Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. р действительно равно 1/е), Таким образом, наше испытание распределения в данном случае есть просто проверка, подлинные ли игральные кости мы используем или с утяжелениями у каких-то граней. В любом эксперименте с дискретной переменной бины можно выбирать так, чтобы каждый содержал только один результат при условии, что ожидаемое число реализаций в каждом бине составляет по крайней мере необходимые 5 или около того.
В противном случае несколько различных результатов следует сгруппировать в один бин большего размера, который действительно включает достаточное ожидаемое число реализаций. Другие формы к' Мы использовали обозначение )ге еще раньше в этой книге. Оно применялось в формуле (7.6) и вновь в (8.5) н могло быть использовано для обозначения суммы квадратов в (5.42). Во всех этих случаях те — это сумма квадратов, в общем виде записываемая как чт Г наблюдаемое значение — ожидаемое значенне ) стандартное отнлоненне 1 Во всех случаях 1(е служит показателем согласия между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями некоторой переменной. При хорошем согласии те будет порядка и, при плохом уе будет много больше, чем и.
К сожалению, мы можем использовать критерий 11е для проверки этого согласия только в том случае, если нам известны ожидаемые значения и стандартное отклонение, что поз. волит нам вычислить (!2.11). По-видимому, наиболее типичные случаи, когда эти величины достаточно хорошо известны, рассмотрены в примерах данной главы, в которых предельное распределение определяет Е» н стандартное отклонение т/Е»- Тем не менее критерий уе очень широко используется.
Обсудим, например, рассмотренную в гл. 8 задачу об измерении двух переменных х и у, где ожидается, что у есть некоторая определенная функция х: у= 7(х) (подобная у = А+ Вх). Предположим, что у нас есть М измеренных пар значений (хь у;), причем погрешность в х; пренебрежимо мала, а погрешность п» в у» известна. В данном Гл»»» ш случае ожидаемое значение у! есть 1(х!), и мы могли бы проверить, насколько хорошо у аппроксимирует функцию 1(х) с помощью вычисления (у — 1(х) )! ! Все наши предыдущие замечания об ожидаемом значении у» применимы к этому числу, и можно использовать количественные критерии, описанные в последующих разделах.
Мы не будем рассматривать здесь этого важного применения, так как оно довольно редко втречается в лаборатории вводного курса физики, поскольку погрешности о; в этом случав должны быть достаточно хорошо известны (см., однако, задачу. 12.14). 12.3. Степени свободы и приведенное значение Х' Мы утверждали, что можем проверять согласие между на. блюдаемым и ожидаемым распределениями, вычисляя и сравнивая его значение с числом бинов, используемых для представления данных.
Оказывается, что более строгой процедурой было бы сравнение т,' не с числом бинов п, а с числом степеней свободы, обозначаемым через и. Мы кратко упоминали о понятии числа степеней свободы в равд. 8.3. Теперь необходимо обсудить это понятие более подробно, В общем случае число степеней свободы д в статистических расчетах определяется как число полученных данных ,нинус число параметров, вычисленных по этим данным и используемых в расчетах.
Для задач, рассматриваемых в этой главе, полученные данные — числа наблюдений 0» в и бинах, где й = 1, ..., п. Таким образом, число полученных данных равно и, числу бинов. Следовательно, для рассматриваемых здесь задач И=п — с, где п — число бинов, с — число параметров, которые были вычислены по данным для расчета ожидаемых чисел Е,, Число с часто называют числом связей, что мы кратко поясним.
Число связей с изменяется в зависимости от обсуждаемой задачи. Рассмотрим сначала эксперимент с бросанием игральных костей из равд. 12.2. Если мы бросаем пять костей и проверяем гипотезу, что кости подлинные, то ожидаемов распределение чисел выпадения единичек — биномиальное ззз Критерий Х' дли раеиределеиий распределение Ьд д(т), где и = О, ..., 5 — числа единичек в любом одном бросании. Оба параметра этой функции— число игральных костей (пять) и вероятность выпадения единнчки ('/е) — известны заранее, и их не надо вычислять из данных эксперимента. Рассчитывая ожидаемое число выпадений любого частного значения т, мы должны умножить биномиальную вероятность на полное число бросков М (в случае нашего примера У = 200). Этот параметр и в салголг деле зависит от данных.
В частности, М есть просто сумма чисел Ое,' У=Х О. «-! (12.12) Таким образом, вычисляя ожидаемые результаты в нашем эксперименте с игральными костями, мы должны рассчитать только один параметр (У) из данных. Число связей равно, следовательно, с=1, и число степеней свободы определяется как г( = а — с = 4 — 3 = 1 Первая связь такая же, как и (12.12): полное число наблюдений М равно сумме чисел наблюдений Ое во всех бинах. Но в данном случае имеются еще другие связи, поскольку В табл. 12.5 результаты эксперимента с костями были сгруппированы в четыре бина (т. е.
а = 4), поэтому в таком эксперименте было три степени свободы. Формула (12.12) хорошо иллюстрирует термины «связн» н «степени свободыж Когда число М определено, то (12.12) можно рассматривать как уравнение, которое «связывает» значения Оь ..., О„. Точнее, можно сказать, что из-за связи (12.12) только п — 1 чисел Оь ..., 0„1 могут принимать любое значение (в определенных границах), но зато последнее число О полностью определяется формулой (12,12). В этом смысле только и — 1 данных могут принимать независимые значения; поэтому мы говорим, что имеется только л — ! независимых степеней свободы.
В первом примере этой главы дальность полета к пули была измерена 40 раз (У = 40), Результаты были собраны в четыре бина (п = 4) и сравнивались с теми значениями, которые мы ожидали бы от распределения Гаусса (л,е(к). В этом случае имелось три связи и, следовательно, только одна степень свободы 234 Глава 12 (как обычно бывает в такого рода экспериментах) нам заранее не известны параметры Х и и ожидаемого распределения Гаусса 1»,а(х).
Таким образом, прежде чем мы смогли бы рассчитать ожидаемые числа Е», мы должны были оценить Х и о, используя данные. Следовательно, всего было три связи, поэтому в данном примере д = и — 3. (12.13) Отсюда ясно, почему мы должны были использовать по крайней мере четыре бина в этом эксперименте. Мы увидим, что число степеней свободы всегда должно быть не меньше единицы, поэтому из (12.13) очевидно, что нам пришлось выбрать и ) 4. В рассмотренных здесь примерах всегда имеется по крайней мере одна связь (а именно связь У= ~„0», включающая полное число измерений), но могут существовать еще одна или две. Таким образом, число степеней свободы Ы будет изменяться от и — 1 до и — 3 (в наших примерах).
Когда число и велико, различие между и и й практически не имеет значения, но если и мало (как это часто бывает, к сожалению), имеется, очевидно, существенная разница. Теперь, используя понятие числа степеней свободы, мы можем приступить к выработке более точного критерия 11». Можно показать (хотя мы и не будем этого делать), что ожидаемое значение та точно равно и', числу степеней свободы (ожидаемое среднее значение Ха)=А (12.14) Эта важная формула не означает, что мы действительно ожидаем получить у» = й после одной серии измерений.
Но она имеет тот смысл, что если бы мы могли повторить всю нашу серию измерений бесконечное число раз н каждый раз вычислять уа, то среднее этих значений та было бы равно а(. Тем не менее даже после одной серии измерений сравнение та и»( служит показателем согласия.
В частности, если наше ожидаемое распределение было правильно, то крайне невероятно, чтобы значение уа было значительно больше, чем д. И наоборот, можно сказать: если мы нашли та » й, то можем утверждать, что крайне невероятно, чтобы наше ожидаемое распределение было верным. Мы не доказали формулу (!2.14), но можем видеть, что некоторые ее следствия очень разумны. Например, так как с( = и — с, формулу (12.14) можно переписать как (ожидаемое среднее значение та)=и — с. (12.15) Иными словами, для любого данного и ожидаемое значение 11» будет меньше, когда с будет больше (т. е. если мы вычислим больше параметров по данным). Это как раз то, что Критерий Х' дли распределений иам следует ожидать. В случае примера нз равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
