Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 11
Текст из файла (страница 11)
8,03 может означать 8,03 ~ 0,005. Цифровое табло даже в большей степени, чем обычная шкала, может создать ложное впечатление большой точности. Например, кто-то мог бы использовать цифровые часы для определения времени движения грузов на машине Атвуда или подобном приборе. Если часы показывают три цифры после запятой, то они могут показать время ! = 8,036 с, и в этом случае время движения есть ! =8,036 -~ 0,001 с. (3.1) Однако осторожный студент, который повторяет эксперимент при как можно более идентичных условиях, мог бы найти, что результат второго измерения равен 1=8,13 с. Одно вероятное объяснение этого различия состоит в том, что погрешности в процедуре запуска изменяют начальные условия и, следовательно, время движения.
В любом случае ясно, что точность, представленная в (3.1), до абсурда хороша. Судя по проделанным до сих пор двум измерениям, более реалистичный результат был бы г = 8,07 .+ 0,05 с. Этот пример возвращает нас к другому моменту, упомянутому в гл. 1. Ес.ти измерения могут быть повторены, их обычно следует выполнить несколько раз. Получающийся разброс величин часто служит хорошей мерой погрешностей, и среднее измеренных значений всегда более заслуживает доверия, чем результат любого единичного измерения. В гл. 4 и 5 мы коснемся вопросов статистической обработки многократных измерений.
Сейчас лишь подчеркнем, что если измерение можно повторить, его следует повторить как для получения более точного результата (при усреднении), так и, что даже более важно, в связи с возможностью оценить погрешности. К сожалению, как уже было отмечено в гл. 1, повторение измерений не всегда приводит к обнаружению погрешностей.
Если измеряемая величина подвержена некоторым систематиче- Погрешности в косвенных нзмеренивх ским ошибкам, которые смещают все результаты в одну и ту же сторону (подобно часам, которые отстают), то разброс в результатах не будет отражать этой систематической ошибки Исключение таких систематических ошибок потребует тщательной проверки калибровки приборов и других процедур. Наконец, имеется еще один, совсем особый тип измерения, для которого погрешности легко могут быть оценены. Некоторые эксперименты включают счет событий, которые происходят случайно, но с определенной средней скоростью. Например, в образце радиоактивного вещества каждое индивидуальное ядро распадается в случайный момент времени, но сушествует определенная средняя скорость распада, согласно которой мы бы ожидали увидеть какое-то число распадов в единицу времени, происходящих во всем образце. Мы можем попытаться измерить этот средний темп, наблюдая число распалов, происходящих за определенный временной интервал, например за одну минуту.
(Это может быть сделано, например, с помощью счетчика Гейгера, который регистрирует заряженные частицы, испускаемые при распаде каждым ядром.) Предположим, мы нашли, что произошло и распадов, пока мы считали их в течение одной минуты. Поскольку распады происходят случайным образом, мы не можем быть уверены, что о есть действительно верное среднее число распадов, которое ожидается за одну минуту. Вопрос, конечно, заключается в том, насколько недостоверна величина е как мера ожидаемого среднего числа событий. Теория вопросов, связанных с таким подсчетом, обсуждается в гл. 11, но ответ исключительно прост и может быть приведен сейчас.
Если мы сосчитаем число событий за время Т и получим в результате т, то в качестве меры ожидаемого среднего числа событий за время Т наш результат т имеет погрешность ~Ггч. Таким образом, наш вывод (основанный на этом одном измерении) следует представить в виде (среднее число событий за время Т)=тг ~- тгтг. (3.2) Например, если бы мы насчитали 15 распадов от образца радиоактивного урана за одну минуту, то могли бы сделать вывод, что в среднем в нашем образце происходит 15 ~ Чг)5, или 15 + 4 распадов в минуту. 3.2. Суммы и разности; произведения и частные До конца этой главы мы будем предполагать, что мы провели измерения одной или более величин х, у, ...
с соответствующими погрешностями бх, бу, ... и что теперь мы хотим по измеренным значениям х, у, ... вычислить величину д, ко- 54 Глава 3 Суммы и разности В гл. 2 мы обсуждали, что происходит, когда измеряются две величины х и у и вычисляется их сумма х+у или их разность х — у. Чтобы оценить погрешность как в сумме, так н в разности, мы должны были только определить их наибольшие и наименьшие вероятные значения. Наибольшее и наименьшее вероятные значения х равны хи...
~ бх, а ааалогичные величины для у равны уи.и, ~ бу. Следовательно, наибольшее вероятное значение х+ у есть х,аи, + уи„,л+ (бх+ бу) и наименьшее вероятное значение хили а + уиаил (бх + бу). Таким образом, наилучшая оценка для д = х+ у есть И»лил Хиаил + у»лил и ее погрешность ба = бх+ бу. (З.з) Аналогичные аргументы (вы должны быть уверены, что сможете воспроизвести их) приводят к тому, что погрешность в разности х — у дается той же самой формулой (З.З). Таким образом, погрешность как в сумме х+у, так и в разности х — у представляет собой сумму бх+ бу погрешностей в х и у. В случае нескольких чисел х, ..., ш, которые надо скла. дывать или вычитать, повторные применения (3.3) приводят к следующему правилу: Погрешности в суммах и разностях Если несколько величин х, ..., ки измерены с погрешностями бх, ..., бш и используются для вычисления у=х+ ...
+ г — (и+... + ки), то погрешность в рассчитанной величине д есть сумма бд бх+ ... + бг+ би+ ... + бги (3.4) всех исходных погрешностей. торая иас в действительности интересует. Расчет величины и обычно выполняется непосредственно; проблема, которую мы должны обсудить, заключается в том, каким образом погреш ности бх,бу, ..., «распространяясь» через вычисления, приводят к погрешности ба косвенных измерений окончательной величины а. Погрешности а косвеккык измерениях Другими словами, когда складывают или вычитают любое число измеренных величин, то погрешности этих величин всегда складелваюгся, Как и прежде, мы используем знак ж, чтобы подчеркнуть, что вскоре мы улучшим это правило. Пример В качестве простого примера применения правила (3.4) предположим, что экспериментатор смешивает жидкости из двух флаг, предварительно измерив по отдельности массы этих наполненных и затем пустых фляг и получив в результате М, = масса первой фляги и ее содержимого = 540 + 10 г; и, = масса первой пустой фляги = 72 ' 1 г; М,=масса второй фляги и ее содержимого = 940-~-20 г; и, = масса второй пустой фляги = 97-~-1 г.
Затем он рассчитывает полную массу жидкости как М = М, — гп, + М, — т, = (540 — 72 + 940 — 97) г = 1311 г. В соответствии с правилом (3.4) погрешность в его результате есть сумма всех четырех погрешностей: бМ = бМ, + бт, + бМ, + бт = (10 + 1 + 20 + 1) г = 32 г. Таким образом, его конечный результат (надлежащим образом округленный) имеет вид полная масса жидкости = 1310-1- 30г. Заметьте, что существенно меньшие погрешности в массах пустых фляг вносят ничтожную добавку в конечную погрешность. Это очень важный эффект, который мы обсудим позднее. С опытом студент сможет научиться заранее выявлять те погрешности, которые пренебрежимо малы и поэтому могут быть исключены нз рассмотрения. Часто это может очень существенно упростить расчет погрешностей.
Произведения и частные В равд. 2.9 мы рассмотрели погрешности в произведении г) = ху двух измеренных величин. Мы нашли, что при условии малых относительных погрешностей исходных величин относительная погрешность в а = ху есть сумма относительных погрешностей в х и у. Вместо того чтобы повторно обсудить вывод этого результата, рассмотрим сейчас подобный же случай частного д = х/у. Как мы увидим, погрешность в частном дается тем же самым правилом, что и для произведения, т.е. относительная погрешность в а = х/у равна сумме относительных погрешностей в х и у. 66 Глава 3 Поскольку погрешности в произведениях и частных наилучшим образом выражаются в терминах относительных погрешностей, то удобно для последующего ввести более краткое обозначение.
Напомним, что если мы измеряем некоторую величину х как (измеренное значение х) = х„н, -ь бх, т. е. обычным образом, то относительная погрешность в х определяется как бн (относительиая погрешность в х)= 1 1 лнанл ) (Абсолютное значение в знаменателе всегда обеспечивает положительность относительной погрешности, даже когда величина хн„,л отрицательна.) Поскольку выражение бх/)хн,н,) неудобно писать и читать, с этого момента мы будем использовать его сокращенное написание, в котором опустим индекс «наилтс бл (относительная погрешность в х) =— )х) ' Результат измерения любой величины х может быть выражен через его относительную погрешность бх/)х~ как (значение х) =ха,н,(1 -~- 6х/~ х().
Следовательно, значение а/ = х/у может быть переписано как лнанл ! аь Ьх/! х) (значение г/) = Унана ! ге ЬУЛУ) Наша задача теперь — найти экстремальные вероятные значения второго множителя справа. Этот множитель максимален, например, когда числитель равен его наибольшему значению, 1+ 6х/)х), а знаменатель равен его наименьшему значению, 1 — 66/)у~. Такам образом, наибольшее вероятное значение для г/ = х/у равно (наибольшее значение г/)=— хнанл ! + Ьхй х) Унанл ! ЬУ/! У ! (3.5) Последний множитель в выражении (3.5) имеет форму '(1+ а)/(1 — Ь), где числа а и Ь обычно малы (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
