Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Выход из этого положения очевиден. Необходимо обобщить метод наименьших квадратов на случай, когда погрешности в результатах измерений неодинаковы, при условии что все зти различные погрешности известны. (Этот метод наименьших квадратов с весами описан в задаче 8А.) Если известно, что результаты измерений уь ..., у„действительно имеют одинаковую погрешность, то формула (8.30) показывает, как изменЯюгсЯ погРеп1ности в гь ..., гв, и поэтомУ мы можем применить метод наименьших квадратов с весами к уравнению г = 1п А + Вх.
На практике, однако, часто нельзя быть уверенным в том, что погрешности в уь ..., у„ действительно одинаковы, поэтому можно рассматривать предположение, согласно кото. рому одинаковы погрешности в гь ..., гю и использовать обычный метод наименьших квадратов без весов.
Часто изменения в погрешностях бывают малы, и поэтому практически безразлично, какой метод использовать, как это и было в предыдущем примере. В любом случае непосредственное применение обычной (без весов) аппроксимации методом наименьших квадратов — это недвусмысленный и простой способ получения разумных (если не наилучших) оценок для постоянных А и В из соотношения у = Авв", поэтому он часто используется именно в этом виде. Множественная регрессия До сих пор мы рассматривали случай, когда наблюдаются только две переменные х и у, и обсуждали их связь. Во многих реальных задачах необходимо рассматривать большее число переменных. Например, измеряя давление газа Р, можно обнаружить, что оно зависит от объема У и температуры Т, и поэтому нужно исследовать Р как функцию У и Т.
Простейшим примером может служить задача, когда одна переменная г зависит линейно от двух других х и у: г = А+ Вх+Су, (8.31) Аппроксимация методом наименьших квадратов 175 (8.32) Задачи Напоминание: звездочка у номера задачи означает, что задача решается или ее ответ приводится в разделе «Ответы» в конце книги. *84 (равд. 8.2). Используйте метод напменьших квадратов, чтобы определить линию у = А + Вх, которая наилучшим образом аппроксимн. рует четыре точки: (1; 12), (2; 13), (3; 18), (4; 19). Нарисуйте точки и линию.
8,2 (равд, 8.2). Чтобы определить коэффициент упругости й пружины, студент подвешивает к ней различные массы гп и измеряет соответствующие длины 1. Его результаты приведены в табл. 8.3, Так как сила ~лу равна у[1 — 1«), где 1» — длина пружины в нерастянутом состоянии, то этн данные должны ложиться на линию 1 = 1»+ (у/й)т. Найдите аппроксимацию этих данных методом ваименьших квадратов и получите наилучшие оценки для собственной длины пружины 1, н коэффициента упругости пружины й. *8.3 (равд. 8.3). Пусть переменные х и у связаны соотношением у = Вх, т, е. известно, что они ле,кат на прямой линии, проходящей через начало координат.
Предположим, что вы сделали У измерений (хь у;), нричем погрешности в х пренебрежимо малы, а в у — одинаковы. Используя метод доказательства, аналогичный приведенному в равд. 8.2, покажите, что, согласно методу наименьших квадратов, наилучшая оценка для В равна В = 2 х,у,/ ~ хз. "8.4 (равд. 8.2). Предположим, что мы измеряем й' пар значений (хп у;) двух переменных х и у, которые, как мы полагаем, связаны линейной зависимостью у = А + Вх.
Предположим, что погрешность изме- Таблица 8В Масса груза лг, г ,((лина 1, см 200 300 400 500 600 700 800 900 5,1 5,5 5,9 6,8 7,4 7,5 8,6 9,4 Эта задача может быть рассмотрена методом, являющимся прямым обобщением случая двух переменных. Если у нас есть серия измерений (хи уп г;), 1 = 1, ..., У (где погрешности всех гг одинаковы, а х; и у; точны), то мы можем использовать принцип максимального правдоподобия, как и в равд.8.2, и получить, что наилучшие оценки постоянных А, В, С определяются нормальными уравнениями следующего вида: АФ+ В ~ х, + С ~ у, = ~~' гт А ~ хг+ В ~ х~+С ~ к;уз = ~ ~х;гь А ~ йч+ В ~ х;уг+ С ~„у;= ~' уггь Эти уравнения можно решить относительно А, В и С и получить наилучшую аппроксимацию для соотношения (8.31).
Этот случай называется лтножестеенной регрессией («множественной», так как имеется более двух переменных), но мы его сейчас рассматривать не будем. 176 Глава 8 Таблица 8Л Расстояние, м 0 1000 2000 3000 Время, с 17,6 40,4 67,7 90,1 реннй всех х~ пренебрежимо мала, а все у~ имеют разные погрешности аг (т, е, у, имеет погрешность аы уз — аз и т. д.), Просмотрите еще раз вывод аппроксимации методом наименьших квадратов в равд. 8.2 и обобщите его на случай, когда погрешности в у~ неодинаковы.
Покажите, что наилучшие оценки для А н В равны Л = [(~ в!х~!) (~ эу!) — (~ в!х!) (~ в х у )]/6 (833) н В=[(~ в;)(~ в,х!у;) — (~ в,х,)() ву,))/Ь, (834» где веса в; = 1/а) и 2 6 (~ э,.)(~ эх!) — (~ в!х,). (8.35) Таблица 8.5 Давление Рн 79 82 85 88 90 мм рт. ст. Температура Тг, 8 !7 30 37 52 'С Этот метод наименьших квадратов с весами можно использовать, когда погрешности а~ (нли по крайней мере их относительные величины) известны. Возможно, наиболее типнчвой ситуацией, когда все это реали. эуется, является пример эксперимента с подсчетом событий, подобным подсчету распадов радиоактивных ядер. Как обсуждалось з равд.
3.1 (и доказывается в гл. 11), погрешность, соответствующая любому подсчету ч, равна Ч/ч. 8.5 (равд. 8.2). Пусть известно, что у линейно зависит от х, так что у = Л + Вх, и предположим, что у нас есть три измерения (х, у): (1; 2~0,5); (2; 3~0,5); (3; 2~1,5), где погрешности в х пренебрежимо малы. Используйте метод наименьших квадратов с весами, т.е.
формулы (8.33) — (8.35), и найдите Л и В. Сравните свои результаты со значениями, которые вы получили бы, если бы пренебрегли изменениями в погрешно. сти, т.е. использовали бы аппронсимацню без весов в соответствии с (8.10) — (8.12). Представьте данные и обе линии на графике и попытайтесь понять разницу, *8.6 (равд. 8.4), Поезд, движущийся, нак полагают, с постоянной скоростью, проезжает четыре различных пуннта, в каждом из которых делаются замеры времеви; результаты приведены в табл. 8.4.
Примените аппроксимацию методом наименьших нвадратов в виде д = да+ о! н найдите наилучшую оценку скорости поезда в. Какова погрешность в в) 8.7 (равд. 8.4). Студент измеряет давление газа Р для пяти различных значений температуры Т, поддерживая его объем г' постоянным, Его результаты приведены в табл. 8.5. Все данные должны удовлетворять линейной зависимости вида Т = Л + ВР, где Л вЂ” абсолютный нуль тем. пературы (принятое значение которой равно †273 'С, как уже обсуждалось в равд.
85). Найдите наилучшую аппроксимацию данных студента Аппроксимация методом наименьших квадратов 177 1 д = да + пз( — — дтз. 2 (8.36) Используйте формулы (8.23) для вычисления наилучших оценок для трех коэффициентов в (8.36) и, следовательно, наилучшей оценки для а, основанных на результатах пяти измерений, приведенных в табл.
86, Обратите внимание на то, что мы можем приводить времена в каком угодно виде. Может показаться, что более естественным был бы выбор ! = О, 1, ..., 4. Однако когда вы будете решать задачу, то увидите, что использование времен, симметрично расположенных вокруг нуля, приводит к тому, что примерно половина всех подлежащих вычислению сумм оказывается равной нулю, что сильно упрощает расчеты. Этот прием можно использовать всегда, когда значения независимой переменной разделены равными промежутками. Габлица 8.6 Время С десятые -2 — 1 0 1 2 доли секунды Высота д, см 131 1!3 89 51 7 и, следовательно, его наилучшую оценку для абсолютного нуля и ее по. грешвость.
*8.8 (равд. 8.4). а, Используйте метод максимального правдоподобия в том виде, в каком он применялся при выводе (8.13), и покажите, что (8.!3) определяет погрешность а„в д для серии измерений (хь дг), ... ..., (хю дз), которые должны ложиться на прямую линию.
б. Йспольэуйте расчет ошибок в случае косвенных измерений и пока. жите, что погрешности оз и аз в параметрах прямой линии д А+Вх определяются выражениями (8.15) и (8.16). *8.9 (равд. 8.4). В аппроксимации методом наименьших квадратов, примененной к набору точек (хь дг), ..., (хю дя), переменные к и д рассматриваются несимметричным образом. А именно определяется наи.
лучшая аппроксимация линией д = А + Вх в предположении, что все погрешности в дь ..., дч одинаковы, а погрешности в хь ..., хл пренебрежимо малы. Если обратить ситуацию, то надо было бы поменять местамн х и д и аппроксимировать линней х = Л'+ В'д. Две линии д = А + Вх и х = А'+ В'д совпадали бы между собой, если бы все йг точек точно ложились на линию; но в общем случае эти две линии будут слегка раз личаться.
Определите, как данные аадачи 8.1 аппроксимируются линней з = Л'+ В'д (рассматривая все х~ как одинаково неточные, а дг — как точные). Найдите А' и В' н их погрешности пл. и о . Каковы будут значения Л' и В', полученные из ответов задачи 8.1? Сравните линии, найденные двумя методами. Существенна ли разница? 8.10 (разя. 8.6). Рассмотрите задачу аппроксимации набора результатов измерений (хь дг), 1= 1, ., Ж, полиномом д = А+Вх+Сх'. Используйте метод максимального правдоподобия и покажите, что наилучшие оценки для А, В, С, основанные на приведенных данных, даются формулами (8.23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
