Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из элементарной оптики известно, что п = !/з!ИО. Если мы можем измерить угол О, то легко вычислить показатель преломления и. Но затем мы должны найти погрешность би в определении и = !/и!п О, зная погрешность бО в нашем измерении О. В более общем случае предположим, что мы измерили ве- ЛИЧИНУ Х СТанлаРТИЫМ Обраэом В ВИДЕ Хнанл "+ бХ И ХОТИМ ВЫ числить некоторую известную функцию ()(х), например такую, как (!(Х) = 1/з!пх или ()(х) = Ч/х.
Одним из простых способов решения этой задачи является построение графика (у(х), как показано на рис. З.З. Наилучшая оценка для д(х) есть, конечно, ()наил = ()(хвана), и значения хнаил и ()мана на рис. 3.3 соединены жирными линиями. Чтобы определить погрешность б(), воспользуемся обычным способом. Наибольшее вероятное значение х есть хи„„+ бх; используя график, можно немедленно найти наибольшее вероятное значение для (), которое обозначено (!и„ш Аналогично можно найти и наименьшее вероятное значение, обозначенное (! „„. Если погрешность бх мала (как мы всегда предполагаем), то отрезок графика, используемый в наших построениях, приближенно представляет собой прямую линию, и тогда легко видеть, что ((маис и (!мин находятся на равных расстояниях от (1„,„ю Погрешность б() в этом случае может быть Вв Погрешности в косвенных измерениях определена из графика, как любое из расстояний, указанных стрелками, и, таким образом, мы нашли значение д в стандартном виде днзнл +.
бд. Иногда погрешности действительно вычисляют из графика, как описано выше (см., например, задачу 3.10). Однако обычно функция д(х) известна в явном виде (например, д(х)= = з)пх или д(х) = ~lх1, и погрешность бд может быть выражена аналитически.Из рис. З.З ясно, что бс) = д(х„,„, + бх) — д (х„,„,). (3.20) Теперь, согласно основному приближенному выражению математического анализа, для любой функции д(х) и любого достаточно малого приращения и можно написать с) (х + и) — д (х) = — и.
нд Таким образом, при условии, что погрешность бх мала (как мы всегда предполагаем), можно переписать разность (3.20) и получить (3.21) 'Итак, чтобы найти погрешность бд, мы должны вычислить производную с(д/с(х и умножить ее на погрешность бх. Правило (3.21) имеет еще не окончательный вид. Оно выведено для функции, показанной на рис. З.З, с положительным наклоном. На рис. 3.4 показана функция с отрицательным ума л наин Рис. 3.4. Если наклон графика д(х) отрицателен, то максимальное всроят. взе значение д соответствует минимальному значению х, н наобсрот, 70 Глава 3 наклоном. В этом случае максимальное вероятное значение д „„очевидно, соответствует минимальному значению халил бх Величины х, так что бд= — — "и бх.
(3.22) и'х Поскольку производная дд/пх отрицательна, мы можем запи- сать — дд/пх как (дд/Нх( и получим следующее общее пра- вило: Погрешность в произвольной функции одной переменной Если величина х измерена с погрешностью бх и используется для вычисления функции д(х), то погрешность бд равна 60= ~й (6» (3.23) В качестве простого примера применения этого правила предположим, что мы измерили угол 0 0=20 ~ 3 град и хотим найти сов О. Наша наилучшая оценка для сов О составляет соз 20' = 0,94, а в соответствии с (3.23) погрешность равна 6(созО)=) )60=~ з!п0~60 (в рад).
(3.24) Таким образом, наш конечный результат имеет вид соз О = 0,94 ~ 0,02. В качестве второго примера применения правила (3.23) мы можем вновь вывести (и обобщить) результат, полученный в равд. 3.2. Предположим, что мы измерили величину х и затем вычисляем степенную функцию д(х) = х" (где и — любое известное фиксированное число — положительное или отрицательное).
В соответствии с (3.23) погрешность в д есть 60= ~ — '~! 6~=(ж" '(6». ад»| Мы указали, что погрешность 60 должна быть выражена в радианах, поскольку производная от соз 0 равна — в)п О, только если угол 0 выражен в радианах. Следовательно, перепишем 60 = 3' в виде 60 = 0,05 рад; тогда (3.24) дает 6 (соз О) = ( з1п 20') л, 0,05 = 0,34 Х 0,05 = 0,02. Погрешности в косвенных измерениях 71 Если разделить обе части этого равенства на )д! )х" (, то получим (3.25) — =!п!— ад ох !д! !к! т. е. относительная погрешность в д = х" в !и! раз больше, чем в х. Это и есть правило (3.10), полученное ранее.
Однако в данном случае наш результат является более общим, поскольку п теперь может быть любым числом. Например, если п = '/г, то г) =- зггх и ач ! ок !о! 2 !х! ' т. е. относительная погрешность в 1гх равна только половине погрешности в самом х. Аналогично относительная погрешность в 1/х = х-' та же самая, что и в самом х. Результат (3.25) — это лишь частный случай правила (3.23). Однако он достаточно важен и заслуживает отдельного рассмотрения, как следующее общее правило: Погрешность в степенной функции Если величина х измерена с погрешностью бх и используется для вычисления степенной функции д = х" (где п — фиксированное известное число), то относительная погрешность в д в (и! раз больше, чем в х: — =(и! —.
оч ох !д! !к! ' (3.26) 3.6. Метод кшаг за шагом» (3.27) по измеренным значениям х, у, г и и в следуюшей последовательности шагов; вычисление функции з!пи, затем расчет произведения х и з!и и, потом определение разности у н аз!п и и, наконец, произведения х н (у — аз!п и). Теперь мы имеем достаточно правил, чтобы справиться почти с любой задачей вычисления ошибок в случае косвенных измерений. Любой расчет может быть представлен как последоьательность определенных шагов, каждый из которых включает только один из следуюгцих видов операции: 1) на. хождение сумм и разностей; 2) расчет произвелегшй и частных; 3) вычисление функции одного переменного, например х", з!их, е" или !п х. Так, мы могли бы рассчитать д = х (у — а з!и и) 72 Глава 3 Мы знаем, как вычисляются погрешности для каждой из этих отдельных операций, Таким образом, при условии, что все величины, с которыми мы имеем дело, независимы, мы можем вычислить погрешность конечного результата в серии последовательных шагов, исходя из погрешностей в исходных измерениях ').
Например, если величины х, у, г и и в (3.27) были измерены с соответствующими погрешностями бх, ... ..., би, то мы могли бы вычислить погрешность д следующим образом. Сначала найдем погрешность в функции з)п и; зная ее, определим погрешность в произведении гз!п и и затем — в разности и — и з)п и; наконец, найдем погрешность в произведении (3.27) . Прежде чем привести примеры вычисления ошибок с помощью этого метода «шаг за шагом», подчеркнем два основных момента. Во-первых, поскольку погрешности в суммах и разностях вычисляются в терминах абсолютных погрешностей (подобно бх), в то время как в произведениях и частных — в терминах относительных погрешностей (подобпо бх/)х!), то наши расчеты потребуют, как мы увидим, некоторых средств, позволяющих переходить от абсолютных погрешностей к относительным и наоборот.
Во-вторых, важным упрощающим фактором во всех этих расчетах является то, что (как мы уже несколько раз подчеркивали) погрешности редко требуется вычислять с более чем одной значащей цифрой. Следовательно, многие расчеты можно выполнить очень быстро в уме и многими меньшими погрешностями можно полностью пренебречь. В типичном эксперименте, состоящем из нескольких попыток измерить что-либо, возможно, будет необходимо тщательно рассчитать на бумаге ошибки косвенного измерения только для первой попытки.
Если это было сделано, то часто легко видеть, что все попытки достаточно подобны друг другу, и тогда не потребуется никаких дополнительных расчетов или в худшем случае для последующих попыток можно в уме модифицировать расчеты, выполненные для первой попытки. 3.7.
Примеры В этом и следующем разделах мы детально рассмотрим три примера гипичных расчетов, встречающихся в учебной лаборатории. Ни один из этих примеров не является особенно ') В равд. 9.9 мы обсудим, почему метод «шаг за шагом» иногда неудовлстворителен, например когда разливные вели~ивы нс независимы, как в случае функции, потопной Ч = х(у — хмпу), в которой х и у встречаются дважды В этом случае вычисления «шаг за шагом» погрешности бу могут иногда дать завышенную оценку бу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
