Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как было отмечено, статистический анализ различных значений й приводит к следующей случайной составляюшей И: бй,л=(7-=0,06 Н/м. (4.2!) Пусть нам известно, что весы, используемые для измерения т, и часы, используемые для измерения Т, имеют систематические погрешности 1 и 0,5% соответственно. Теперь мы можем найти систематическую составляюшую погрешности И методом расчета ошибок в косвенных измерениях, причем возникает только один вопрос: складывать ошибки квадратичио или непосредственно? Поскольку ошибки в т и в Т определенно независимы и поэтому возможна некоторая компенсация, то, вероятно, разумно использовать квадратичную сумму, которая дает ') сист, 4~/( сист ) + (2 сист ) (4 22) = )/1 + 1 % = 1,4 % (4.23) и, следовательно, И,и„ = (13,16 Н/м) ° 0,014 = 0,18 Н/м.
(4.24) Теперь, поскольку мы оценили как случайную, так и систематическую составляющие И, нам остается только как-то скомбинировать их, чтобы получить саму величину бй. Можно было бы обосновать необходимость нх квадратичного сложения, и тогда полная погрешность имела бы вид и = ч/(бй,.)2+ (И.и„)' = (4.25) — ~(~,06) .(.(0,)8)' — 0,2 Н( . (4.26) В этом примере систематическая погрешность полностью доминирует над случайной.
Выражение (4.25) для И не может быть строго доказано. Не ясен также смысл полученного выражения; например, ') Должны ли мы использовать квадратичную илн обычную сумму, а действительвости зависит от того, что подразумевают под утверждением, что весы имеют «1 0/6-ную систематическую погрешность».
Если зто утверждение имеет тот смысл, что ошибка определенно не превышает ! 0)) (и аналогично для часов) то адекватным будет прямое сложение и бй„„ тогда определенно не будет превышать 2 0/0. С другой стороны, поверка всех весов в лаборатории может показать, что для них справедливо нормальное распределение, и поэтому 70% из ннх ил(еют погрешность меньшую, чем ! ()0 (и аналогично для часов). В этом случае мы должны были бы использовать квадратичное сложение, иах в (4.22), н приписывать 70 1()-ную вероятность для получающегося интервала. Статистический ана чиз случайных погрешностей 103 мы, по-видимому, не можем утверждать, что с вероятностью 70о/о истинное значение лежит в интервале й ~ бя.
Тем не менее это выражение дает по крайней мере разумную оценку полной погрешности в условиях, когда наши приборы имеют систематические погрешности, которые мы не смогли ликвидировать. В частности, сушествует один важный аспект, вследствие которого результат (4.25) правдоподобен и поучителен. В равд 4.4 мы видели, что стандартное отклонение среднего оа стремится к нулю с увеличением числа измерений М.
Это положение означало, что если вы запаслись терпением и выполняете огромное число измерений, то можете бесконечно уменьшать погрешность, не совершенствуя вашего оборудования или метода измерений. Теперь мы можем видеть, что в действительности это не так. Увеличение М приведет к неограниченному уменьшению случайной составляюшей бй,„=о-.
Но любая данная аппаратура характеризуется ыекогорыли систематическими погрешностями, которые не уменьшаются, когда мы увеличиваем М. Из (4.25) ясно, что нет большой выгоды в дальнейшем уменьшении бй„ь когда величина бл„стала меньше б)с,.„. В частности, полная бй никогда не может быть меньше б(с,.„. Все это только подтверждает то, о чем мы уже догадывались, а именно что на практике значительное уменьшение погрешности требует улучшений в методе измерений илн в оборудовании, чтобы уменьшить как случайную, так и систематическую ошибки в каждом отдельном измерении. Задачи Напоминание: звездочка у номера задачи означает, что задача решается пли ее ответ приводится в разделе «Ответы» в конце книги.
"4.1 (равд, 4.2). Студент измеряет величину х пять раз и получает результаты б, 7, 9, 7, 8. Вычислите среднее значение х и стандартное отклонение и,. (Выполните расчеты самостоятельно, не пользуясь калькулятором. Укажите, какое определение и, вы используете.) 4.2 (равд. 4.2). Вычислите среднее значение и сгандартное отклонение результатов десяти измерений, приведенных в (4.10), (Ответы приведены в тексте книги, ио важно, чтобы вы действительно выполнили расчеты сами. Вам необходимо подумать об аккуратной, красивой форме представ.
ления результатов расчетов; одна из возможностей показана в табл. 4 2.) *4.3 (равд. 4 2) Среднее х от М величин хь ..., хч определено как нх сумма, деленная ва ,Ч, т. е. х = ( Ч~~~~ к1)/й1. Отклонение величины х~ есть разность и, = х~ — х. Покажите, что среднее отклонений д,..., и и''" м автоматически равно нулю, Если вы не привыкли к обозначению ~, то, возможно, вам полезно будет решить зту задачу как с этим обозначением, так и без него. Напри.
мер, запишите сумму~ (х; — х)как(х1 — х)+(хх — х)+ ... +(х,ч — х) н произведите перегруппировку членов. Глана 4 104 *4.4 (равд. 4.2). Чтобы вычислить стандартное отклонение о, для ?7 измеРений хь , хя, необходимо найти сУммУ Ч~~~~ (х! — х). Докажитв, — 2 что эту сумму можно представить в виде [(х! — х) ~ = [ ~ (х;) 1 — Ух . (4.27) (Это хорошее упражнение по использованию обозначении „г . Результат очень полезен на практике, и именно по этой формуле вычисляется и, во всех карманных калькуляторах.) 4.5 (равд.
4.2). Вычислите снова стандартное отнлонение по данным задачи 4 1, используя тождество (4.27). 4.6 (равд. 4.3). Студент измеряет период колебаний маятника трн раза и получаеэ результаты 1,6; 1,8; 1,7 (все в секундах). Чему равны среднее значение и стандартное отклонение» (Используйте определение (4.9) стандартного отклонения.) Если студент произведет четвертое измерение, то иакова вероятность того, что результат этого нового измерения будет лежать вне интервала от 1,6 до 1,8 с? (Очевидно, эти числа выбраны не слу.
чайно. В гл. 5 мы увидим; как решать такие задачи в случае произволь. ных границ интервала.) *4.7 (равд. 4.3). а. Вычислите среднее 1 и стандартное отклонение щ для следующих 30 результатов измерений времени ! (все в секундах). Вам потребуется калькулятор, но вы будете нажимать гораздо меньше кнопок, если догадаетесь, что необходимо усреднять, в сущности, только две последние цифры, и если вы перед вычислениями сдвинетс десятичную запятую на две позиции вправо. Если у вашего калькулятора нет операцин вычисления стандартного отклонения, то вам, вероятно, следует воспользоваться тождеством (4.27) 8,16;8,14;8,12;8,16;8,18;8,10,8,18,8,18;8,18;8,24; 8,16;8,14;8,17;8,18;8,2118,1208,12;8,17;8,06;8,10,' 8,12;8,10,8,14;8,09;8,! 6;8,16;8,21;8,! 4;8,16;8,! 3.
б. Мы знаем, что если выполнить большое число измерений, то можно ожидать, что приблизительно 70 е(«всех результатов окажется в пределах о, от 1 (т.е. внутри интервала 1ь-о~). Как будет показано в гл. 5, мы также можем ожидать, что приблизительно 95 с(з всех результатов окажется в пределах 2п~ от 1 (т, е. внутри интер. вала ! ч- 2о,). Для результатов из задания «а» определите, сколько из них, как вы ожидаете, будет лежать зне интервала 19- а~? А сколько на самом деле? Ответьте на эти же вопросы в случае интервала г ~ 2пь 4.8 (равд. 4.4).
Вычислите стандартное отклонение среднего для пяти измерений из задачи 4.1. Какой итоговый вывод, включая приведение по. грешности Ьх, должен сделать студент относительно х? *4.9 (равд 4.4). Если опираться на данные 30 измерений из зада. чн 4.7, какова будет ваша наилучшая оценка для времени и его погреш« ности прн условии, что все погрешности случайны? 4.10 (равд. 4.4).
После нескольких излгерений скорости звука и студент приходит к выводу, что стандартное отклонение измерений равно и„ = 10 м/с. Предполагая, что все ошибки случайны, студент может добиться любой желаемой точности, выполняя достаточное число измерений и усредняя. Сколько измерений необходимо сделать, чтобы конечная погрешность результата составляла с83 м/с? А сколько, если погрешность будет всего 0,5 м!'с? *4.11 (разд. 4 5). В табл.
4.3 приведены результаты десяти измерений длины ! и шнрвпы Ь прямоугольнина, которые нспользу|отся для вычисления площади А = 1Ь. Если бы измерения делались так, что каждый раз Статистический анализ случайных погрешностей 105 определялась пара значении (одно значение ! и одно Ь), то было бы естественно перемвожкть результаты в каждой паре и получить значение А: первое ! умножается на первое Ь и получается первое значение А и т д, Вычислите таким образом десять значений А, затем среднее А, стандартное отклонение оз и стандартное о!хлопание среднего а-.
Сравните ваши л' результаты для А и о — с ответами (4.13), полученными с помощью вы- А числений 1 и 6 (когда А определяется как произведение !Ь и погрешности рассчитываются как в косвенных измерениях). (В случае большого числа измерений два метода должны приводить к одинаковым результатам.) 4.12 (равд. 4.3). Закончите вычисления коэффициента упругости пружины Ь из табл. 4.4. Потом рассчитаите я и его погрешность (т. е. СОС, и ). ь4.13 (равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
