Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Выполните задание «а» для « = !. в. Выполните задание «а» для р = 2. *11.2 (равд. !!.!). а. Распределение Пуассона, подобно всем функцяим распределения, должна уловлетворять «условию нормировки» 2. р«(ч) = 1. ч-а Согласно этому условию, полная вероятность наблюдения всех возможных значений ч должна быть равна !. Локажите эта. (Вспомните о бесконечном ряде (11.5) для е".1 б. Продифференцируйте (11.!2) по «, затем умножьте на р и получите таким образам альтернативное доказательство того, что б = ц, как в случае формулы (11.6].
11.3 (равд. ! !.!), Па давным за 28 лией фермер иа птицеферме определил, что между 10.00 и 10.30 утра все его курицы откладывают в среднем 2,5 яйца. Предполагая, что число откладываемых яиц подчиняется распределению Пуассона с р = 2,5, подсчитайте, сколько за это время было дней, когда между !000 и 1030 утра не оказывалось ни одного отложенного яйца? А сколько дней, когда было 2 яйца илл меньше? 3 или больше? *11.4 (равд. 11.!). Некоторый образец радиоактивиога вещества содержит 1,5 10'» ядер, каждое из которых с вероятностью р = !О-ы может распасться за любую фиксированную минуту.
а. Чему равно ожидаемое среднее число «распадов в образце за одну минуту? б. Вычислите вероятность р (ч) наблюдения ч распадов в минуту « лляч=0,1,2,3. в. Какова вероятность наблюдения четырех или более распадов в одну минуту? *11.5 (равд. !!.!). Ожидается, что в некотором образце радиоактивного вещества происходят гри распада в минуту. Студент наблюдает число т распадов в !00 отдельных одноминутных интервалах и получает результаты, показанные в табл П .1. а. Постройте гистограмму этих результатов, откладывая)ч (долю случаев, когда реалия)ется результат ч) в зависимости от ч. б. На этом же графике постройте ожидаемое распределение рз(ч).
Согласуются .чн данные с охгидаемым распределением? 11.8 (равд. !1 2). а. Докажите, что среднее значевие »л для распределения Пуассона р (ч) равно »« = «« + «, (Простейший способ показать эта со« Твои«за ПЗ Число распадов ч 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 Число наблюдений 5 19 23 2! !4 12 3 2 1 О Глава 1! стоит, вероятно, в том, чтобы дважды продифференцировать тождество (11.!2) по р.) б. 1(окажите, следовательно, что стандартное отклонение для ч равно ач = ч/)ь. (используйте тождество (11.7).) *11.7 (равд.
11.2). Вычислите среднее 0 и стандартное отклонение о„ данных из задачи 11.о. Сравните полученные вами значения с ожидаемыми результатами 3 и уГЗ. 11.8 (равд. 11.2). Известно, что средний темп распада ядер в некотором образце равен примерно 20 в минуту. Если вы хотите измерить этот темп с 4%-ной точностью, то сколько времени вам потребуется для счетаз *11.9 (равд. 11.2). а. Предположим, ьто мы считаем число частиц космических лучей, упавших на счетчик за одну минуту, и получаем результат ч,.
Предполагая, что это число подчинвется распределению Пуассона и (ч), где р — неизвестный ожидаемый средний темп, запишите ы вероятность получения значения ч,. Используйте принцип максимального правдоподобия н докажите, что наилучшая оценка для )ь равна (Гмчил Ее (Помните, что наилучшая оценка для м — это такое значение, для которого вероятность получения ч, максимальна.) б.
Предположим, что мы сделали М отдельных измерений чр ...,ч; рассуждая, как и выше, покажитц что в этом случае р... равно среднему зг 1 ь' (Хнзил д~ ~ гр *11ЛО (равд. 1!.2). Охсидаемое среднее число отсчетов в некотором эксперименте равно р = 16. а. Используйте аппроксимацию Гаусса (11.10) для оценки вероятности получения десяти отсчетов. Сравните полученное значение с точным результатом ры(10), б.
Используйте аппроксимацию Гаусса для оценки вероятности получения десяти или менее отсчетов. (Помните, что надо вычислять Ргзг,с (ч: !0,5), чтобы учесть тот факт, что в случае распределенйя Гаусса ч является непрерывной переменной. Нужная вероятность может быть вычислена с помощью таблицы приложения Б.) Рассчитайте точный результат и сравните его с приближенным. Заметьте, как даже в случае таких малых значений м, когда оно равно только 16, аппроксимация Гаусса дает вполне приемлемые резуль- таты, и по крайней мере для задания «б» требует существенно менее тру- доемких расчетов, чем точные вычисления.
*1(П 1 (раза. !1.3). а. Вычислите вероятности Рэ(ч) получения ч отсчетов для ч = 7, 8, 9, !О и !1 в эксперименте, в котором ожидаемое среднее число отсчетов равно 9. б. Найдите по этим данным полную вероятность получения отсчета, который отличался бы от среднего 9 на 3 или более. Заставит ли вас отсчет 12 подозревать, что ожидаемое среднее в действитель. ности не равно 92 Глава 12 Критерий х' для распределений 12Л.
Введение в критерий х' Начнем с конкретного примера. Предположим, что мы сделали 40 измерений хь ..., х,з длины траектории х пули, вылетающей из некоторого ружья, и получили значения, приТэбэяяа 72 П Иэмереяяме значения к (а еаатяметрах) 771 681 722 688 653 757 733 742 709 676 760 748 672 687 766 645 689 8!О 805 778 764 753 709 675 754 830 725 7!О 738 638 787 7!2 731 772 739 780 678 148 698 770 Теперь у нас уже имеется некоторый опыт обращения с предельными распределениями. Это такие функции, которые описывают ожидаемое распределение результатов в случае, когда эксперимент повторяется большое число раз.
Существует много различных предельных распределений, соответствующих множеству различных типов возможных экспериментов. Вероятно, три наиболее важных в физике распределения — как раз те, которые мы уже рассмотрели: гауссово (или нормальное), биномиальное и распределение Пуассона. В этой последней главе мы будем рассматривать вопрос о том, как решить, подчиняются ли результаты данного эксперимента ожидаемому предельному распределению. Или подробнее: предположим, что мы выполняем эксперимент, для которого, как мы полагаем, нам известно ожидаемое распределение результатов, Предположим далее, что мы повторяем эксперимент несколько раз н регистрируем результаты наблюдений. Вопрос, который мы можем задать теперь, состоит в следующем: как определить, согласуется ли наблюдаемое распределение с ожидаемым теоретическим распределением? Мы увидим, что на этот вопрос можно ответить, используя простую процедуру, называемую критерием ~э.
224 Глава 12 веденные в табл. 12.1. Пусть у нас имеются основания полагать, что результаты этих измерений распределены в соответствии с законом Гаусса (х,,(х), что вполне естественно. В такого рода экспериментах обычно не известны заранее ни центр Х, ни ширина а ожидаемого распределения. Следовательно, нашим первым шагам будет расчет наилучших оценок для этих величин по 40 результатам наших измерений: ~о (наилучшая оценка Х) = х = Х, х,~ 40 = 1-1 =730,1 см (12.1) (х; — х) (наилучшая оценка а) = 39 = 46,8 см. (12.2) Теперь мы можем спросить, удовлетворяет ли фактическое распределение наших результатов хь ..., х4, гипотезе, что эти результаты распределены в соответствии с законом Гаусса !х, о(х) с оцененными выше значениями Х и а.
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны рассчитать, как, согласно нашим ожиданиям, были бы распределены наши 40 результатов, если бы гипотеза была верна, н сравнить эта ожидаемое распределение с нашим фактически полученным распределением. Первая трудность заключается в том, что х есть непрерывная переменная, поэтому мы не можем говорить об ожидаемом числе измерений для какаго-то одного значения х.
Вместо этого мы должны говорить об ожидаемом числе в некотором интервале а ( х ( й, т. е. мы должны поделить весь интервал возможных значений на бины. В случае 40 измерений мы могли бы выбрать границы бинов при Х вЂ” а, Х н Х+ а, определяя таким образом четыре бина, как показано в табл. 12.2. Таблица 12.2.
Возможный выбор бинов для даииык табл. !2.1 Последняя строка показывает число даипык, которые попали в соответствуюп!ий бпп Номер бина а Значения х х <Х вЂ” и Х вЂ” о(х(Х Х(х(Х+и Х+о<х в бине или или или или х < 683,3 683,3 < х < 730,1 730,! < х < 776,9 776,9 < х Числа паб- 8 10 16 6 людеиий Оа в бине 22б Критерий Х' для распределений Рнс. !2.1. Вероятности Рь .,., Р, того, что результаты попадут в каждый из четырех бинов (й = 1, ..., 4), равны соответствугощнм четырем площадям, показанным под функцией Гаусса. Позже мы обсудим критерии для выбора бинов. В частности, их следует выбирать таким образом, чтобы все бины содержали по нескольку измеренных значений хь Обычно мы будем обозначать число бинов через п; в данном случае, например, с четырьмя бинами, и 4.
Поделив весь интервал возможных измеренных значений на бины, мы можем сформулировать наш вопрос более точно. Во-первых, мы можем сосчитать число результатов измерений, которые попадают в каждый бин й'). Обозначим это число через О». Для данных нашего примера наблюдаемые числа Оь О,, О,, О, показаны в последней строке табл. 12.2. Далее, предполагая, что результаты наших измерений распределены нормально (с Х и а, как мы оценили), мы можем рассчитать ожидаемое число Е» результатов измерений для каждого бина й. Затем необходимо будет решить, насколько хорошо наблюдаемые числа О» согласуются с ожидаемыми числами Е,. Расчет ожидаемых чисел Е» очевиден. Вероятность того, что результат любого одного измерения попадает в интервал а «с' к ( Ь, равен площади под функцией Гаусса между х = а и х = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
