Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эта ширина о»есть 68%-ный доверительный предел для нашего эксперимента. Если мы найдем среднее У измерений однахсды, то мы могкем быть на 68Чс уверены, что наш результат будет лежать в пределах ох от истинного значения Х. Именно это мы и хотели бы понимать под погрешностью среднего. Этот результат также поясняет, 139 Нормальное распределение почему такая погрешность называется стандартным отклонением среднего.
С помощью такого простого и изящного доказательства мы обосновалн все результаты относительно случайных погрешностей, приведенные в предыдуших главах. 5.8. Коэффициент доверия Теперь мы можем вернуться к двум вопросам, затронутым впервые в гл. 2, на которые до сих пор не было дано исчерпывающего ответа. Во-первых, какой смысл мы вкладываем в ставшее уже привычным выражение: «Мы в разумной степени уверены, что некоторая измеренная величина лежит в интервале х„„~ бх»Р Или, выражаясь определеннее, как можно дать количественную характеристику степени нашего доверня к любому экспериментальному результату? Что касается первого вопроса, то ответ должен быть теперь ясен. Если мы измеряем величину х несколько раз (как это обычно бывает), то наша наилучшая оценка для х есть среднее х, а его стандартное отклонение вл есть наша наилучшая оценка погрешности среднего.
Мы могли бы сделать вывод, что (значение х) = х ~ ох, подразумевая под этим, что согласно нашим наблюдениям можно ожидать, что в 68 $ случаев результаты любых последующих измерений Х, сделанных с той же тщательностью, попадут в интервал х ~ ох. Нашу погрешность можно оценить иначе. Например, мы могли бы предпочесть такую характеристику: (значение х) = х ~- 2ое. В этом случае указывался бы интервал, в котором, как мы ожидаем, будет лежать 957о результатов всех однотипных измерений. Ясно, что при представлении любого измеренного значения главное — привести интервал (илн погрешность измерения) и коэффициент доверия, соответствующий этому интервалу. Наиболее часто приводится стандартное отклонение результата, которое понимается как 68'$-ный доверительный предел, т.
е. коэффициент доверия в этом случае равен 68'$. Как подчеркивалось в гл. 2, почти все экспериметальные заключения содержат сравнение двух или более чисел. Вооружившись статистической теорией, мы теперь можем дать количественные критерии для многих таких сравнений. Сейчас мы рассмотрим только один тип эксперимента, в котором ио Глава 5 получают некоторое число и сравнивают полученный результат с известным ожидаемым ответом.
Заметьте, что под этот частный случай попадают многие интересные эксперименты. Например, в эксперименте по проверке закона сохранения импульса мы могли бы измерить начальный и конечный импульсы р и р'„чтобы проверить, что р = р' (в пределах погрешностей), но мы можем в равной мере считать, что ищется значение (р — р'), которое сравнивается с ожидаемым ответом, равным нулю. В общем случае, когда мы хотим сравнить результаты любых двух измерений, в которых, по предположению, измеряется одна и та же величина, мы можем образовать их разность и сравнивать ее с ожидаемым ответом, равным нулю.
Любой другой эксперимент, в котором измеряется величина (подобная д, ускорению свободного падения), для которой известно точное принятое значение, также попадает под этот тип экспериментов, причем ожидаемым результатом является известное принятое значение, Предположим, что студент измеряет некоторую величину х (подобную разности двух импульсов, которые предположительно равны) в виде (значение х) = х«,«» ~ а, где о обозначает стандартное отклонение его результата. (Это будет стандартное отклонение среднего, если х„,„, есть среднее нескольких измерений.) Пусть затем он сравнивает свой результат с ожидаемым ответом х, . В гл. 2 мы отмечали, что если различие )х«,„» — х,„~ меньше (или только незначительно больше), чем а, то согласие будет удовлетворительным, но если ~х...
— к. ~ много больше, чем и, то оно неудовлетворительно. Сами по себе эти критерии правильны, ио не дают никакой количественной характеристики того, насколько хорошо или плохо это согласие. Они также не говорят нам ничего о границах, которые еще допустимы для согласия. Будет ли различие в 1,5о свидетельствовать об удовлетворительном согласии? А в 2о? Теперь мы сможем ответить на эти вопросы, если предположим, что результаты измерений нашего студента подчиняются нормальному распределению (а это определенно разумно). Предположим две рабочие гипотезы относительно этого распределения: а) центр распределения совпадает с ожидаемым ответом хож; б) параметр ширины распределения равен оцененной студентом величине о. Гипотеза «а», конечно, заключается в том, что студент при измерении получает правильный ответ.
Она добавляет к сделанным допущениям еще то, что систематические ошибки 141 Нормальное рвспределеиие уменьшены до пренебрежимо малого уровня (вследствие чего распределение имеет центр на истинном значении) и что истинное значение на самом деле равно х, (т. е. основания, в соответствии с которыми ожидается х,, правильны). Гипотеза «б» представляет собой некоторое приближение, так как а в лишь оценка стандартного отклонения, но это хорошее приближение, если число измерений, на основании которых определено значенгие о, велико '). Две наши гипотезы, вместе взятые, добавляют к сделанным ранее допушениям еще одно: измерения и вычисления студента в основном правильны.
Теперь мы должны решить, является ли полученное студентом значение х„я, разумным, если справедливы наши гипотезы. В случае утвердительного ответа нет оснований сомневаться в гипотезах, и тогда все в порядке, но если ответ отрицателен, то в гипотезах следует усомниться и студент должен проанализировать возможные ошибки в измерениях или в расчетах, найти ранее не обнаруженные систематические ошибки или обнаружить, что ожидаемое значение х,лг неверно. Сначала определим различие )хяа л ком( и затем Ве личину ! хнзчл Хо«! (5.67) число стандартных отклонений, на которое х„„„отличается от х, . Затем по таблицам интеграла нормальных ошибок из приложения А можно найти вероятность (которую дают наши гипотезы) получения результата, отлнчаюшегося от х,„на 1 или более стандартных отклонений.
Эта вероятность есть Р (вне М) = 1 — Р (в пределах Ы). (5.68) Если эта вероятность велика, то различие )х„я, — к.з,) вполне разумно и результат х„,л приемлем; если же вероятность (5,68) «недопустимо мала», то различие следует рассматривать как значимое (т. е. неприемлемое), и в этом случае наш ') й4ы собираемся судить о надежности измерения величины х„.„,„, сравнивая (х...,— х,„! с о, ившей оценкой ширины нормального распределения. Если число измерений, из основании которых определяется о, мало, то этв оценка может быть довольно ненадежной и соответствующие доверительные пределы ие точны (хотя все еще полезны кзк грубые оценки). и случае малого числа измерений можно точно вычислить доверительиые пределы при помощи тзк иззыввемаго «рвспределеиия Стьюден. тз для Ь, которое учитывает возможные ввривция нашей оцеикя о для ширииы. См.
ЛЫег В. 7., йоезз)ег Е. В., 1п1годпсцоп 1о Ргоьзьнцу впд о)зйз1)сз, %. Н. Егеешзп. б1Ь еб., 1977, с1ь ! О. 142 Глава 5 незадачливый студент должен попытаться определить, где он допустил ошибку. ПРЕДПОЛОЖИМ Нац()ИМЕР, ЧТО РИЗЛИЧИЕ )Хаааа Хож( равно одному стандартному отклонению. Вероятность такого илп большего различия составляет привычные 327о. Ясно, что различие в одно стандартное отклонение вполне допустимо и потому незначимо.
В противоположном экстремальном случае вероятность Р (вне Зо) составляет 0,3 о)с, и если наши гипотезы верны, то крайне невероятно, чтобы мы могли получить различие в Зв. Меняя порядок аргументов, можно сказать, что если различие, полученное студентом, равно За, то крайне невероятно, чтобы наши гипотезы были верны. Граница между принятием и отвержением гипотезы зави. сит от уровня, ниже которого мы рассматриваем различие как неразумно маловероятное.
Этот уровень зависит от точки зрения экспериментатора. Однако многие считают, что бого— хорошая граница для «неразумно малых вероятностей». Если принять этот уровень, то различие в 2а было бы уже неприемлемым, так как Р (вне 2а) = 4,6оео. Действительно, из таблицы в приложении А мы видим, что любое различие, превышаюшее 1,9бв, неприемлемо иа этом бо/о-иом уровне.
На 2о)р-иом уровне было бы неприемлемым любое различие, превышаюшее 2,32о, и т. д. Итак, у нас до сих пор нет четкого ответа на вопрос, приемлемо или неприемлемо определенное измеренное значение хи„„. Однако наша теория нормального распределения дала нам ясную количественную меру разумности любого частного результата. И это лучшее, на что мы могли бы надеяться. Имеются, конечно, более сложные типы экспериментов, анализ результатов которых требует соответственно более сложных теорий. Однако большинство основных принципов было уже проиллюстрировано нами па простом и важном примере. Читатель, который захочет познакомиться с дополнительными примерами, может найти некоторые из ннх в ч.
11 этой книги. Зпв « Напоминание: звездочка у непера задачи означает, что задача решается пли ее ответ приводится в разделе <Ответы» в конце книги. *5.1 (раза. 5.1). Студент измеряет иоиенты количества движения Ел и Е~ вращающейся системы до я после добавления дополнительной массы, Чтобы проверить закон сохранения момента количества движения, он вычисляет Е,— Е~ (ожидая результата О).
Студент повторяет изиерение 50 раз и сортирует полученные данные по бинам, как показано в табл. 5.3, где прпведеиы его результаты (в некоторых условных единицах) после 5, То п 50 измерений. Начертнте соответствующие гистограммы для каждого из этих трех слушев, (Будьте вничательны в выборе масштабов, площадь Нормальное распределение Таблица 5.3 Число результатов -9 -7 -5 -3 †! ! Э 5 7 до до до до до до до до д> -7 -5 -3 — ! ! 3 5 7 9 0 1 2 0 1 2 1 3 7 0 1 0 2 3 1 8 1О 9 После 5 измерений После 10 измерений После 50 измерений 1 0 0 1 0 0 6 4 2 ') Автор использует приняту!о в литературе на английском языке аббревиатуру для понятия «полаая ширина на половине высоты», составленную нз первых букв соответствующих англяйских слов (!и!! тт!б!5 э! ЬаИ шажшшп — Е»ХНМ). Аналогичная аббревиатура в литературе на русском языке ПШПВ не является общенрннятой. — Прим, перев. каждого прямоугольника должна равняться доле событий в соответствующем бине.) *5.2 (равд, 5.2).
Предельное распределение результатов в некотором гипотетическом измерении имеет вид С для ! х( < а. Г(х) = 0 в остальных точках. а, Используйте условие нормировки (5,13) и вычяслите постоянную С через а. б. Начертите предельное распределение. В чем смысл постоянной а» в, Используя формулы (5.15) и (5.16), вычислите среднее х и стандартное отклонение, которые получились бы в результате большого числа измерений. 5Л (разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
