Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Используйте гауссову аппроксимацию для опрелеленпя вероятности выпадения точно !5 орлов в случае, когда вы бросаете монету 25 раз. Вычислите точное аначенне той же вероятности и сравните результаты. *10Л4 (равд. 10.4). Используйте гауссову аппроксимацию и определите вероятность выпадения 18 или более орлов прн 25 бросаннях монеты. (При использовании распределения Гаусса вы должны определить вероят. ность для ч ) 17,5.) Сравните с точным результатом 2,16'/«, !0.15 (разл. 10.6). Б испытаниях лыжной мази, описанных в равд. 10.6, предположим, что смазанные лыжи скатились быстрее в девяти вз десяти испытаний. Предполагая, что мазь не оказывает никакого эффекта, рассчитайте вероятность девяти или более выигрышей. Обеспечивают ли пенять выигрышей «значимое» доказательство эффективности мази (на уров.
ис 5«ь)? Является ли доказательства «высокозиачиыым» (иа 1«/«-нем уровне)? «10.16 (раза. 10.6). Чтобы испытать новое удобрение, огородник выбирает 14 пар одиваковых растевпн и вносит удоорспие под одно растение каждой пары. Спустя два месяца 12 обработанных растений выглялят более развитыми, чем их необработанные партнеры (двз оставшихся выглядят менее развитыми).
Если фактически удобрение не оказывает пика- кого эффекта, какова будет вероятность, что просто случайно у огородника получится !2 и бплсе ныигрышей? Представляют ли 12 выигрышей значимое доказательство того, что удобрение полезно (на 5",'«-ном уровне)? Является ли доказательство «высакозначимым» (на 1«/«-иом уровне) ? 10.!7 (равд. 20.6). Известно, что всхожесть семян определенного сорта равна 25«/г. Чтобы испытать новый «стимулятор всхожести», 100 таких семян высаживаются и обрабатываются стимулятором. Если 32 из них всходят, го можно ли заключить (на 5«6-нам уровне значимости), что стимулятор действует? *10.18 (раза.
10.6). В некоторой школе 420 из 600 учеников выдержали испытания на стандартный математический тест, который в целом по стране вылерживают 60«/г учеников. Если студенты не имеют никакого специального отношения к этому тесту, то сколько из них, по вашим ох<го даниям, выдержат это испытание и какова вероятность, что его выдержат 420 или более человек? Может ли школа утверждать, что ее ученики значимо лучше подготовлены к испытанию? Глава 11 Распределение Пуассона В этой главе мы будем изучать наш третий пример предельного распределения, а именно распределение Пуассона.
Оно описывает результаты экспериментов, в которых считают события, происходящие случайно, но в определенном среднем темпе. Это распределение особенно важно в атомной и ядерной физике, где подсчитывают числа распадов нестабильных атомов и ядер.
1!.1. Определение распределения Пуассона В качестве примера распределения Пуассона рассмотрим случай, когда мы имеем дело с образцом радиоактивного материала. При помогци счетчика Гей~ера мы можем сосчитать число т электронов, испушенных в радиоактивных распадах ва одну минуту. Если счетчик исправен, то в значении т не будет погрешности. Тем не менее если мы будем повторять эксперимент, то обязательно получим разные значения т. Эта вариация в значениях т не являешься погрешностью непосредственно в подсчете, а скорее отражает характерные свойства ппоцесса радиоактивного распада.
Каждое радиоактивное ядро характеризуется определенной вероятностью распада за любой одноминутный интервал. Если бы мы знали эту вероятность и число ядер в нашем образце, то могли бы рассчитать ожидаемое среднее число распадов за минуту, Тем не менее каждое ядро распадается в случайный момент времени, в число распадов за любую одну минуту может отличаться от ожидаемого среднего числа, Очевидно, вопрос, которьш нам следует задать, состои~ в следующем: если бы мы повторяли наш эксперимент много раз (восполняя образец, если он существенно истощается), то какое распределение для числа распадов т, наблюдаемых аа одноминутные интервалы, мы должны были бы получптьй Если вы изучили гл.
1О, то поймете, что искомое распределение является биномиальным. Если имеется и ядер и вероят- Глава 11 214 р (т) — е-« Ин нг (1 1.2) В этом определении р — положительный параметр ()г) 0), который, как мы скоро увидим, представляет собой ожидаемое среднее число отсчетов за рассматриваемый интервал времени, а н1 — обычная факториальная функция (и О! = 1). Мы не будем сейчас выводить распределение Пуассона (!1.2), но просто примем, что оно является соответствующим распределением для эксперимента рассматриваемого типа '). Чтобы установить роль параметра р в (!1.2), мы должны вычислить среднее число ожидаемых отсчетов и в случае, если бы мы повторяли наш эксперимент с подсчетами много раз, Это среднее число есть .— =,", тр«(н) = ~.е---",! . н-о н-о Первый член в этой сумме может быть опушен (так как он равен нулю), а туЪ! можно заменить на 1/(т — 1)!. Вели вынести за знак суммы общий множитель ре-«, то получим ,т и" н ! Остающаяся бесконечная сумма 1+)г+ 2! + з! + =е" (1!.5) (1 1,3) (1 1.4) ') Вывод см., например, в книге Увила Н.
1). 81а1!в!!па) Тгеа1гпеп1 о1 Ехрепгпеп!а! 1)а1а, Мсбгаа-Н!11, !962, аес1. 8 или Меуег 5. 1, )да!а Лпа1уа!а 1ог Бс!еп1«пв апг) Епшпеегв, вснп Фг)еу, 1978, р. 207. ности того, что любое одно ядро распадется, равна р, то вероятность н распадов — это просто вероятность и «успехов» и и «испытаниях», или Ьв,в(т). Однако в эксперименте такого рода, который мы сейчас рассматриваем, имеются особенности, позволяющие сделать важное упрощение. Число «испытаний» (т.
е. ядер) огромно (вероятно, л 10»о), и вероятность «успеха» (т. е. распада) для любого одного ядра ничтожна (часто р — !О-ао). При этих условиях (и велико, р мало) можно показать, что биномиальное распределение не. отличимо от более простой функции, называемой распределением Пуассона, т. е. что Р(т отсчетов за любой определенный интервал) =р«(т), (11.1) где распределение Пуассона р«(т) определяется как 2!5 Распределение Пуассона есть просто экспоненциальная функция ен (как указано). Таким образом, экспонента е-н в (1!.4) сокрашается с этой суммой, и мы приходим к простому заключению, что (11.6) Таким образом, параметр и, который характеризует распределение Пуассона рм(т),— это просто среднее число отсчетов, которое мь! ожидаем в случае многократного повторения счетного эксперимента.
11.2. Свойства распределения Пуассона На рис. 11.1 приведены распределения Пуассона для случаев 1л = 0,8 и 3. Из рис. 11.1, а для р = 0,8 видно, что наиболее вероятные числа отсчетов равны т = 0 или 1 (причем ч = 0 несколько более вероятно) и что имеется заметная вероятность получения ч = 2 или 3. Из рис.
!1.1,б для р = 3 видно, что наиболее вероятные отсчеты — это 2 и 3 и с заметной вероятностью встречаются отсчеты в интервале от ч = 0 до т = 7, На обоих рисунках распределения заметно асимметричны. Если рассмотреть эксперимент с ббльшим средним значением отсчетов, например с р = 9, как показано на рис. 11.2, то мы увидим, что распределение будет приблизительно симметричным относительно среднего. Действительно, можно доказать, что при 1л-моо распределение Пуассона становится все более симметричным и стремится к распределению Гаусса с тем же средним и стандартным отклонением '). На рис. !1.2 нл Уд ь чм й Р У ~ У 4 Х !У 1 Я У 4 Х Ю 7 Р У Ф в 1.1.
Рнспределеннн Г!уасоона оо средними числами отсчетов И О,В Рнс. 1 н 3. '! См. ссылку на работу Мейера на с. 2!4 Глава 1! Й /У Г 4 !'пс. ! !.2. Распределение Пуассона с И = 9. Прерывистая линия есть фуняция Гаусса с тем же центром и стандартным отклонением, пунктирной кривой представлено распределение Гаусса с центром при р = 9 и с тем жс стандартным отклонением, что и у распределения Пуассона. Можно видеть, что, даже когда р равно только 9, распределение Пуассона очень близко к соответствующей функции Гаусса, а небольшое отличие отражает остающуюся асимметрию в функции Пуассона. Как мы вскоре увидим, для прак ики очень удобно, что в случае больших р распределение Пуассона можно аппроксимировать соответствующим гауссовым.
Дру~ое интересное свойство распределения Пуассона обнаруткивается, если вычислить его стандартное отклонение о„. Как мы видели в гл. 4, о;, — это среднее квадратов отклонений (и — т)Я. Таким образом, етт (у 9)2 или (нспользуя результаты задачи 10.9) я ь 2 о, =- та — (9) (1!.7) Мы уже вычислили, что т = р, и аналогичные расчеты дают ~~'= — !тя+ р (см. задачу !1.6). Таким образом, о-',=р, нли (! !.8) Распределение Пуассона со средним числом отсчетов м имеет стандартное отклонение ~l!м Результат (!!.8) чрезвычайно полезен на практике. Если мы провели один счетный эксперимент и получили в итоге и отсчетов, то, как легко видеть (используя принцип максимального правдоподобия, как, например, в задаче 1!.9), наилуч- Распределение Пуассона 2!Т шая оценка для ожидаемого среднего числа отсчетов 9 будет равна иасап = у Из (11.8) немедленно следует, что наилучшая оценка для стандартного отклонения будет равна ь т, Другими словами, если мы проделаем одно измерение числа отсчетов за некоторый временной интервал и получим в результате число е, то наш итоговый вывод для ожидаемого среднего числа отсчетов за этот же временной интервал будет т~ х/т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
