Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Учазаиие: сделайте допущение, что Г-я рулетка короче на фактор и, (где я, близко к 1), тогда длина, которая в действительности равна Х, будет измерена иак х~ = оиХ. Смысл этой задачи заключается в том, чтобы показать, что существуют ситуации, когда смешанным вторым моментом определенно нельзя пренебречь.
*9.3 (равд, 9.3). а. 1(окажите тождество Смешанный второй момевт и корреляция 193 Таблица У.З 74 83 85 96 98 100 106 !07 120 124 76 !03 99 109 111 107 91 101 120 119 хг у! Часто это более удобный способ вычислять г, так как он ие приводит к необходимости рассчитывать индивидуальные отклонения х~ — х и у~ — у. 9.4 (равд. 9.4). а.
Проверьте, что коэффициент коррелнции г для десяти пар отметок из табл. 9.1 равен г ж 0,8. б. Используя таблицу вероятностей из приложения В, найдите вероятность того, что кто-то получил бы коэффициент корреляции г .с (г) ь 0,8, если бы две отметки и в самом деле были некоррелиро. ванны.
+9.5 (равд. 9.4). В случае фотоэффекта кинетическая энергия К испускаемых электронов, как полагают, есть линейная функция частоты 1 используемого света: К = Ь!' — б, (9.20) где Ь н  — постоянные. Чтобы проверить это соотношение, студент измеряет К для М различных значений ! и вычисляет коэффициент корреляпни г по своим результатам.
а. Если он делает пять измерений (М = 5) и получает г = 0,7, то подтверждает ли оа линейную зависимость (9.20) на уровне принятого коэффипиента значимости 5 э)э? б. А что будет, если ЛГ = 20 и г = 0,5? *9.6 (раза. 9.4). а. Начертите график разбросав для следующих пяти пар измерений: х=! 2 3 4 5 у=4 4 3 2 1.
Вычислите по этим данным коэффициент корреляции г. Для этого, вероятно, проше использовать выражение (9.19). Показывают ли данные, что имеется значимая корреляция? Нужные вероятности можно найти в приложении В. б. Повторите задание «а» для следуюших данных: х=! 2 3 4 5 у=З 1 2 2 1. 9.7 (равд. 9.4). Психолог, исследуя связь между умственными способпостими отцов и детей, измеряет некоторый коэффициент интеллектуальности, который мы обозначим для краткости КИ, для десяти отцов и их сыновей и получает результаты, представленные в табл. 9,3, где х~ = КИ отца, у~ = КИ сына.
Подтверждают ли эти данные корреляцию между умственными способностями отцов и сыновей? Глава 10 Биномиальное распределение Распределение Гаусса, или нормальное распределенне,— пока единственный пример изученного нами распределения. Теперь мы рассмотрим два других важных примера, а именно биномиальное распределение (в гл. !О) и распределение Пуассона (в гл. 11). !О.!. Распределения В гл. 5 мы ввели понятие распределения как функции, которая определяет долю случаев реализации каждого нз всех возможных результатов при многократных измерениях. Например, мы могли бы сделать Ф измерений периода Т маятника и найти распределение различных измеренных значений Т, пли мы могли бы измерять рост а у М американцев и найти распределение различных измеренных значений роста й.
Затем мы ввели понятие предельного распределения как распределения, которое мы получили бы в пределе, когда число измерений Л/ становится очень большим. Предельное распределение можно рассматривать также как такое, которое определяет вероятность того, что единственное измерение приведет к любому из возможных значений: вероятность того, что одно измерение периода даст какое-то определенное значение Т; вероятность того, что какой-то американец (взятый наудачу) будет иметь некоторый определенный рост й. По этой причине предельное распределение иногда называют также распределением вероятности. Из множества возмолсных предельных распределений мы рассмотрели только одно распределение Гаусса, или нормальное распределение, которое описывает распределение результатов любых измерений в случае, если эти измерения подвержены действию множества небольших и случайных ошибок.
Поэтому распределение Гаусса является для физиков наиболее важным из всех предельных распределений, 195 Биномяальное распределение и именно поэтому мы уделили ему столько внимания и места. Тем не менее имеется несколько других распределений, которые также важны с теоретичесной и практической точек зрения. Два примера таких распределений обсуждаются в настоящей и следуюших главах.
В данной главе мы рассмотрим биномиальное распределение. Это распределение не имеет слишком большого значения для экспериментальной физики, однако из-за простоты оно может служить отличным введением к пониманию многих характеристик распределений. Оно также важно и с теоретической точки зрения, так как из него мы можем получить более важное распределение Гаусса. 10.2. Вероятности при бросании игральных костей ') Биномиальное распределение лучше всего может быть описано на примере.
Предположим, что мы предприняли такой «эксперимент», как бросание трех игральных костей, причем каждый раз мы подсчитываем число выпавших граней с одним очком, т. е. число единичек. Возможные результаты такого эксперимента — это О, 1, 2 или 3 единички. Если мы повторим эксперимент огромное число раз, то найдем предельное распределение, из которого можно будет найти вероятность того, что при любой одной попытке бросания (всех трех костей) мы получим т единичек, где ч = О, 1, 2 или 3. Этот эксперимент достаточно прост, и мы легко можем рассчитать вероятности четырех возможных исходов.
Сначала, предполагая, что кости подлинные, отметим, что вероятность выпадения одного очка при бросании одной кости равна '/,. Теперь будем бросать все три кости и найдем сначала вероятность выпадения трех единичек (т = 3). Так как в случае каждой отдельной кости вероятность выпадения одного очка равна '/в и так как все кости вращаются при бросании независимо, то вероятность выпадения трех единичек равна г1чз Р (3 единичкн в 3 бросаниях)= 1« — ) = 0,5 Я. ~б) Рассчитать вероятность выпадения двух единичек (е = 2) несколько труднее, так как мы можем получить этот результат различными способами.
Первая и вторая кости могли бы выпасть на единички, а третья — нет (А, А, не А); или пер- ') Игральная кость — маленький кубик, на гранях которого имеется маркировка — от одно~о до шести кружков, которые считаются как очки, т.е как «едннички», «двояки» и т. д. При игре в кости бросают кубик на плоскую поверхность н смотрят, какая грань оказалась наверху, т.е. ка. ние очки «выпалн». — Прям.
перев. 196 Глава !О Рис. 10.1. Вероятность получения т единнчек при бросании трех игральных костей. Эта функция представляет собой биномиальное распределение Ь„,,!т) с п = 3 и р = '(е вая и третья могли бы выпасть на единички, а вторая — нет (А, не А, А) и т. д. Будем вычислять вероятность в два приема. Сначала оценим вероятность выпадения двух единичек при какой-то заданной определенной комбинации, например такой, как (А,А, не А). Вероятность того, что первая кость выпадет на единичку, равна '/а н аналогично для второй. С другой стороны, вероятность того, что последняя кость не выпадет на единичку, равна а/е.
Таким образом, вероятность выпадения двух единичек для заданной частной комбинации равна Р(А, А, не А)=(б) ' (б) Вероятность выпадения двух едпннчек для любой другой определенной комбинации та жс самая. Су!цествуют только три различные комбинациа, когда мы могли бы получить две единички; (А, А не А), или (А, не А, А), или (не А, А, А). Таким образом, полная вероятность получения двух единичек (в какой угодно комбинации) равна Р (2 единички в 3 бросаниях)=3 1ь — ) ° 1ь — ) = 6,9%. ' Хб,) ' (,б) (10.!) Подобные расчеты дают значения вероятности выпадения одной единички в трех бросаниях (34,7ого) и ни одной единички (579%). Полученные численные значения могут быть представлены в виде графика распределения вероятностей для едипичек, полученных в одной попытке бросания трех костей, как показано па рис. 10,1.
Этот график — пример биномиального распределения, к описанию общего вида которого мы сейчас приступаем. 197 йнномнальное распределение 10.3. Определение биномиального распределения Чтобы определить в общем виде бииомиальиое распределение, иам необходимо ввести иекоторые понятия. Во-первых, представим, что мы делаем и независимых испытаний, таких, как бросание и костей, бросание п монет или опробоваиие и хлопушек.
Каждое испытание может иметь различные исходы: кость может выпасть иа любую грань от ! до 6, монета может выпасть иа орла или решку, хлопушка может хлопнуть или «прошипеть». Будем называть исход, в котором мы заиитересовавы, как успех или выигрыш. Таким образом, «успехом» могли бы быть выпадения очка при бросании кости, или орла при бросании монеты, или же взрыв хлопушки. Обозначим через р вероятность успеха в любом одном испытаиии и через д = 1 — р вероятность «проигрыша» (т, е. получения любого исхода, кроме представляющего интерес).
Таким образом, при бросаиии кости вероятность выпадения одного очка р = !/,; вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты р = !/ь и вероятность взрыва р могла бы достигать 95ь)ь для данного сорта хлопушек. С помощью этих определеиий мы теперь можем найти вероятиость получеиия ч успехов в и испытаниях. Вычисления, которые мы вскоре опишем, показывают, что эта вероятность дается так иазываемым биполиальныл распределением: Р(т успехов в и пспытаииях)=Ь„, (т)= п(и !). ° ° (и ~+ !)» а — у Буква Ь в формуле означает «бииомиальиое»; нижние иидексы и и р в Ь„,,(н) указывают, что распределение зависит от п, числа сделанных испытаний, и р, вероятности успеха в олпом испытаиии. Распределение (10.2) иазывается бииомиальиым из-за его тесной связи с хорошо известным разложением бинома в ряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
