Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Вам не трудно было бы привести и другие примеры. В частности, обратите внимание на то, что типичные источники случайных погрешностей — это небольшие ошибки наблюдателя (как в случае интерполяции), небольшие помехи, воздействующие на аппаратуру (подобные механическим вибрациям), проблемы определения и некоторые другие. Возможно, наиболее очевидная причина систематической ошибки — это раскалибровка приборов (подобно отстающему секундомеру, вытянутой линейке или стрелочному прибору, у которого стрелка до начала измерений ие была установлена на нуль). Различие между случайными и систематическими ошибками не всегда можно ясно определить. Например, при изменении положения вашей головы по отношению к типичному стрелочному прибору (например, обычным часам) результаты считывания будут изменяться.
Этот эффект называется лараллаксом, и он приводит к тому, что правильное считывание со шкалы возможно только в случае, когда ваша голова расположена точно перед стрелкой. Даже если вы очень аккуратный экспериментатор, вы не сможете расположить ваш глаз всегда точно перед стрелкой; следовательно, ваши измерения будут содержать малые погрешности, связанные с параллаксом, и эта погрешность будет, вероятно, случайной.
С другой стороны, неосторожный экспериментатор, который поставит стрелочный прибор сбоку от себя и забудет о влиянии параллакса, внесет систематическую ошибку во все свои отсчеты. Таким образом, один и тот же эффект, параллакс, может привести к случайным погрешностям в одном случае и систематическим — в другом. Учет случайных ошибок совершенно отличен от учета систематических ошибок. Статистические методы, описанные в следующем разделе, дают достоверную оценку случайных погрешностей и, как мы увидим, указывают на точно определенный способ их уменьшения.
С другой стороны, систематические погрешности трудно оценить и даже обнаружить. Опытный ученый должен уметь предвидеть возможные источники систематических ошибок и обеспечить, чтобы все оставшиеся систематические ошибки были значительно меньше требуемой точности. Для этого потребуется, например, поверка стрелочных приборов по принятым стандартам, их исправление, или даже, если необходимо, приобретение более совершеннЫх приборов. К сожалению, в учебной физической лаборатории такая поверка приборов возможна только в редких случаях, поэтому учет систематических ошибок всегда представляет собой трудное дело. Мы еще вернемся к этому во- яо Глава 4 просу в разд.
4.6, а пока будем рассматривать эксперименты, для которых все источники систематических ошибок выявлены и приняты меры, чтобы эти ошибки были намного меньше требуемой точности. 4.2. Среднее и стандартное отклонение Предположим, что нам надо измерить некоторую величину х н что мы выявили все источники систематической ошибки и уменьшили их влияние до пренебрежимо малого уровня. Поскольку все оставшиеся источники ошибок случайны, мы будем в состоянии обнаружить нх, многократно повторяя измерения.
Можно было бы, например, выполнить измерения пять раз и получить разультаты 71, 72, 72, 73, 7! (4.1) (где для удобства мы опустили единицы измерения), Первый вопрос, который можно задать: если дано пять измеренных значений (4.1), то что мы должны принять за наилучшую оценку х,.н, нашей величины ху Представляется разумным, чтобы нашей наилучшей оценкой было среднее значение, нлн среднее х пяти найденных значений, и в гл.
5 мы докажем, что это обычно так и будет. Таким образом, 71 + 72 + 72 + 73 + 71 71 3 (4 2) Хинин 5 В этом выражении дробь после второго знака равенства— просто определение среднего х для данных чисел '). В более общем случае предположим, что мы производим й! измерений величины х (нспользуя одну и ту же аппаратуру и метод измерения) и получаем )т' значений: (4.3) хо х„..., х„. И на этот раз наилучшей оценкой величины х обычно будет среднее значение от хь ..., Хи, т. е.
(4.4) Хнннн Х ~) В наш век карманных калькуляторов, возможно, стоит заметить, что усреднение, подобное (4.2), легко произвести в уме. Поскольку все числа находятся в седьмом деситке, то же должно быть верно н для среднего значения. Остается лишь усредннть числа 1, 2, 2, 3, 1 в позиции единиц. Они, очевидно, усредняются как 9/ог 1,8, и иаш результат будет н = 71,8. Статистический анализ случайиыя погрешностей 9! где х, + х + ... + х х= йг (4.5) В последней строке мы ввели полезное обозначение Х, согласно которому л~~~~ хг= ~~ ~хг= л~' хг= х! + Ха+ ° ° + хи, ! 1 Таблица 4.1.
Вычисление отклоиеиий Оенхонение Л.=х.-х е ! немеренное энееение х! Номер немеренно ! -0,8 0,2 0,2 1,2 — 0,8 д = 0,0 71 72 72 73 71 х = 71,8 где второе н третье выражения — обычные сокрашения, которые мы будем использовать, когда не возникает опасности путаницы. Понятие среднего значения, нлн среднего, конечно, хорошо знакомо большинству читателей.
Следующее наше понятне, стандартное отклонение, вероятно, менее известно. Стандартное отклонение результатов измерений хь ..., хл— зто оценка средней погрешности результатое измерений хь ..., хю которое определяется следующим образом. Если принять, что среднее х — зто наилучшая оценка величины х, то естественно рассмотреть разность х! — х = д!. Эта разность, часто называемая отклонением (нлн остатком) х, от х, показывает, насколько результат 1-ео измерения х; отличается от среднего значения х. Если отклонения д! = = х! — х очень малы, то результаты наших измерений близки друг к другу н, вероятно, очень точны. Если некоторые нз отклонений велики, то наши измерения, очевидно, не очень точны.
Чтобы быть уверенными, что мы усвоили понятие отклонения, вычислим отклонения для набора пяти результатов Глава 4 измерений, приведенных в (4.1), Результаты расчета представлены в табл. 4.1. Обратите внимание, что отклонения (конечно же) не все одинаковы; г(г мало, если в гьм результате измерения х; оказывается близким к х, но А велико, если х, далеко отстоит от х.
Заметьте также, что некоторые из А положительны, а некоторые — отрицательны, так как некоторые х; должны быть больше среднего значения х, а некоторые — меньше. Чтобы оценить достоверность результатов измерений хь ..., хз в среднем, мы могли бы, естественно, попытаться усреднить отклонения А. К сожалению, как показывает табл. 4.1, среднее значение отклонений равно нулю. На самом деле так будет в случае любого набора результатов измерений хь ..., хн, поскольку уже само определение среднего значении х ведет к тому, что А=к; — х иногда положительны, а иногда отрицательны таким образом, чтобы д было равно нулю (см.
задачу 4.3). Очевидно поэтому, что среднее отклонений — это не лучшая характеристика достоверности результатов измерений хь..., хи. Лучший способ обойти эту неприятность — возвести в квадрат все отклонения, которые в этом случае будут образовывать набор положительных чисел, а затем усреднить эти числа '). Если мы теперь извлечем квадратный корень из полученного результата, то получим величину, которая измеряется в тех же единицах, что и сама величина х.
Это число называется стандартным отклонением хь ..., хи и обозначается о,: о„= ~,/ — ~~ (д,)' = мг / —, ~~ (х, — х)'. (4.6) ! ч Исходя из этого обозначения, стандартное отклонение (или СО) можно описать как среднеквадратичное отклонений результатов измерений хь ..., хи'). Можно показать, что это полезный способ оценки достоверности измерений. (Как мы увидим вскоре, определение (4.6) иногда модифицируется таким образом, что в знаменателе вместо Лг стоит Л' — 1.) '1 Другой возможностью было бы вычисление абсолютных знзчений 1А( и последующее их усреднение, но окззынзется, что усреднение Лг бо- 2 лсе полезно.
Среднее значение (г(г) иногда нззыезют (ошибочно) средним отклонением. ') В оригинале для этого понятия автор приводит известкую вббревизтуру нз английском языке — (х.М. 3. (гоо( тези зйпзге). В литературе нз русском языке нет эквивалентной общепринятой зббревнзтуры, однако и этой книге для удобства мы будем использовать аббревиатуру СО (стзндзртное отклонение), — Прим.
иерем Статистический анализ случайных погрешностей 03 Таблица 4.2. Вычисление стандартного отклонения Номер измерении Измеренное Отихоиенне и а значение к и =х.— х з 0,64 0,04 0,04 1,44 0,64 — 0,8 0,2 0,2 1,2 — 0,8 71 72 72 73 71 бз = 2,80 х = 71,8 Извлекая квадратный корень, находим стандартное отклонение ах нн 0,7. (4.8) Таким образом, средняя погрешность результатов пяти измерений 71, 72, 72, 73, 71 приближенно равна 0,7. К сожалению, имеется альтернативное определение стандартного отклонения. Существуют теоретические аргументы, согласно которым фактор )р' в (4,6) следует заменить на (1р' — 1), и поэтому стандартное отклонение а, для хь ..., хл определяется как (4.9) Здесь мы не будем пытаться доказать, что определение (4,9) для ох лучше, чем (4.6), но отметим, что новое «улучшенное» определение, очевидно, приводит к немного большему значению, чем старое (4.6), и это несколько компенсирует недо- Чтобы вычислить стандартное отклонение а, в соответствии с (4.6), мы должны сначала рассчитать отклонения ди возвести их в квадрат, усреднить эти квадраты и затем извлечь квадратный корень из среднего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
