Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Эта процедура определения наилучших оценок для Х и а называется в статистике принс)ипа,и,накситиалвнога правдопо- ') Мы используем известный результат, а именно что вероятность одновременной реалвзапнн нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого события в отдельности. Например, вероятность того, что прн бросании монеты выпадет «орел», равна рь а вероятйость того, что чри бросаиин кости выпадет «шесть», равна у«. Следовательно, вероятность выпадения «орла» и «шести» есть (га) (1)в) = гй». Глава а шз добия.
Кратко его можно сформулировать следующим образом. Для данных М наблюденных значений хн ..., х„наилучшими оценками Х и о будут такие значения, для которых эти значения х!, ..., хн наиболее вероятны. Таким образом, наилучшие оценки для Х и и — это такие значения, для которых Рх,а(хь ..., хн) достигает максимума, где Рх,,(х„..., хн) —,, е ("! ) l е (5.41) С помощью этого принципа мы легко можем найти наилучшую оценку для истинного значения Х. Очевидно, что (5.41) достигает максимума, когда сумма в показателе экспоненты достигает,ииншиума. Таким образом, наилучшая оценка для Х вЂ” это такое значение Х, для которого сумма 2, (х! — Х)'/ов ! ! (5.42) достигает минимума.
Чтобы найти этот минимум, продиффе- ренцируем сумму по Х и приравняем производную нулю, что дает ,'х, — Х) = О ! или Х = — (наилучшая оценка). Х" (5.43) ='1/а а,(!,— х!' ае У ). !544! ! ! Истинное значение Х неизвестно. Таким образом, на практике мы должны заменить Х в (5.44) нашей наилучшей оцен- Иными словами, наилучшая оценка истинного значения Х есть среднее наших М измерений, х= 2 х!(У, — результат, который мы принимали без доказательств начиная с гл. 1. Найти наилучшую оценку о, ширины предельного распределения, немного труднее, так как вероятность (5.41) представляет собой более сложную функцию о. Мы должны продифференцировать (5.41) по а и приравнять производную нулю.
(Мы оставляем детали вычислений читателю, см. задачу 5.10.) Эта процедура дает значение и, при котором (5 41) достигает максимума и которое, следовательно, представляет собой наилучшую оценку и 129 Нормальное распределение кой Х, а именно средним х. Это приводит к оценке (5.45) Другими словами, наша оценка ширины о предельного распределения есть стандартное отклонение М наблюденных значений хь ..., хл, как первоначально было определено в (4.6). Читатель может быть удивлен тем, что оценка (5.45) совпадает с нашим первоначальным определением стандартного отклонения (4.6), в котором используется !у'„вместо нашего «улучшенного» определения с делителем Ф вЂ” 1. В действительности при переходе от наилучшей оценки (5.44) к выражению (5.45) мы умолчали об одной тонкости. Наилучшая оценка (5.44) включает истинное значение Х, в то время как в (5.45) мы заменили Х на х (нанлучшую оценку Х).
Эти числа, вообще говоря, не одинаковы, и легко видеть, что число (5.45) всегда меньше или почти равно (5.44)'). Таким образом, при переходе от (5.44) к (5.45) мы недооцениваел! ширину о. Довольно легко оценить, во сколько раз (5.45) меньше (5.44), хотя мы не будем здесь этого делать.
В результате получим, что наилучшим приближением к о будет не (5.45), а то, что получится при умножении (5.45) на множитель ~/Л!)(М вЂ” 1). Таким образом, наш окончательный вывод состоит в том, что наилучшая оценка ширины в — это «улучшенное» стандартное отклонение для измеренных значений х!, ..., хл! ! о='у —, у (х,— х)з (наилучшая оценка). (5.46) ! ! Теперь, возможно, настало время дать обзор того довольно сложного материала, который мы изложили. Во-первых, если результаты измерения х подвержены только случайным ошибкам, то их предельное распределение есть функция Гаусса уя,о(х) с центром в истинном значении Х и с шириной о. Ширина а — это 68Ъ-ный доверительный предел, для которого вероятность того, что любое измерение попадает в интервал в пределах о от истинного значения Х, составляет 68с1с.
На практике ни Х, ни а не известны. Вместо них мы знаем наши И измеренных значений х!, ..., хв, где й! так велико, как позволяют получить наше время и терпение. Основываясь на ') Если рассматривать (5.44) кан функцию Х, то мы видели, что ата функция достигает минимума при Х х. Таким образом, (5.45) всегда меньше или равно (5.44). )зо Глава б этих М измеренных значениях, мы показали, что наилучшей оценкой истинного зкачения Х будет среднее х=,) хг/Ж и наилучшей оценкой ширины а будет стандартное отклонение о«для хь ..., хи, как определено в (5.46).
В равд. (5.7) мы обсудим надежность х как наилучшей оценки Х, и аналогично мы могли бы рассмотреть надежность о„как наилучшей оценки а, но здесь мы этого делать не будем. Все результаты, полученные в последних двух разделах, зависят от предположения, что данные наших измерений распределены нормально'). Хотя это и разумное допущение, оно о~носится к разряду допущений, которые трудно проверить на практике, и иногда не совсем верно. Но и в этом случае мы должны подчеркнуть, что, если результаты измерений имеют ме нормальное распределение, оно почти всегда является приблизительно нормальным, и поэтому вполне допустимо использовать понятия этой главы по крайней мере как хорошие приближения.
5.6. Обоснование квадратичного сложении Теперь мы можем вернуться к проблеме расчета ошибок в косвенных измерениях, которую мы уже рассматривали в гл. 3. Тогда мы постулировали, что если ошибки случайны и независимы, то их можно складывать квадратично в соответствии с определенными стандартными правилами, например либо в соответствии с «простымн правилами» (ЗЛ6) и (3.18), либо в соответствии с общим правилом (3.47), которое включает эти «простые» правила как частные случаи. Теперь мы мозкем обосновать это квадратичное сложение. Задача расчета ошибок в косвенных измерениях возникает в случае, когда мы измеряем одну нли более величин х, ..., з и определяем их погрешности, а затем используем измеренные значения для расчета некоторой величины г)(х...,, з). Главная трудность, конечно, состоит г, том, чтобы найти погре",нность полученного значения г).
Если величины х, ..., г подвержены только случайным ошибкам, то они будут распределены нормально с параметрами ширины ') о„..., о„ которые мы будем рассматривать как погрешности любого единичного измерения соответствующих величин. Проблема, ') И что систематические ошибки уменьшены до пренебрежимо малого уровня. ') Имея дело с несколькимн различными измеренными величинами х, ..., а, мы будем использовать нижний индекс х, ..., г у параметра ширины соотяетствующего предельного распределения, гтобы как-то различать зги параметры Таким образом, о обозначает ширину распределения Гаусса г с„(х) в случае измерений х и т. д, Нормальное распределение х' ризмерениое) хег Ц=Х+~ Иычислепнлн) Рис.
й 14. Если измеренные значения х распределены нормально с центром х = Х и шириной а„то рассчитанные значения д = х+А (с фикси. ропанным и изпестным Л) будут распределены нормально с центром д = Х+А и той же шириной а. которую теперь надо решить, состоит в следующем: что мы можем сказать о распределении значений д, если известны распределения результатов измерений х, ..., г? И в частности, какова ширина распределения значений д? Измеренная величина плюс фиксированное число Мы начнем с рассмотрения двух очень простых частных случаев. Во-первых, предположим, что мы измеряем некоторую величину х и хотим вычислить значение величины 2?=х+А, (5.47) где А — некоторое фиксированное число без погрешностей (например, А = 1 или и).
Предположим, что результаты измерений х распределены нормально около истинного значения Х с шириной о„, как показано на рис. 5.14,а. Тогда вероятность получения любого значения х (в малом интервале 2(х) равна 1» (х) с(х или (вероятность получения значения х)-е "'.
(5.48) Наша цель — найти вероятность получения любого значения величины д, определенной (5.47), Из (5.47) ясно, что х = = д — А и, следовательно, (вероятность получения значения д) = = (вероятность получения х = д — А). Выражение для второй вероятности дается (5.48), и поэтому (вероятность получения значения д) 2/ 2 2/ 2 и ' х=п - ич-А)-х1 /за — ~а-(х+лз] /за т х (5.49) (зз Глава 5 Из результата (5А9) следует, что вычисленные значения д распределены нормально с центром в Х+А и с шириной ст„ как показано на рис.
5.14,б. В частности, погрешность в сг та же самая (а именно о,), что и в х, как дало бы наше правило (3.16). Измеренная величина умножается на фиксированное число В качестве второго простого примера рассмотрим случай, когда измеряется х и рассчитывается величина г(=Вх, где  — фиксированное число (например, В = 2 или В = и)'. Если результаты измерений х распределены нормально, то на основании тех же аргументов, что н ранее, мы приходим к выводу, что ') (вероятность получения значения д) — (вероятность получения х = д/В) ехр~ — ( — — Х) /2п,~ = = ехр ~ — (г) — ВХ)'/2В'о'1.
(5.50) Другими словами, значения д = Вх будут распределены нормально с центром с) = ВХ и с шириной Ва„как показано на рис. 5.15. В частности, погрешность в д = Вх в В раз больше, чем в х, как дало бы наше правило (3.18), гг-Вю Рис, 5.(5. Если измеренные значения х распределены нормально с центром х = Х и шириной о„то рассчитанные значения д = Вх (с фиксированным и известным В) будут распределены нормально с центром ВХ и шириной Во, ') Здесь мы введем альтервативное обозначение ехр(х) для экспоненциальиой функции ехр(х) = е'. В случае, когда показатель х становятся сложным выражением, обозначение ехр более удобно при написании, 1зз Нормальное распределение Л'"Я Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
