Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.1 (равд. 6.2). Усердная студентка делает 50 измерений количества теплоты О, выделяющейся в определенном процессе. Она получает сред. Отбрасывание данных 153 нее значение и стандартное отклонение, равные соответственно с? = 4,8 и но = 0,4, где оба результата выражены в калориях. а. Предполагая, что результаты ее измерений подчиняются нормальному распределению, найдите вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, отличающемуся от Я на 0,8 кал или более. Снолько результатов, отличающихся от 0 на 0,8 кал, ей следует ожидать? Если бы один из результатов ее измерений был равен 4,0 кал и она решила бы использовать критерий Шовене, то отбросила ли бы она этот результат? б. Если бы один из ее результатов составлял 6,0 кал, то отбросила ли бы она его? *6.2 (равд. 6.2). Студент измеряет некоторую разность потенциалов г' десять раз и получает результаты (в вольтах) 0,86; 0,83; 0,87; 0,84; 0,82; 0,95, 0,83; 0,85; 0,89; 0,88.
а. Вычислите среднее Р и стандартное отклонение ак этих резуль. татов. б. Если он решит использовать критерий Шовеие, то должен ли он отбросить отсчет 0,95 В? Приведите подробно вашу аргументацию. *6.3 (равд. 6.2). Студент делает 14 измерений периода колебаний генератора и получает результаты (в десятых долях секунды) 7, 3, 9, 3, 6, 9, 8, 7, 8, 12, 5, 9, 9, 3. Чувствуя, что результат 12 подозрительно велик, он решает использовать критерий Шовене. Отвергнет ли он подозрительный результат? Сколько результатов, так же отличающихся от среднего, как 12, ему следует ожидать? 6А (равд.
6,2), Критерий Шовене определяет границу, за пределами которой результат измерения рассматривается как отвергаемый. Если мы делаем десять измерений и один нз результатов отличается от среднего более чем на два стандартных отклонения (в любую сторону), то этот результат рассматривается как отвергаемый; в случае 20 измерений соответствующая граница равна 2,2 стандартных отклонений.
Составьте таблицу, показывающую «границу отбрасыванияз для случаев 5, 1О, 15, 20, 50, 100, 200 и !000 измерений. (Используйте таблицу функции ошибок нз приложения Л.) Глава 7 Взвешенные средние В этой главе рассматривается проблема объединения результатов двух или более отдельных и независимых измерений одной и той же физической величины. Мы покажем, что наилучшей оценкой этой величины, основанной на нескольких измерениях, будет соответствующее взвешенное среднее этих измерений. 7.1. Проблема объединения результатов разных измерений Часто бывает так, что одна физическая величина измеряется несколько раз, возможно даже в нескольких независимых лабораториях, и тогда возникает вопрос, как объединить этн результаты, чтобы получить единственную наилучшую оценку.
Предположим, например, что два студента А и Б тщательно измеряют величину х и получают следующие результаты: студент А:, х = хх + ох и студент Б: х = хв ~ оз. (7.1) (7.2) Каждый из этих результатов, вероятна, и сам по себе является следствием нескольких измерений; например, х, может быть средним всех измерений студента А и и — стандартным отклонением этого среднего (и аналогично для ха и а ). Вопрос теперь состоит в том, как лучше всего объединить хх и хв, чтобы получить единственную наилучшую оценку для х. Прежде чем ответить на этот вопрос, заметим, что если различие ~ х„— хв ~ между двумя измерениями намного больше обеих погрешностей а„и о„, то, по-видимому, что-то не в порядке по крайней мере в случае одного из измерений.
В этой ситуации мы сказали бы, что два измерения противо- Взвешенные средние рвчивы, и необходимо тщательно проанализировать оба измерения, чтобы проверить, не подвержено ли одно из них (или оба) незамеченным систематическим ошибкам. Предположим, однако, что два измерения (7.1) и (7.2) непротиворечивы, т. е. различие ~хд — хи( нв намного больше, чем любая из погрешностей вА и ва В этом случае имеет смысл спросить, какова наилучшая оценка хе„, истинного значения Х, основанная на этих двух измерениях.
Первон реакцией могло быть вычисление среднего значения (х, +х )(2 двух измерений. Однако уже небольшое размышление заставляет предположить, что этот путь не подходит, если две погрешности в и в не равны. Вычисление проста~о среднего (ха+ х )/2 делает одинаково важными оба измерения, в то время как более точному отсчету следует приписать больший вес. 7.2. Взвешенное среднее ~Чы легко можем решить нашу задачу„используя принцип максимального правдоподобия почти так же, как мы это делали в разд. 5.5.
Если предположить, что результаты обоих измерений подчвняются распределению Гаусса, и обозначить неизвестное истинное значение величины х через Х, то вероятность того, что студент А получит свое частное значение хд, равна (7.5) Рх (хд) — — и (7.3) "А и вероятность того, что студент Б получит значение хв, равна (7.4) ав Введя индекс Х, мы указали явным образом, что эти вероятности зависят от неизвестного истинного значения. (Они также зависят от соответствующих ширин вд и в, но мы этого не указали.) Вероятность того, что студент А получит значение х„ и студент Б — значение х, равна произведению двух вероятностей (7.3) и (7.4). Теперь должно быть уже привычным, что это произведение будет экспоненцнальной функцией с показателем, равным сумме двух показателей в (7.3) и (7.4). Запишем это как Рх(хА1 хв)=РХ(хА) Рх(хв) 1 — в- дч' ВАВВ Глава 7 где мы ввели удобное краткое обозначение Ха для показа.
теля (7.6) Решение этого уравнения относительно Х есть наилучшая оценка х„„, и, как легко видеть, она равна Этот довольно громоздкий результат можно записать компактнее, если определить веса 1 1 ЫА= а И ШБ= (7.8) «А Подставляя в (7,7), получим ~АХА+ ~БХБ нана А (7.9) Если два исходных измерения одинаково точны (ох= вв и, следовательно, гвх=шв),то наш ответ сводится к простому среднему значению (ха+ х )/2. В общем случае выражение (7.9) дает взвешенное среднее; оно аналогично формуле для центра тяжести двух тел, когда шА и гв — действительные веса двух тел, а хА и хз — их координаты.
В данном случае «вес໠— обратные значения квадратов погрешностей в исход- Эта важная величина представляет собой сумму квадратов отклонений от Х результатов двух измереник, деленных на соответствующие погрешности. Ее иногда называют «суммой квадратов». Принцип максимального правдоподобия утверждает, как уже было отмечено, что наилучшей оценкой для неизвестного истинного значения Х будет такое значение, для которого Фактически полученные величины ха и х наиболее вероятны. Иными словами, наилучшей оценкой для Х будет значение, при котором вероятность (7.5) достигает максимума, или, что эквивалентно, показатель х' минимален.
(Поскольку максимизация вероятности влечет за собой минимизацию «суммы квадратов» ха, то этот метод оценки Х иногда называют «методом наименьших квадратов».) Таким образом, чтобы определить наилучшую оценку, мы просто продифференцируем (7.6) по Х и приравняем производную нулю: хл — Х хв — Х 2 а +2 а =О. ВА вв 157 Взвешенные средние иых измерениях, как видно из (7.8). Если измерения стулента А более точны, чем студента Б, то ох ( ав и, следовательно, ш„ > шв, поэтому наилучшая оценка х..., будет ближе к х„, чем к х, как и должно быть.
Наш анализ можно обобщить на случай, когда объединяются несколько измерений одной и той же величины. Предположим, что у нас есть М отдельных измерений величины х х, ~.-,оо хе~ох, ..., х„~о„ с соответствуюшими погрешностями аь .., аю Рассуждая, как и выше, мы получим, что наилучшая оценка, основанная на этих измерениях, равна взвешенному среднему Ф ш ~хз 1 хаааа к ~шз ! ! (7.10) где веса ш, — это обратные значения квадратов соответствующих погрешностей шз = 1/о,' (7.11) (7.12) где, как обычно, ги = 1/оз,. для 1 = 1„2, ..., 1Ч.
Поскольку вес гэз = 1~о,'., связанный с каждым измерением, содержит квадрат соответствующей погрешности оь то любое измерение, сушественно менее точное, чем остальные, внесет много меньший вклад в конечный результат (7.10). Например, если одно измерение в четыре раза менее точна, чем остальные, то его вес в 16 раз меньше, чем другие веса, и во многих случаях это измерение можно просто игнорировать.
Поскольку конечный результат (7.10) для х„,„, — это простая функция исходных значений хн ..., хю то довольно просто вычислить погрешность нашего результата методом расчета ошибок в косвенных измерениях. В задаче 7.5 вам предлагаетси проверить, что погрешность результата (7.10) для хаааа равна 158 Глава 7 7.3.
Пример Три студента измеряют сопротивление несколько раз и получают три следующих ответа (в омах): (значение первого студента для тг) = 11-~ 1; (значение второго студента для /?) = 12 ~ 1; (значение третьего студента для /?) = 10 ~ 3. Если даны эти три результата, то какова наилучшая оценка для сопротивления /?? Три погрешности ог, ом оз равны соответственно 1, 1 и 3. Следовательно, соответствующие три веса сп, = 1/о" ,равны 1 шз= 1 шз= 9' Таким образом, в соответствии с (7.10) наилучшая оценка есть ш /(! (1 11) + (1 12) + ('/ 10) ю, 1+1+ '/. = 11,42 Ом. Погрешность этого результата определяется (7.12) как ол„, „— — ( ) ш1) =(! + 1+ — ) = 0,69. Таким образом, наш конечный вывод имеет вид /?=11,4~07 Ом. Интересно проследить, какой ответ мы получили бы, если бы полностью игнорировали результаты измерений третьего студента, которые в три раза менее точны и, следовательно, в девять раз менее важны.
В этом случае простое вычисление дает /?„,„и = 11,50 (по сравнению с 11,42) с погрешностью 0,7! (по сравнению с 0,69). Очевидно, третье измерение не имеет большого значения. Задачи Напоминание: звездочка у номера задачи означает, что аадача реша- ется или ее ответ приводится а разделе «Отзеты» и копие книги, *7.1 (разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
