Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если бы мы намеревались вычислить погрешность бд методом «шаг за шагом», то сначала вычислили бы погрешности в двух суммах х+у и х+г и затем в их частном. Поступая таким образом, мы бы совсем не учли возможность того, что ошибка в числителе, связанная с х, может до некоторой степени компенсироваться ошибкой в знаменателе, связанной с теми же ошибками в х. Чтобы понять, как это может случиться, предположим, что х, у, ив положительные числа, и посмотрим, что произойдет, если ') Читатель может беэ ущерба отложить изучеиие этого раздела. Материал, который в ием затрагивается, ие используется вплоть до равд.
5.6. Погрешности в косвенных измерениях (3.39) д(х„,„л ~ бх). Наконец, мы испольэовала приближение д(х+и) = д(х)+ — „~ и (3.40) (для любого малого приращения и), чтобы переписать экс- тремальные вероятные значения (3.39) в виде д(х„,„,) ~ ~-„~ ~бх, (3.41) где знак абсолютного значения используется, чтобы учесть возможность того, что величина дд/дх может быть отрица- тельной. Запись (3.41) означает, что д«) ж ~ дд/дх~ бх. ') Иногда фуниция, включающая некоторую переменную более чем один раз, может быть переписана в другом виде, в котором вто уже иснлючено. Например, д = хр — хя можно переписать иаи Ч х(у — х). Для второй записи погрешность Ьд может быть вычислена методом «шаг за шагом» без какой-либо опасности переоценнн, наше измерение х подвержено ошибке.
Если мы переоцениваем х, то мы переоцениваем обе суммы х+ и и х+г н (в большой степени) эти переоценки компенсируют друг друга, когда мы вычисляем (х+ у)/(х+ е). Аналогично недооценка х приводит к недооценке обеих сумм х+ у и х+ г, что опять ведет к компенсации при вычислении частного. В любом случае ошибка в х существенно компенсируется при вычислении частного (х+у)/(х+ е), а наш метод «шаг за шагом» совсем не учитывает этой компенсации. Всегда, когда функция включает одну и ту же величину более чем один раз, как в (3.38), некоторые из ошибок могут взаимно компенсироваться (эффект, который иногда называют эффектом компенсируюгцихся ошибок).
Если это происходит, расчеты погрешности методом «шаг за шагом» могут привести к переоценке конечной погрешности. Единственный способ избежать этого заключается в расчете погрешности за один прием с помощью метода, который мы сейчас обсудим ') . Предположим сначала, что мы измеряем две величины х и у и затем вычисляем некоторую функцию д = д(х, у). Эта функция может быть простой, как, например, д = х+ и, или же несколько более сложной, подобно д (х'+ р) з)п(ху). Для функции д(х) одной переменной мы показали, что если наилучшая оценка для х есть число х„,„„то наилучшая оценка для с)(х) есть ц(хвана).
Затем мы показали, что если экстремальные (т. е. наибольшее и наименьшее) вероятные значения х равны хнаил ~ бх, то и соответствующие экстре мальные значения д равны Погрешности в косвсннык измеренняк 81 Погрешность функции нескольких переменных Предположим, что х, ..., к измерены с погрешностями бх, ..., бз и что измеренные значения используются для вычисления функции с7(х, ..., г). Если погрешности в х, ..., а независимы и случайны, то погрешность в с7 равна /(до б„у „(до у В любом случае она никогда не больше, чем обычная сумма (3.47) бд==~ — "~бх+" +ф~бг (3.48) Возможно, наиболее полезной особенностью этого общего правила является то, что мы можем вывести из него все наши предыдущие правила вычисления погрешностей в случае косвенных измерений (см.
задачу 3.18). Непосредственное использование общего правила довольно громоздко на практике, и обычно проще, если возможно, продвигаться шаг за шагом, используя наши предыдущие, более простые правила. Однако, если фуннция д(х, ..., г) включает любую переменную более одного раза, могут возникнуть компенсирующиеся ошибки; в этом случае вычисления методом «шаг за шагом» могут привести к переоценке окончательной погрешности, и тогда лучше вычислять бд за один прием, используя непосредственно (3.47) или (3.48). Зада си Напоминание: звездочна у номера задачи означает, что задача решается плн ее отвст приводится в разделе «Ответы» в конце книги.
*3.1 (разд. 3.1). Двум студентам предложили измерить скорость »миссии а-частиц из неноторого радиоантивного образца. Студент А считал в которому относительная погрешность в су равна сумме относительных погрешностей в х и у (см. задачу 3.18). Правило (3.43) можно обобщить.
Читатель не будет удивлен, когда узнает, что в случае независимых и случайных погрешностей бх и бу сумма (3.43) может быть заменена квадратичной суммой. Если же функция с) зависит более чем от двух переменных, то мы просто добавляем лишний член для каждой новой переменной. Все это приводит к следующему общему правилу (надлежащее обоснование которого будет дано в гл. 5 и 9). 82 Глава 3 течение двух минут и насчитал 32 а-частицы; студент Б счвтал в течение часа и насчитал 785 и-частиц. (Образец распадается настольно медленно, что ожидаемую скорость эмиссии можно считать постоянной за время из мерений.) а. Используйте формулу (3.2) для вычисления погрешности в результате студента Л, равном 32 частицам, нспушекным за две мннуты.
б. Какова погрешность результата студента Б, составляющего 786 частиц, нспушенных за один час? в. Каждый студент делит свое число отсчетов па число минут, чтобы найти скорость распада, т. е. число распадов в минуту. Каковы нх результаты и погрешности? (Хотя погрешность в общем числе отсчетов студента Б больше, чем у студента А, погрешность в скорости, полученная студентом Б, намного меньше, чем у студента А, т.е., делая отсчеты в течение более длительного времеви, можно получить более точный результат для темпа отсчетов, нак можно было ожидать.) 3.2 (равд. 3.2). Студент получил следующие результаты измерения: а бш! см; Ь 18 ~ 2 см; с=12~! см; 1=30+05 с; ш 18ш1 г.
Используя праввла (3.4) и (3.8), вычислите следующие величины, их погрешности и относительные погрешности в процентах: а+ Ь+ с; в-)-Ь вЂ” с; с/; 4а; Ь/2 (где цифры 4 и 2 не содержат погрешности) и тЬ//. »ЗЗ (равд. 32). Используя правила (34] и (38), вычислите счедующие выражения: а) (5 ш 1) + (8 ~ 2) — (10 ~ 4); б) (5 ~ 1] Х (8 3г 2); в) (10 ~ 1]/(20 ~ 2); г] 2я(10 ~ 1).
Числа 2 и и (см. п. г) не содержат погрешности. *3.4 (равд. 3.2). С помощью хорошего секундомера после неноторой практики можно измерять времена прнмерво от одной секунды до многих минут с погрешностью порядка 0,1 с. Предположим, что мы хотим найтн период т маятнвка, который приблизительно равен 0,5 с. Если измерить время одного колебания, то погрешность составит около 20»Ь, но, измеряя время нескольких последовательных колебаний, мы можем добиться лучшего, как показывают следующие вопросы а, Если мы измеряем время пяти последовательных колебаний н получаем 2,4 ~ О,! с, то каков будет наш результат для т, его абсолютной и процентной погрешности? (Помните правило (3.9).] б.
Каков будет ответ на вопросы и. «а», если измерено время 20 нолебаний н получено 9,4 за 0,1 с? в, Может ли быть бесконечно улучшена точность измерения т, если измерять время все большего числа периодов? 3.5 (равд. 32). Если для Г найдено, что / 8,0~0,5 с, то каковы значения и погрешности /г, 1// и 1//»? «3.8 (равд.
3.2). Посетитель средневекового замка решает определить глубину колодца, измеряя время падения брошенного в него камня. Он определяет, что время падения равно /= 3,0~0,5 с. Какой вывод он сделает о глубине колодца? 3.7 (равд. 3.2). Согласно биномиальной теореме, для любого числа я н любого х, удовлетворяющего условию ]х) ~ 1, ниеет место разложение )з 1 ! , а (и — 1) » + и (л — 1) (а — 2 з 1 83 Погрешности в косвенных измерениях Ь(/ РЕ !7У /7 г и, слгл/г Рис. 3.7, Зависимость энергик Е от коэффициента поглощения р фотонов в свинце. а. Покажите, что если л — целое положительное число, то этот бесконечный ряд обрывается (т,е.
содержит только конечное число членов). Напишите его явное выражение для случаев и = 2 и л 3. б. Напишите бнномиальяый ряд для случая л = — 1. Это приведет к бесконечному ряду для 1/(1+х); ко~да величина х мала, два первых члена этого бесконечного ряда дают хорошее приближение 1/(1 + х) 1 — х, как уже упоминалось при записи (3.6).
Вычислите значения этих двух выражений для каждого из значений х = 0,5; 0,1; 0,01 и в каждом случае рассчитайте процентную погрешность, на которую приближение 1 — х отличается от точного значения !/(1+ я). *3.8 (равд. З.З). Студент измеряет четыре длины: а = 50 ~ 5, Ь = 30 ~ 3, с = 40 ш 1, д = 7,8 ~ 0,3 (все в сантиметрах) и вычисляет три суммы а+ Ь, а+ с, а+ А Найдите погрешности для этих сумм в случае, когда исходные погрешности могут не быть независимыми («ошиб- ки снладываются», как в (3.14)), а также когда известно, что эти ошибки независимы и случайны [«ошибки складываются квадратичноэ, как в (3.13)). Предполагая, что погрешности надо знать только с одной значащей циф- рой, в каком случае нз трех погрешность во втором слагаемом (т.е.
в Ь, с или 8) можно полностью игнорировать? 3.9 (равд. 3.4). Решите снова задачу 3.2, предполагая, что все погреш- ности независимы н случайны, т. е, используя квадратичное сложение, как в правилах (3.16) и (3.18) расчета ошибок для косвенных измерений '). ') Квадратичное сложение часто можно выполнить в уме с достаточной точностью. Если вы используете калькулятор, то заметьте, что при переходе от прямоугольных к полярным координатам автоматичесни вычисляется величина ~Гххз з.ь уз для любых данных х и р.
84 Глава 3 Таблица 3.2. Определение величины и с помощью маятника 1, см (аб,)) Г, с ( 0,001) я, см)с' бВ), сд бт)Г, ~*, бя)я, Ч» 93,8 70,3 45,7 21,2 1,944 1,681 1,358 0,922 980 0,1 0,06 0,14 980~1,4 *3.10 (равд. 35) В ядерной физике энергия субатомных частиц может быть измерена разныип способами. Один из них состоит в измерении по- глощения частиц в вешестие, например таком, как свинец, и последующем сравнении с известными графикамв зависимости энергии от скорости по- глошения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
