Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 40
Текст из файла (страница 40)
А именно дробь в (10.2) — бииол!иальный коэффициент, часто l пх обозначаемый (к ) (10.3) п! (10.4) ч1(п — т) ! где мы ввели полезное понятие факториала п1=1 ° 2 ° ... ° и. шв Глава !О Биномиальный коэффициент появляется в разложении бинома (р+ р)"=р" +ир" 'р+ "+ р"= л = Х(,)р'~" ', которое справедливо для любых двух чисел р и д и любого положительного целого и (см. задачу 10.4). Используя обозначение (10.3), мы можем переписать выражение для бнномиального распределения в более компактном виде Р(т успехов в и испытаниях)=Ь„,р(т) = (и) рч~1л - м (10.6) где, как обычно, р обозначает вероятность успеха в одном испытании и д = 1 — р. Вывод выражения (10.6) аналогичен получению формулы (10.1) в примере с игральными костями: Р(2 единички в 3 бросаниях)=3 ° (а) ° ( — ).
(10.7) ! в 5 Действительно, если подставить т = 2, и = 3, р = '/ и д=а/а в (!0.6), то получим точно (10.7), что вы должны проверить. Более того, смысл каждого множителя в (10.6) тот же самый, что и смысл соответствующего множителя в (10.7). Множитель р' — вероятность получения только успехов в любых определенных т испытаниях, а д"-" — вероятность проигрыша в оставшихся и — т испытаниях. Как легко показать, биномиальный коэффициент ( ) — число различных комбияаций, в которых получается т успехов в и испытаниях. Приведенное рассуждение показывает, что бнномиальное распределение (10.6) на самом деле определяет вероятность, как было сказано выше. Пример Р(т орлов в 4 бросаниях)= ( ) ( — ) .
Предположим, что мы бросаем монету четыре раза (и=4) н подсчитываем число выпадений орла в. Какова вероятность получения различных возможных значений т = О, 1, 2, 3, 4? Поскольку вероятность выпадения орла при одном бросании равна р = !/в, то искомая вероятность — просто биномиальное распределение Ь,, р Я с и = 4 и р = д = !/в, Биномиальиое распределение 199 77 й% Р 1 х Л Ф и Рис, 10.2.
Биномиальное распределение Ь, „(т) с гг = 4, р = 1/2, определянгщее вероятность выпадения т орлов при подбрасывании четырех монет. 10.4. Свойства биномиального распределения Биномиальное распределение Ь.,,(т) определяет вероятность реализации т «успехов» в и испытаниях в случае, когда р есть вероятность успеха в единственном испытании.
Если бы мы повторили полностью весь эксперимент (состоящий из л испытаний) много раз, то было бы естественно спросить: а каково среднее число успехов 92 Это число определяется как 9 = ~ т(г„,р (тг) ч-П (10.8) и легко вычисляется (задача !0.8) как 9 =ар. (10.9) Таким образом, если мы повторим серию и испытаний много Раз, то среднее число успехов будет равно вероятности успеха в одном испытании (р), умноженной на н, как можно было Эти числа легко рассчитываются (задача 10,5) и приводят к распределению, показанному на рис. 10.2. Мы видим, что наиболее вероятное число выпадений орла т = 2, как можно было бы ожидать.
В данном случае вероятности симметричны относительно этого наиболее вероятного значения. Иными словами, иероятность выпадения трех орлов та же, что и одного, а вероятность выпадения четырех орлов равна вероятности не выпадения ни одного, Как мы увидим, такая симметрия существует, только если р = г/в. Глана !О (10.10) Когда р = ')е (как прн бросании монеты), то средяее число успехов равно просто и/2.
Более того, легко показать, что в случае р = »/а Ь„лч(п) = Ь„, „(п — о) (10.11) (см. задачу 10.11), т. е. биномиальное распределение в случае р = '/з симметрично относительно среднего значения и/2, как мы заметили на рис. !0.2. В общем случае, когда р ~ '/л, биномиальное распределение несимметрично. Например, график на рис. 10.1 явно не- симметричен; наиболее вероятное число успехов равно о=О, и вероятности монотонно уменьшаются для о = 1, 2 и 3. Кроме того, среднее число успехов (9 = 0,5) в данном случае не совпадает с наиболее вероятным числом успехов (и = 0).
Интересно сравнить биномнальное распределение Ь„,а(о) с более привычным распределением Гаусса !»,о(х). Возможно, наибольшее различие состоит в том, что результаты эксперимента, описываемые первым распределением, — это дискретные') значения т = О, 1, 2, ..., и, в то время как последнее описывает непрерывные значения измерений величины х. Распределение Гаусса представляет собой симметричный пик с центром на среднем значении х = Х; это означает, что среднее значение Х есть также и наиболее вероятное значение (такое, для которого !»,(х) максимальна).
Как мы видели, биномиальное распределение симметричяо, только когда р = '/т, а в общем случае среднее значение не совпадает с наиболее вероятным значением. Аппроксимация биномиального распределения гауссовым Несмотря на все различия, имеется важная связь между бипомиальным и гауссовым распределениями. Если рассмотреть биномиальное распределение Ь„,л(о) для любого фиксированного значения р в случае, когда а велико, то Ь,,а(о) хорошо аппроксимируется распределением Гаусса !», о(п) ') «Дискретный» означает «отлеленный от пру»ого» и протипоположно понятию непрерыанай, бы ожидать.
Аналогично можно рассчитать и стандартное отклонение и, для нашего числа успехов (задача 10.10). Результат равен 201 Бииомнальное распределение 417 сз ~~ гп йт В ! В В Б гВ ~~ ЛВ ф пу 3 г В В ьь' -та з, В 4 В тат 7В Лу Рис. 10.3. Биномиальные распределения с р = 1!4 и и = 3, !2 и 48. Непрерывная крпвая на кажясм графнке есть функння Гаусса с тем же срепннм Н тем а.е стандартным сткаснсннем с тем же средним значением и тем же стандартным отклонением, т. е. (р„(р) = ~~ (т)(п велико) (10.!2) с Х = пр и о = .и'пР(1 — Р) (10.13) Мы будем ссылаться на (10.12) как на гауссову аппроксимапию бнномиального распределения.
Мы не будем доказывать здесь этот результат'), но его справедливость хорошо р рг. р .. рс.з, ° в р ° р' яа .:а зьс~ а 1гее з 1за!з апа Епкм сете, Зппп 'мгр!еу, 1975, р, 226, или Уоиггн О. О. 3!а!Ьнса! тгеаггпеп1 о! Екрег!преп!а! !За!еаь Мс0гаяг-Н!!1, !962, приложение С.
202 Глава 1О (10. 14) (10.15) 361 1 за 2З11З1 Ьу что после довольно утомительных вычислений ') оказывается равным Р (23 орла) =3,36 за. С другой стороны, поскольку среднее распределения равно пр = 18, а стандартное отклонение о = чупр(1 — р) =3, мы можем аппроксимировать (10.14) функцией Гаусса 11з,з(23) н после тривиальных вычислений получить Р (23 оРла) = 1'1з,з (23) = 3,32 Уа.
Практически для всех случаев это — отличное приближение. Польза от гауссовой аппроксимации еще более очевидна, если надо вычислить вероятности нескольких исходов. На- ') Некоторые кармакяые калькуляторы позволяют вычислять функцию п1 автоматически, и с помощью таких калькуляторов расчет (10.15) прост.
Однако большинство таких калькуляторов может выполнять операцию п1 только при п ( 70, а при и ) 70 происходит яереполиеиие, и этой функцией нельзя воспользоваться. Деление Дла Р = 'гз и ДлЯ тРех послеДовательно Увеличивающихся значений п (и = 3, 12, 48). На каждое биномиальное распределение наложено распределение Гаусса с тем же средним и с тем же стандартным отклонением. В случае только трех испытаний (и = 3) биномиальное распределение сильно отличается от соответствующего гауссова. В частности, биномиальное распределение явно асимметрично, в то время как гауссово, конечно, идеально симметрично относительно среднего.
В случае п = 12 асимметрия биномиального распределения гораздо менее выражена и два распределения близки друг к другу. Когда и = 48, различие между биномиальным и соответствующим гауссовым распределениями так незначительно, что почти незаметно в масштабе рис. 10.3, в. Тот факт, что биномнальное распределение может быть аппроксимировано функцией Гаусса прн больших и, очень полезен для практики.
Расчеты биномнальной функции для значений и, которые больше илн порядка 20, чрезвычайно утомительны, в то время как вычисления функции Гаусса всегда просты для любых значений Х и о. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что мы захотели узнать вероятность выпадения 23 орлов в 36 бросаниях монеты. Эта вероятность дается бнномиальным распределением Ьза,у (т), поскольку вероятность выпадения орла в одном бросании р = '/з.
Таким образом, Р(23 орла в 36 бросаниях) = Ьза, ь(23) = 203 Биноинальное распределение рнс, !ОЛ, Вероятность получения результата, более чен на 1,бо превышаюшего среднее, равна заштрихованной плошади под кривой Гаусса, пример, вероятность получения 23 или более орлов в 36 бросаниях есть Р(23 или более орлов)=Р(23 орла)+Р(24 орла)+ ...
+ Р(36 орлов), сумма, которую чрезвычайно утомительно рассчитать. Однако если аппроксимировать биномиальное распределение гауссовым, то эту вероятность найти легко. Так как в случае распределения Гаусса ч — непрерывная переменная, то вероятность и = 23, 24, ... рассчитывается лучше всего как Рг„„(ч ) 22,5), т. е. как вероятность любого и ) 22,5. В случае распределения Гаусса и = 22,5 и на 1,5 стандартных отклонении превышает среднее значение 18. (Помните, что 0= 3, так что 4,5 = 1,50.) Вероятность значений, иа 1,5а и более превышающих среднее значение, показана как заштрихованная площадь под гауссовой кривой на рис. 10.4. Она легко рассчитывается с помощью таблиц приложения В, и мы находим Р(23 или более орлов) = Рг, „(ч) Х+ 1,5а)=6,7 %.
Эта цифра хорошо согласуется с точным результатом 6,6% (представленным двумя значащими цифрами). 10.5. Распределение Гаусса случайных ошибок В гл. 5 утверждалось, что если результаты измерений подвержены множеству небольших случайных ошибок, то они будут распределены нормально. Сейчас мы в состоянии доказать это утверждение с помощью простой модели для измерений такого типа. Предположим, что мы измеряем величину х, истинное значение которой равно Х. Допустим, что в случае наших измерений систематические ошибки пренебрежимо малы и что имеется и независимых источников случайных ошибок (эффекты параллакса, времени реакции и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
