Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(Можно начертить также график зависимости и, от хл, но для наших целей более удобен график зависимости гл от хь) Данные, приведенные на гистограмме типа рассмотренной, весьма наглядны, чем широко пользуются авторы газетных и журнальных публикаций. Гистограмма, подобная приведенной на рис.
5.1, может быть названа гистограмл«ой для дискретной величины, так как распределение результатов показано высотой вертикальных черточек над дискретными значениями хь Такой тип гистограмм удобен в тех случаях, когда значения х, далеко отстоят друг от друга и имеют целые значения. (Например, оценки студентов на экзамене — обычно целые числа, и их удобно представить на такой гистограмме.) Однако в большинстве случаев измерения не приводят к точным целым значениям, так как большинство физических величин имеет непрерывный диапазон возможных значений.
Например, вместо десяти длин, приведенных в (5.1), вы можете получить следующие существенно более вероятные значения: 26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,1; 23,9; 25,3; 25,4. (5.9) Гистограмма, построенная как для дискретной величины, для этих десяти значений состояла бы из десяти отдельных черточек одинаковой высоты и содержала бы сравнительно мало информации. Если даны результаты измерений, подобные приведенным в (5.9), то лучше всего разбить диапазон возможных значений на подходящее число интервалов, или «бинов», и сосчитать, сколько значений попадает в каждый бин. Например, мы могли бы сосчитать число результатов измерений из (5.9) между х = 22 н 23, между х= 23 и 24 н т. д. Результаты такого подсчета представлены в табл. 5.2.
(Если результат измерения попадет точно на границу между двумя бинами, то необходимо будет решить, куда его поместить. Простой и разумный выход — половину результатов приписывать одному бину и половину †друго.) Результаты из табл. 5.2 можно нанести на график, который мы назовем гистограммой для непрерывной величины, как показано на рис. 5.2. На этом графике доля от полного числа измерений, которая приходится на каждый бин, пока- Таблица 5.2 Бии 22 — 23 23-24 24 — 25 25 — 26 26 — 27 27 — 23 Число отсчетов ! 3 1 4 1 О и бине Нормальное распределение Х гг уу л л л гу л м — Разыер дина д„ Рис. 5 2. Гистограмма для непрерывной переменной, показывающая долю измерений з, которая попадает в бины от значения 22 до 2З, от 23 до 24 и т, д. Площадь прямоугольника над каждым интервалом равна доле из.
мерений, которые попадают в этот интервал. Таким образом, если площадь заштрихованного пряыоугольника равна 0„3, то это означает, что 31!О всех измерений лежат между 23 и 24. вана как плошадь прямоугольника, расположенного над соответствующим бином. Таким образом, заштрихованный прямоугольник над интервалом от х = 23 до х = 24 имеет плошадь 0,3 Х 1 = 0,3, откуда следует, что з/щ результатов измерений попало в этот интервал.
В общем случае мы обозначим ширину й-го бина через Лы (Эти ширины обычно одинаковы, хотя это не обязательно.) Высота )з прямоугольника над этим бином выбирается таким образом, чтобы площадь ГьЛз была равна гаЛь =доля измерений в й-м бине. Другими словами, в случае гистограммы для непрерывной величины площадь ГьЛз й-го прямоугольника имеет тот же смысл, что и высота й-й черточки гз в случае гистограммы для дискретной величины.
Следует соблюдать некоторую осторожность при выборе ширины бинов Л, для гистограммы. Если бины выбраны слишком широкими, то все (или почти все) отсчеты попадут в один бин и гистограмма выродится в малоинтересный единственный прямоугольник. Если же бины выбраны слишком узкими, то лишь очень небольшое их число будет содержать более чем один отсчет и сама гистограмма будет состоять из большого числа узких прямоугольников, причем почти все эти прямоугольники будут иметь одинаковую высоту.
Ясно, что ширину бина следует выбирать таким образом, чтобы в каждом из них содержалось по нескольку отсчетов. Следователь- Глава 5 ио, если полное число измерений У мало, мы должны выбирать довольно широкие бины, но с увеличением Ж обычно становится возможным выбрать более узкие бины. 5.2. Предельные распределения В большинстве экспериментов если увеличивать число измерений, то гистограмма будет принимать некоторую определенную простую форму. Это хорошо видно из рис. 5.3 и 5.4, в которых содержатся результаты 100 и 1000 измерений той же самой величины, что и на рис.
5.2. После 100 измерений на гистограмме вырисовывается единственный пик н она становится более симметричной. После 1000 измерений могкно вполовину уменьшить ширину бинов, и гистограмма становится совсем гладкой и регулярной. Эти три схемы иллюстрируют важное свойство большинства измерений. С ростом числа измерений до бесконечности их распределение стремится гг гу л гк ы г л Рнс. 5.3.
Гистограмма результатов 100 нзмереннй той же величины, что н на рнс, 5.2. Рнс. 5.4. Гнстограмма результатов 1000 взмереннй той же величины, что н на рнс. 5.3. Прерывистая кривая — предельное распределение, Нормальное распределение х хоах Рис. 5.5. Предельное распределение )(х). и — после маожества измерений доля, иаторая попадает между х и х О Нх, равна плошали (1хых узкой полосы, б — доля, которая попадает между х о н х Ь, равна заштрихованной плижадн, к некоторой определенной непрерывной кривой. Получающаяся непрерывная кривая называется предельньгйг распределенмелг').
Таким образом, для измерений, представленных на рис. 5.2 — 5.4, предельное распределение представляет собой симметричную колоколообразную кривую, показанную на рис. 5.4. Следует подчеркнуть, что предельное распределение — это теоретическая идеализация, к которой никогда нельзя абсолютно точно приблизиться на эксперименте. Чем больше измерений мы делаем, тем ближе становится гистограмма к предельному распределению. Но лишь в случае бесконечного числа измерений и использования бесконечно узких бинов мы смогли бы получить само предельное распределение.
Тем не менее имеются надежные предпосылки, что почти для всех измерений существует предельное распределение, к которому наша гистограмма все более прибиижается по мере того, как мы делаем все большее число измерений. Предельное распределение, подобное гладкой кривой на рис. 5.4, определяет функцию, которую мы обозначим )(х). Значение этой функции пояснено на рис. 5.5. С ростом числа измерений величины х наша гистограмма будет приближаться к предельной кривой ((х). Следовательно, доля измерений, которая попадает в любой малый интервал от х до х+ г(х, будет равна площади ('(х)с(х заштрихованного участка на рис. 5.5, а: гр(х) з(х = доля измерений, попадающая в интервал от х до х+гзх.
(5.10) В общем случае доля числа измерений, которая попадает в интервал между любыми двумя значениями а и (), равна площади под кривой между х = а и х = (у (рис. 5.5,б). Но ') Некоторые из обшеупотребительньзх синонимов (или приблизнтель. иых синонимов) понятия предельного распределения: родительское распределение, аспмптотиисское родительское распределение, генеральное распределение н родительская популяция, (В литературе на русском языке Употребляется также термин «генеральная совокупность», — Прин, ларса.) 114 Глава ь" зта площадь есть определенный интеграл от !(х).
Таким образом, мы получили следующий важный результат: ь ! (х) дх = доля измерений, попадающая в интервал от х=а до х=Ь. (5.11) Важно понять значение утверждений (5.10) и (5.!1). Они оба определяют долю измерений, которая, как ожидается, будет лежать внутри некоторого интервала в случае очень большого числа измерений. То же самое можно выразить другим очень полезным способом: !(х)дх есть вероятность того, что единичное измерение х приведет к результату, лежащему в интервале от х до х + дх, т. е. ! (х) дх = вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, лежащему в интервале от х до х+ дх.
(5.!2) ~ 1 (х) дх = 1. (5.13) Это равенство — полный аналог условия нормировки (5.8), когда ~, Р„=1, и поэтому говорят, что функция !(х), удовлетворяющая (5.13), нормирована. Читатель может быть введен в заблуждение пределами .+со в интеграле (5.13). Но эти пределы вовсе не означают, что мы действительно ожидаем получать результаты, изме- ь Аналогично интеграл ~ ! (х)дх определяет вероятность того, что результат любого единичного измерения попадет в интервал от х = а до х = Ь. Мы пришли к следующему важному заключению: если бы нам было известно предельное распределение !(х) для результатов измерений данной величины х, полученных с помощью данной аппаратуры, то мы знали бы вероятность получения результата в любом заданном интервале а ( х ~ Ь.
Так как полная вероятность получения результата, лежащего между — ьь и +ьь, должна быть равна единице, то предельное распределение !(х) должно удовлетворять условию Нормальное распределение рис. 5.6. два предельных распределения: одно для измерений с высокой точностью, а другое — с малой. няющиеся от — сю до +оо. Совсем наоборот. В любом реальном эксперименте результаты всех измерений попадают в некоторый достаточно малый конечный интервал. Например, всв результаты измерений в случае рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
