Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В нашем примере вероятности Рь Ргь Рж Р, попадания результата измерения в каждый из четырех бинов — это четыре плошади, показанные на рис. 12.1. Две равные площади Р, и Р, вместе дают хорошо известное значение 68%, так что вероятность попадания в один из двух центральных бинов составляет 34%, т. е, Рз = Рз — — 0,34. Две внешние площади представляют оставшиеся 32%; таким образом, Р, = = Р, = 0,16.
Чтобы найти ожидаемые числа Его мы просто умножим эти вероятности на полное числа измерений У= 40. Эти ожидаемые числа приведены в табл. 12.3. Тот факт, что числа Е» не целые, служит нам напоминанием о том, что «ожидаемое число» вЂ” это не то, которое мы действительно ожидаем в любом отдельном эксперименте; это скорее среднее ожидаемое число, которое получится, когда мы повторим всю нашу серию измерений много раз. ') Если результат измерения попадает на границу между двумя бинами, то вы можете половину результатов приписать одному бину н половинуу — другому.
226 Глаза 12 Таблица !2.З. Ожидаемые числа Е» и наблюдаемые числа О» для 46 измерений, результаты которых приаедеиы а табл. !2.1 низ » 1 2 э » Вероятность Р», » Ожидаемое число Е» 1»'Р» Наблюдаемое число 0» 16 34 34 16 6,4 13,6 13,6 6,4 8 1О 16 6 (12А) Теперь наша задача — решить, насколько хорошо ожидаемые числа Е» согласуются с соответствующими наблюдаемыми числами 0» (в нижней строке табл.
12.3). Мы, естественно, не ожидаем идеального согласия между Е» и 0» после любого конечного числа измерений. Но с другой стороны, если наша гипотеза о том, что результаты измерений распределены нормально, правильна, то мы ожидали бы, что в некотором смысле отклонения О» — Е» (12.3) будут мале». И наоборот, если бы оказалось, что отклонения 0» — Е» велики, то мы стали бы подозревать, что наша гипотеза неверна. Чтобы придать точный смысл утверждениям, что отклонения О» — Е» «малы> нли «велики», мы должны решить, насколько большими мы ожидали бы значения О» — Е,, если бы результаты наших измерений действительно были распределены нормально. К счастью, зто легко сделать. Если представить себе, что вся наша серия из 40 измерений повторяется много раз, то числа О» результатов измерений в любом одном бине й можно рассматривать как результат счетного эксперимента типа описанного 3 гл.
11. Множество наших различных результатов для 0» должно было бы иметь среднее значение Е, и флуктуировать относительно Е» со стандартным отклонением порядка ~Е». Таким образом, два числа, которые нужно сравнивать, это отклонение О» — Е» и ожидаемая величина его флуктуаций «2Е». Итак, мы должны рассмотреть отношение О»-Е; ч/й» Для некоторых бинов А зто отношение будет положительным, для других — отрицательным; для малого числа бинов А оно может существенно превышать единицу, но для большинства бинов оно должно быть порядка единицы или меньше. Чтобы проверить нашу гипотезу (о том, что результаты измерений распределены нормально), естественна числа (12.4) возвести Критерий !!и для распределепий Таблица !2А. Расчет !с для даяямх табл, 12Л номер оиие е 1 2 а 4 Х<х<Х+о Х+а<х !6 6 Х вЂ” о<х<Х 10 х<Х вЂ” о 3 Бяа Наблюдаемое число Ое Ожидаемое число Еа О,— Е, 13,6 13,6 6,4 -0,4 2,4 1,6 Хт»п ()(т значительно больше, чем число бинов), то наблюдаемые н ожидаемые числа значительно различаются и есть все основания подозревать, что результаты наших измерений не распределены в соответствии с ожидаемым законом.
В нашем примере наблюдаемые и ожидаемые числа для четырех бинов еще раз приведены в табл. 12.4, и простой расчет с их использованием дает 4 к=~ т Т' (Оа — Ех)' а-! (1 б)е ( 3 6)е (2 4!' ( О 4)е 6,4 13,6 13,6 6,4 = 1,80. (12.6) в квадрат для каждого А и затем просуммировать по всем бинам й = 1, ..., п (в данном случае п = 4). Эта процедура определяет число,'называемое !(т (Оа — Еа)е (12.5) а-! Должно быть ясно, что зто число !(т служит показателем того, насколько хорошо согласуются наблюдаемое и ожидаемое распределения.
Если )(т = О, то согласие идеальное, т. е. Ое — — Еа для всех бинов А, что в высшей степени невероятно. В общем случае отдельные члены в сумме (12.5) должны быть порядка 1, а в сумме всего п членов. Итак, если ут(п ()(т порядка и или меньше), то наблюдаемое и ожидаемое распределения согласуются настолько хорошо, насколько можно было бы ожидать. Другими словами, если )(т ( и, то у нас нет оснований сомневаться в том, что результаты наших измерений были распределены так, как ожидалось. С другой стороны, если Глава 12 228 Так как величина 1,80 для уа меньше, чем число членов в сумме (а именно 4), то у нас нет оснований сомневаться в гипотезе, что результаты наших измерений распределены нормально. 12.2.
Общее определение х' До сих пор мы ограничивались рассмотрением одного частного примера, когда 40 раз измеряется непрерывная переменная х — расстояние, которое пролетает пуля, вылетевшая из некоторого ружья. Мы определили число 11а и увидели, что оно может служить по крайней мере грубой мерой, характеризую|цей согласие наблюдаемого распределения результатов измерений и распределения Гаусса, в соответствии с которым, как мы ожидаем, распределены эти наши результаты. Сейчас мы увидим, что можно определять и использовать т' аналогичным образом и в случае многих других экспериментов.
Рассмотрим любой эксперимент, в котором мы измеряем какое-то число х и для которого у нас есть основания о>кидать некоторое определенное распределение результатов. Мы можем представить себе, что эксперимент повторяется много раз ()а), и, поделив интервал возможных значений х на п бинов, й = 1...,, и, можем подсчитать числа Оа наблюдений, когда результат попадает в каждый бин А. Предполагая, что результаты измерений действительно распределены в соответствии с ожидаемым распределением, мы затем вычисляем ожидаемые числа Еа измерений для А-го бина. Наконец, вычисляем та точно так же, как и в случае (12.5): (12.7) Роль га всегда примерно такая же, как и в предыдущем примере, т.
е. если уа ( и, то согласие между наблюдаемым и ожидаемым распределениями приемлемое, если уа >) п, то имеется существенное расхождение. Процедура выбора бинов для слагаемых, по которым вычисляется уа, в некотором отношении зависит от характера эксперимента. В частности, она зависит от того, непрерывна или дискретна измеряемая величина х. Сейчас мы рассмотрим эти две ситуации. Измерения непрерывной переменной Пример, рассмотренный в разд. 12.1, относится к непрерывной переменной х, и лишь немногое можно добавить к Критерий Х' или распределений тому, что уже было сказано. Единственное предельное распределение, которое мы рассмотрели в случае непрерывной переменной, — это распределение Гаусса, но существует, конечно, множество различных распределений, которые можно было бы ожидать.
Например, в случае многих атомных и ядерных экспериментов ожидаемое распределение измеряемой переменной х (энергии) — это распределение Лоренца 1(х ! (х — х)'+ т' ' где Х и у — некоторые постоянные. Каким бы ни было ожидаемое распределение !(х), полная площадь под графиком 1(х) всегда равна 1, н вероятность того, что результат измерения попадет между х = а и х = Ь,— это площадь под графиком между а и Ь: » Р (а < х < Ь) = $ !" (х) с(х. а Таким образом, если А-й бин имеет размеры от х= а» до х = а»+ь то ожидаемое число измерений в А-м бине (после выполнения всех Ь! измерений) будет равно Е» ЬГ Р (а» < х < а»,,) = '»+~ -ж 1 1(х)(. (1 2.8) "» Когда мы будем рассматривать использование критерия уи с количественной стороны в разд. 12.4, то увидим, что ожи- даемые числа Е» не должны быть слишком малы.
Хотя не существует определенной нижней границы, однако Е» должны быть, вероятно, примерно равны или больше 5, Е») 5. (12.9) Следовательно, мы должны выбирать бины таким образом, чтобы Е», определяемые (!2.8), удовлетворяли этому усло- вию.
Мы увидим также, что число бинов не должно быть слишком мало. Так, в случае примера из разд. !2.1, когда ожидаемым было распределение Гаусса, у которого пентр Х и ширина а не были известны заранее, критерий уи не дей- ствует (как мы увидим), если число бинов меньше четырех, т. е. в случае этого примера нам необходимо иметь и~ )4. (12.
10) Рассматривая вместе (!2.9) и (12.10), мы увидим, что нельзя использовать критерий )1и в такого рода экспериментах, если наше полное число наблюдений меньше 20. 230 Глава 12 Измерение дискретной переменной Таблица 12.8. Ожидаемые числа выпадений т еднничек (и=в, 1,, 3) ири бросании пити игральнмк костей 200 раз Ожидаемое число выпадений Ожидаемое число ад Номер бина в Результат 80,4 80,4 32,2 80,4 80,4 32,2 Ни одной единички Одна единичка Две Три Четыре Пять т,в Предположим, что теперь мы измеряем дискретную переменную, такую, как уже знакомое число единичек при бросании нескольких игральных костей. На практике наиболее часто втречающаяся дискретная переменная — целое число (подобно числу единичек), и мы будем обозначать дискретную переменную через т вместо х (х мы будем использовать для непрерывной переменной). Если мы бросаем пять костей, то возможные значения т — это т = О, 1, ..., 5, и фактически нет необходимости разбивать возможные результаты по бинам.
Посто можно сосчитать, сколько раз мы получили каждое из шести возможных значений. Мы можем выразить зто и иначе, сказав, что мы выбрали шесть бинов, причем каждый бин содержит только одно возможное значение. Тем не менее часто бывает желательно сгруппировать несколько различных результатов в один бин. Например, если мы бросали пять наших костей 200 раз, то (в соответствии с вероятностями, определяемыми в задаче 10.7) ожидаемое распределение результатов будет таким, как приведено в двух первых столбцах табл.
12.5. Мы видим, что в данном случае ожидаемые числа бросаний, в которых реализуются четыре или пять единичек, равны соответственна 0,6 и 0,03, т, е. оба много меньше, чем примерно пять, что требуется для каждого бина, если мы хотим применять критерий тв. Эту трудность легко устранить, сгруппировав результаты для т = 3, 4 и 5 в один бин.
Это приводит к четырем бинам А = 1, 2, 3, 4, которые показаны вместе с соответствующими ожидаемыми числами Е, в последних двух столбцах табл. 12.5. Выбрав бины, как описано, мы могли бы сосчитать наблюдаемые числа выпадений Од для каждого бина. Затем мы могли бы вычислить тв и посмотреть, согласуются ли наблюдаемое и ожидаемое распределения. В этом зксперименте нам 231 Кпнтепнй т' алн пасппеаеленнй известно, что ожидаемое распределение — это, конечно, биномиальное распределение Ьзл, (т) при условии, что все игральные кости подлинные (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
