Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(! !.9) Это и есть результат, приводившийся без доказательства в соотношении (3.2). Если бы нам пришлось вести измерения в течение более длительного времени, то мы получили бы большее значение е. В соответствии с (11.9) это означало бы большую погрешность тЯ. Однако относительная погрешность, которая определяется как относительная погрешность = — == , ~/т ауТ ' уменьшалась бы, если бы счет продолжался более длительное время. Интересно сравнить распределения Пуассона и Гаусса. Вопервых, распределение Гаусса !», о(х) является непрерывным, так как х — непрерывная переменная, а распределение Пуассона рп(т) дискретно (подобно биномиальному), поскольку я =О, 1, 2, ....
Во-вторых, гауссово распределение !»,,(х) определяется дву»ся параметрами: средним Х и шириной в, а распределение Пуассона ра(т) определяется единственным параметром р, поскольку, как мы только что видели, ширина о, распределения Пуассона автоматически определяется средним р (а именно о, = у'!а). Наконец, если мы рассмотрим распределение Пуассона, для которого среднее число отсчетов !» велико, то дискретная природа т становится менее существенной и, как уже обсуждалось в связи с рис. !!.2, распределение Пуассона (подобно биномиальному) хорошо аппроксимируется функцией Гаусса !»,,(х) с теми же средним и шириной, т. е. ра(т) =)х, (т) (!» велико), (11.! О) где Х = !» и в = .т/!» .
Приближение (11.10) называется гауссовой аппроксимацией распределения Пуассона. Оно аналогично соответствующей аппроксимации биномиального распределения (рассмотренной в равд. 10.4) и полезно при выполнении аналогичных условий, а именно когда рассматриваемые параметры велики. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что мы хотим Глава 11 а!8 рассчитать распределение Пуассона для р = 64. Вероятность, например, 72 отсчетов есть Р (72 отсчета) = рм (72) = е в' —, (11.11) ва (64)уа и в результате трудоемких вычислений получаем для нее численное значение Р (72 отсчета) = 2,9аю Однако в соответствии с (11.10) вероятность (!1.11) хорошо представляется как Р (72 отсчета) -" 1аа,в(72) откуда после простых вычислений имеем Р(72 отсчета) = 3,0йа.
Если бы мы захотели вычислить непосредственно вероятность 72 или более отсчетов в том же эксперименте, то чрезвычайно громоздкий расчет дал бы Р (э - 72) = р, (72) + р, (73) +... = = 17 Звуо ° Если бы мы использовали аппроксимацию (11.!О), то должны были бы рассчитать только вероятность получения ч- 71,5 (так как в случае распределения Гаусса э считается непрерывной переменной). Поскольку 71,5 на 7,5 или на 0,94о превышает среднее, то искомая вероятность может быть определена по таблице приложения Б как Р (у ~ )72) = Ргд уаа (т ~ )71,5) = Ргвусв (ч ~ )Х + 0,946) = = 17,4вую что почти по любому критерию является отличным приближением. 11.3. Примеры Как мы уже подчеркивали, распределение Пуассона описывает распределение результатов в эксперименте, когда ведется счет событий, происходящих случайно, но в определенном ожидаемом среднем темпе.
В лаборатории вводного курса физики два наиболее известных примера — это подсчет распадов радиоактивных ядер н подсчет частиц космических лучей. Другой очень важный пример — эксперимент по изучению ожидаемого предельного распределения, подобного распределению Гаусса, биномпальному распределению или распределению Пуассона, С помощью любого предельного распреде- 2)9 Распределение Пчвссонв ления можно узнать, сколько событий любого частного типа ожидается, если эксперимент повторяется несколько раз.
(Например, с помощью функции Гаусса )х,о(х) можно узнать, каково ожидаемое число результатов измерений х, которое попадает в произвольный интервал от х = а до х = Ь.) На практике наблюдаемое число редко в точности совпадает с ожидаемым. На самом деле оно флуктуирует в соответствии с распределением Пуассона. В частности, если ожидаемое число событий некоторого типа равно и, то полученное число может отличагься от и на число порядка ч/и.
Во многих снгуациях разумно предполагать, что некоторые числа распределены приближенно по закону Пуассона. Следует ожидать, что числа яиц, откладываемых домашними птицами на птицеферме за час, числа рождений в день в родильном доме будут следовать распределению Пуассона, по крайней мере приближенно (хотя, вероятно, они также будут отражать и сезонные изменения). Чтобы проверить это предположение, вы должны регистрировать нужные числа много раз. Отложив на графике полученное распределение, вы могли бы сравнить его с распределением Пуассона и получить некоторое представление о том, насколько хорошо они совпадают.
Если желательно применить количественный !ест, то вы могли бы использовать критерий )гз, описанный в гл. !2. Подсчет частиц космического излучения В качестве конкретного примера распределения Пуассона рассмотрим эксперимент с космическими лучами. Эти <лучи» в действительносзи представляют собой заряженные частицы, такие, как протоны, и п,-частицы, которые попадают в атмосферу Земли из космического пространства. Некоторые из них проходят все расстояние до поверхности Земли и могут быть зарегистрированы (например, с помощью счетчика Гейгера) в лаборатории'). В последующей задаче мы будем использовать тот факт, что число частиц космических лучей, попадающих на любую заданную площадь за данное время, должно быть распределено в соогветствии с законом Пуассона.
Пусть студент Л утверждает, что он измерил число частиц космических лучей, упавших на счетчик Гейгера за одну минуту. Он заявляет, что проделал измерения многократно и ') Нв свмом леле псргнчные космнчсснне лучи, попвлвюшне в втмосферу нз яосягичсскаго прасгрвьствв, взвнмодсйствуют с ядрами атомов воздуха н генерируют вторичные частицы, которые в свою очередь хогне нспытывзют взвнмодсйствня нлн распадаются, н т. л. В лаборатории на Земле мо>нно детентнраввть практически только вторнчныс частицы (мюоны, электроны).
Автор пля простоты изложения опускает этн двтвлн, которые несупгсствснны в лвнпом случае. — Прим. перев. 220 Глава 1! тщательно и нашел, что в среднем девять частиц проходят через счетчик за одну минуту, а погрешность «пренебрежимо» мала. Чтобы проверить это утверждение, студент Б подсчитывает, сколько частиц регистрируется за одну минуту, и получает в результате цифру 12. Вызывает ли этот результат серьезные сомнения в правильности утверждения студента А о том, что ожидаемое число отсчетов равно девяти? Чзобы сделать более тщательную проверку, студентка В считает число упавших частиц за десять минут.
По результатам студента А она ожидает получить цифру 90, но в действительности регистрирует 120. Вызывает ли этот результат существенное сомнение в правильности утверждения студента А? Рассмотрим сначала результат студента Б. Если А прав, то ожидаемое среднее число отсчетов равно 9.
Поскольку распределение отсчетов должно следовать закону Пуассона, то стандартное отклонение должно быть равно ЬГ9 = 3. Результат студента Б есть 12, следовательно, он только на одно стандартное отклонение отличается от среднего, равного 9. Это определенно не столь большое отличие, чтобы можно было говорить о противоречии с результатом А. Более строго, зная, что вероятность любого результата м должна быть ра(ч), мы можем рассчитать полную вероятность получения результата, который отличается от 9 на 3 н более. Оказывается, что эта вероятность составляет 40$ (см. задачу 11.11).
Очевидно, что результат студента Б вовсе не удивителен, и у студента А нет причин для беспокойства. Совсем другое дело — результат студентки В. Если А прав, то В должна была ожидать 90 отсчетов за 10 минут. Поскольку распределение должно быть пуассоновым, то стандартное отклонение должно составлять ~190 = 9,5. Таким образом, результат В, равный 120, более чем на три стандартных отклонения отличается от предсказания студента А, равного 90. В случае таких больших чисел распределение Пуассона неотличимо от функции Гаусса, и мы сразу можем найти по таблице приложения А, что вероятность отсчета, отличающегося более чем на три стандартных отклонения от среднего, равна 0,3а1в, т. е.
если А прав, то чрезвычайно невероятно, чтобы В наблюдала 120 отсчетов. Иначе говоря, мы можем почти наверное утверждать, что где-то допущен просчет. Возможно, А не был столь аккуратен, как он утверждал. Может быть, счетчик плохо работал в случае А или В, что приводило к систематическим ошибкам в одном из результатов. Или, может быть, А делал измерения в момент времени, когда поток космических лучей был действительно меньше нормального. 221 Распределение Пуассона Задачи Напоминание:звезлочка у номера задачи означает, что задача решается или ее ответ приводится в разделе «Ответы» в конце книги. *!!.1 (разл. !!З). а, Рассчитайте распределение Пуассона р (ч) для « = 0,5 и ч = О, « 1, ..., б и постройте гистограмму р (ч) для этих дискретных зна« чений ч. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
