибольшее и наименьшее вероятные значения величины (р — р'). Наибольшее значение величины (р — р') получилось бы, если бы величина р имела наиболь- ШЕЕ ВсрпитНОЕ ЗиаЧЕНИЕ Раанл + бР И В тО ЖЕ Врсыи Р ИМЕЛа наименьшее вероятное значение р„',н„— Ьр'.
Таким образом, наибольшее вероятное значение р — р' есть наибольшее веРэитное значение = (Рн,„, — Р„,н,) + (бр + бр )- (2. 16) Сопоставляя (2.16) и (2.17), мы видим, что погрешность в разности (р — р') есть сумма бр+ бр' начальных погре(иноетей. Например, если р=1,49~0,04 кг м/с р'= 1,56 ~ 0,06 кг ° м/с, Р— Р = — 0,07 ~ О,1 кг м/с. то Затем мы можем добавить лишний столбец для р — р' в табл. 2.1 и получить табл.
2.2. Теперь можно с первого взгляда определить, находятся ли наши результаты в согласии с законом сохранения импульса, проверяя, согласуются ли с нулем числа в последнем столбце (т. е, меньше ли они или сравнимы с погрешностью 0,1). Таблица 2.2. Измеренные импульсы (а иг м/с) Начальный Конечный нмаульс р нмнульс ра (ЫО,О() (ЕО,ОО) Начальный Кснечный нмнчльс р импульс ру ьод4) (ео,оа) Р— Р (ыо.() Раанссть р — ра (ио,() 1,16 1,05 О,! 1 и т.д.
и т,д. и т.д. 1,56 — 0,07 2,12 — 0,02 1,49 2,!0 Аналогично наименьшее вероятное значение получается, когда величина р минимальча (р„а,— бр), а р' — максимальна ~р'„„,+ бр'). Это дает наименьшее веРоЯтное значение = (Рн,н, — Р„,н,) — (бр + бр ) (2.17) 34 Глава 2 Другим способом получения того же эффекта было бы табулирование отношений р'/р, которые должны быть в согласии с величиной р'/р =1. (В этом случае мы были бы вынуждены рассчитать погрешность в р'/р; эту проблему мы рассмотрим в гл. 3.) Наш вывод погрешности в р — р', очевидно, применим к разности любых двух измеренных чисел. Таким образом, мы установили следующее общее правило: Погрешность разности Если величины х и у измерены с погрешностями бх и бу и если измеренные значения х и у используются для расчета разности гу = х — у, то погрешность в г/ есть сумма погрешностей в х и у: бг/ ж бх+ бу.
(2.18) Мы использовали знак приближенного равенства (-), чтобы подчеркнуть два момента. Во-первых, у нас до сих аор нет точного определения погрешностей, с которыми мы имеем дело, так что было бы абсурдом утверждать, что бд точно равняется бх+ бу. Во-вторых, в равд. 3.4 мы увидим, что погрешность 6г/ часто несколько меньше, чем дает (2.18); лучшая оценка — это так называемая «квадратичная сумма» бх и бу, определенная в (3.13).
Таким образом, знак в (2.18) использован как напоминание о том, что мы позднее заменим (2.18) лучшей оценкой. Результат (2.18) — первый в серии правил вьгчисления погрешностей в случае косвенных измерений ') . Когда мы рассчитаем величину г/ в единицах измеренных величин х и у, нам нужно будет узнать, как погрешности в х и у «распространяются» и приводят к погрешности в гу. В гл. 3 детально обсуждается проблема расчета погрешностей в случае косвенных измерений. 2.6. Проверка пропорциональности с помощью графика Многие физические закономерности предполагают, что одна величина должна быть пропорциональна другой. Закон ') Автор использует термин «ргораяанон о1 еггогз», что иногда переводится как «распространение ошвбок».
Однако в литературе на русском языке для этого выражения принята терминология «вычисление ошибок в слу гае косвенных измерений». — Прим. перев. Каи приводить и использовать погрешности Гука утверждает, что растяжение пружины пропорционально силе, растягивающей ее; согласно закону Ньютона, ускорение тела пропорционально полной приложенной силе, и это только два из бесчисленного множества примеров.
Многие эксперименты в учебной лаборатории организованы так,чтобы проверять этот вид пропорциональности. Когда одна величина у пропорциональна некоторой другой х, то график зависимости й от х есть прямая линия, проходящая через начало координат. Таким образом, можно проверить пропорциональность у и х, если нанести измеренные значения у для данных х и посмотреть, лежат ли в действительности полученные точки на прямой линии, проходящей через начало координат. Поскольку прямая линия очень легко распознается, то такой путь является простейшим и эффективным способом проверки пропорциональности.
Чтобы проиллюстрировать такое использование графиков, представим себе эксперимент по проверке закона Гука. Этот закон, обычно записываемый в виде г" = )гх, утверждает, что растяжение пружины х пропорционально силе г, которая ее растягивает, т.
е, х = г/)з, где й есть коэффициент упругости пружины. Простой способ проверки этого закона — повесить пружину вертикально и подвешивать к ней различные массы т. В этом случае сила г' есть вес груза тд, так что растяжение равно х = — = ® т. (2.19) Растяжение х должно быть пропорционально нагрузке т, и график х от т должен представлять прямую линию, проходящую через начало координат, Если мы будем измерять х для набора различных грузов т и откладывать на графике эту зависимость х от т, то в высшей степени невероятно, чтобы измеренные значения в точности легли на прямую линию.
Предположим, например, что мы измеряем растяжение х для восьми различных грузов т и получаем результаты, представленные в таб.т. 2.3. Эти значения приведены на рнс. 2.!,а, где мы также начертили возможную прямую линию, которая проходит через начало координат и примерно одинаково близка ко всем восьми точкам. Как и ожидалось, восемь точек не лежат точно на одной Таблица 2.3. Нагрузка и растяжение Нагрузка пь г (бт пре- 200 330 400 500 600 700 800 900 небрежимо мало) Растяжение х, см (~0,3) 1,1 1,5 1,9 2,8 3,4 3,5 4,5 5,4 Глава 2 и лаи гиии т, г и ааа ааа т,г а и ыа т, г и прямой.
Возникает вопрос, обусловлено ли это экспериментальными погрешностями (как хотелось бы надеяться), или же мы наделали ошибок, а может быть, даже растяжение х не пропорционально т. Чтобы выяснить это, мы должны рассмотреть наши погрешности. Естественно, что измеренные значения растяжения х и массы т подвержены некоторым погрешностям. Для простоты предположим сначала, что массы известны с очень высокой точностью, так что погрешность в т пренебрежимо мала. Рис. 2Л, Три графика, на которых изображена зависимость растяжении х пружины от нагрузки ни о — данные табл 23 беа черточек ошибок: б — те же данные с черточками ошибок, которые показывают погре1пиости в х.
(Погрешности в ш предполагаютси пренебрежимо малыми.) Эти данные нвхолитс» в согласии с ожидаемой пропорциональностью х п ш; в — другой набор лввиых, который ие подтверждает пропер. цнональность х и гн. Как приводить и использовать погрешности С другой стороны, предположим, что все измерения х имеют погрешность порядка 0,3 см (как показано в табл. 2.3). Например, для груза в 200 г растяжение, вероятно, будет находиться где-то в интервале 1,1-~-0,3 см. Наша первая экспериментальная точка ляжет на вертикальную линию т = 200 г в середине интервала между х = 0,8 и х = 1,4 см. Это отображено на рис. 2,1,б, где мы представили вертикальными черточками ошибок интервалы, в пределах которых вероятно лежит каждое значение. В данном случае мы сможем найти прямую, проходящую через начало координат и через черточки ошибок или вблизи них.
На рис. 2.1,б приведена подобная прямая; таким образом, мы могли бы сделать вывод, что данные, на основании которых построен рис. 2.1, б, находятся в согласии с пропорциональностью между х и т. Мы видели из уравнения (2.19), что наклон графика зависимости х от ич есть д/й. Измеряя наклон прямой иа рис. 2.1,6, можно найти коэффициент упругости пружины /г. Проводя возможно более крутую и более пологую липин, которые все еще хорошо отображали бы экспериментальные данные, мы могли бы также найти погрешность для этого значения й (см.
задачу 2.8). Если бы наилучшая прямая проходила в стороне от большой доли черточек ошибок или на слишком большом расстоянии от некоторых из них (по сравнению с длиной интервала ошибок), то наши результаты не согласовались бы с пропорциональностью между х и т. Этот случай отображен на рис. 2.1,в. Результаты, представленные на этом графике, таковы, что мы должны были бы перепроверить наши измерения и вычисления (включая расчет погрешностей) и подумать, нет ли оснований к тому, что величина х может быть не пропорциональной гп, До сих пор мы предполагали, что погрешность в массе йзначения которой откладываются по горизонтальной оси) Рис.
2.2. Изображение результатов измерений с учетом погрешностей в к и т в виде крестиков, составленных из одной черточки ошибок для и и одной — для ьь 38 Глава 2 ничтожна, а все погрешности могут содержаться только в х, что отображено вертикальными черточками ошибок. Для случая, когда как х, так и т подвержены заметным погрешно. стям, имеются различные способы отобразить их.
Простейший состоит в том, чтобы начертить как вертикалыаые, так и горизонтальные черточки ошибок в каждой точке, причем длина половины каждой черточки должна равняться соответствующей погрешности, как показано на рис. 2.2. Каждый крест на этом графике соответствует одному измерению х и т, причем х, вероятно, лежит в интервале, определенном вертикальной чертой креста, а ап, вероятно, в интервале, определенном горизонтальной чертои, Несколько более сложная ситуация возникает тогда, когда ожидается, что одна физическая величина пропорциональна некоторой степени другой. Рассмотрим путь х, пройденный телом за время ~ прн свободном падении.
Этот путь равен х = '/адГа и пропорционален квадрату б Если графически представить зависимость х от (, то экспериментальные точки должны лечь па параболу. Однако визуально трудно проверить, лежат ли точки на параболе (или на любой другой кривой, кроме прямой линии). Намного проще проследить зависимость х — Р, когда ~рафик зависимости х от га должен представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат, и такой график позволит проверить, согласуются ли данные с прямой линией так же, как в предыдущем примере. Аналогично если величина х пропорциональна экспоненцнальной функции ел' (где А — некоторая постоянная), то график зависимости!пх от г должен представлять собой прямую линию, и такой график легко позволит проверить пропорциональность х е"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
