Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следуйте аргументам, приведенным между формулами (8.20) н (8.23). *8.11 (равд. 8.6). Один из методов определения ускорения свободно падающего тела состоит в измерении высот дь на которых оно находилось в последовательные равные промежутки времени й (например, с помощью киносъемки), и в последующем определении наилучшей аппроксимации ожидаемым полиномом Глава 8 178 Тиолица 8.7 десятые доли — 4 — 2 О 2 4 секунды у, см 3 — 16 6 9 — 8 8.12 (равд.
8.6). Предположим, что, как ожидают, у имеет зависимость от х вида у = А)(х) +Ву(х), где А и  — неизвестные параметры„а ) и 8 — фиксированные известные функции (например, такие, как ! = х и 8 = хз или )' = сов х и 8 = зш х). Используйте принцип максимальногс правдоподобия и покажите, что наилучшие оценки для А и В, основан. ные на данных (хь у;), ! = 1, ..., Л~, должны определяться из А ~~ ()(х;)) +В ~)(х;)8(х!)= ~ у;)(хг), (8.37) А ~ )(х!)8(х!) + В ~~~~ [8(х!)1~ = ~" Угй(х!), *8.13 (равд. 8.6).
Груз, подвешенный к вертикально расположенной пружине, совершает колсоання, которые описываются высотой его положения у, определяемой формулой у А сов ю!+ В з!им!. где т — среднее время жизни образца. Студент проводит наблюдение за образцом радиоактивного материала в течение трех часов и получает результаты, приведенные в табл. 8.8. Определите аппроксимацию !п )с = = 1и »!» — !Iт методом наименьших квадратов и найдите наилучшую оцен. ку для среднего времени мгнзии т.
Таблица 8.8 О ! 138 79 Время Г Теми )7, произв. ед. 2 3 6,1 2,9 Студент измеряет м и находит, что а = 1 радгс с пренебрежимо малой вогрешиостью. При помощи киносъемки он определяет затем у для пяти равноотстоящих моментов времени, как показано в табл. 8.7. Используйте формулы (8.37) и найдите наилучшие оценки А и В.
Нарисуйте иа графике данные и вашу наилучшую аппроксимацию. (Если вы сначала нарисуете данные, то убедитесь, как трудно было бы нодо. брать наилучшую аппроксвмацию оез помощи метода наименьших квадратов.) Если студент пришел к выводу, что его измеренные значения у были веточны в пределах «пары сантиметров», могли бы вы сказать, что такие данные хорошо аппроксимируются ожидаемой кривой? *8.14 (равд.
8.6). Число распадов )г в единицу времени для некоторого образца радиоактивного материала уменьшается экспоненпиально со временем по мере истощения образца: )7 = )1»е Глава 9 Смешанный второй момент и корреляция 9.1. Обзор расчета ошибок в косвенных измерениях В этом и следующем разделах мы в последний раз вернемся к важному вопросу расчета ошибок в косвенных измерениях. Впервые мы рассмотрели вычисление ошибок в косвенных измерениях в гл. 3, где было сделано несколько выводов. Мы считали, что измеряются две величины х и у и вычисляется некоторая функция д(х,у), такая, например, как а =х+у или д=хзз)пу. (Фактически мы рассматривали также функцию д(х, ..., г) произвольного числа переменных х, ..., г; для простоты мы будем обсуждать здесь только случай двух переменных.) Простое рассмотрение показывает, что погрешность значения д определяется как бд )ф~бх+(фабр.
Сначала мы получили этот результат для простых частных случаев сумм, разностей, произведений и частных. Например, (9.1) ') В литературе на русском языке для этого понятии используются также термини ковариация и корреляционный момент. — Прим. нерва, В этой главе мы введем важное понятие смешанного второго момента'). Понятие смешанного второго момента естественно возникает в связи с проблемой расчета ошибок в кос. венных измерениях, поэтому мы введем его в равд. 9.2 после краткого обзора расчета ошибок в косвенных измерениях в равд. 9.1, В равд.
9.3 мы используем это понятие второго смешанного момента для определения коэффициента линейной корреляции для случая гк' измеренных точек (хь у,), ... , (хи, уи). Этот коэффициент, обозначаемый г, является мерой того, насколько хорошо полученные точки (хь дг) ложатся на прямую линию вида у = А + Вх. Использование этого коэффициента рассматривается в разд. 9.4 и 9.5. 1ЗО Глава 9 если д есть сумма ц = х+у, то (9.1) сводится к известному выражению бд = бх+ бу. Общий результат (9.!) был получен в (3.43).
Затем мы поняли, что соотношение (9.1), вероятно, часто переоценивает бд, поскольку возможна частичная компенсация ошибок в х и у. Мы утверждали без доказательства, что когда ошибки в х и у независимы и случайны, то лучшая оценка погрешности в рассчитанном значении д(х, у) есть (9.2) Мы также без доказательства утверждали, что вне зависимости от того, являются ли ошибки случайными и независимыми, более простая формула (9.1) всегда дает верхний предел для бд, т. е.
погрешность бд никогда не больше того значения, которое определяется (9.!). В гл. 5 мы дали надлежащее определение и доказательство соотношения (9.2). Во-первых, мы увидели, что хорошей мерой погрешности бх в измерениях является стандартное отклонение о„; в частносги, мы показали, что если результаты измерений х распределены нормально, то с б8%-ной вероятностью можно быть унеренным в том, что измеренное значение лежит н пределах а» от истинного значения.
Во-вторых, мы видели, что если результаты измерений х и у подчиняются независимым нормальным распределениям со стандартными отклонениями а, и а„, го значения д(х,у) также распределены нормально со стандартным отклонением .,=~(У .)'+(Фа,)'. (9.3) Этот результат обосновывает нашу оценку ошибки (9.2). В равд. 9.2 мы выведем точную формулу для погрешности в д, которая применима вне зависимости от того, независимы ли х и у и имеют ли они нормальное распределение.
В частности, мы докажем, что (9.!) всегда дает верхнюю границу погрешности в д. Прежде чем получить эти результаты, обсудим еще раз определение стандартного отклонения. Стандартное отклонение а, для Ф результатов измерений хь ..., х„ первоначально было определено формулой гг2 = — Х (х, — х)2. 1 1 3 (9.4) Коли результаты измерений х распределены нормально, то в пределе, когда число Л велико, определение (9.4) эквива- 18г Смешанный второй момент и корреляция лентно определению и как параметра ширины, появляющегося в функции Гаусса — и-х~ /а, я и е на Ч/2~ в соответствии с которой распределяются результаты измерений х. Поскольку теперь мы будем рассматривать случаи, когда ошибки вх могут не быть нормально распределенными„ то зто второе определение для нас больше неприменимо.
Однако мы можем и будем определять а., как в (9.4). Вне зависимости от того, нормально или нет распределены ошибки, это определение а„дает разумную меру случайных погрешностей в нашем измерении х. (Как и в гл. 5, мы будем предполагать, что все систематические ошибки выявлены и уменьшены до пренебрежимо малого уровня, так что все оставшиеся погрешности случайны.) Остается обычная неопределенноствц будем ли мы использовать для о определение (9.4) или же «улучшенное» определение, когда )и' в знаменателе заменяется на ()у — !). К счастью, все рассуждения, которые мы будем приводить„ одинаково применимы к любому определению, пока мы последовательно придерживаемся одного из них.
Для простоты мы будем использовать определение (9.4) с Ф в знаменателе. 9.2. Смешанный второй момент при расчете ошибок в косвенных измерениях Предположим, что для нахождения функции П(х,у) мы измеряем две величины х и у несколько раз и получаем Ф пар данных (хиу1), ..., (хи, ут). Г1о результатам М измерений хь ..., хи мы можем вычислить среднее х и стандартное отклонение а, обычным образом; аналогично по данным уь ..., У„мы можем вычислить у и о„. Затем, используя У пар результатов измерений, мы можем рассчитать Ф значений величины, представляющей интерес: П, = П (хи у;), (1= 1, ..., Ф).
Получив пь ..., пи, мы сможем вычислить их среднее и, которое, как мы предполагаем, дает наилучшую оценку для П, и стандартное отклонение о, являющееся мерой случайной погрешности в значениях Пв Будем предполагать, что все наши погрешности малы и что, следовательно, нсе числа хь ..., хи близки к х, а все уь ..., Уи — к и. В атом случае справедливо приближение и =-п(х, у) = Ч (х' у) + д. (ха х) + др (уа у) (9.5р дд до т82 Глава 9 а„я — — — дт (х, — х) (у, — у).
г кв йг~ (9.8) '1 Термин смешанный второй яолснг для а„(для переменных к, у) введен, чтобы провести параллель с термином второй момент') для а(для одной переменной х). Чтобы подчеркнуть яту параллель, смешанный второй момент иногда обозначаегсн а„„, что не особенно удачко, поскольку смешанный второй момент может быть отрнпательным. Удобная особенность нашего определения (2.8) заключаетси в том, что а,„ нмеет размерность ху, так же как а. имеет размерность х. ") Чгобы не нарушать логику употребления терминов, мы перевели в данном случае термин, обозначающий оаслсрсию, как второй момент, лоторый широко встречается в литературе на русском языке.
— Прим. кгерсв. В этом выражении частные производные дд/дх и да/ду ны. числяются в точке х = х, у = у, и, следовательно, они одинаковы для всех 1= 1, ..., гт'. В рамках этого приближения среднее принимает вид а ф ~ дг у гт ~д (х у) + д (хг х) + д (уг у)1 г 1 ! Это выражение для д есть сумма трех членов. Первый членд(х, у), а два других точно равны нулю. (Например, из апре. деления среднего х следует, что ~' (х,— х) =О.) Таким образом, мы получили замечательно простой результат д=а(х, у), (9.6) т. е. чтобы найти среднее д, мы просто должны вычислить значение функции д(х,у) в точке х = х и у = у. Стандартное отклонение для гт' значений дг, ..., дн есть «'= йг Х(у )'.
Подставляя в это выражение (9.5) и (9.6), мы находим, что аа хг Л 1 дх (хг х) + дх (Уг У)) +2 — — — 2 (х,— х)(У,— У). дд ду ! хч дх ду гУ кг (9.7) Суммы в первых двух членах — это определения стандартных отклонений а, и о,. Последняя сумма имеет вид, с которым мы егце не встречались прежде. Она называется смешанным ,вторым моментом ') х и у и обозначается Смешанный второй момент н корреляция С этим определением выражение (9.7) для стандартного от- клонения о переходит в (9,9) Это выражение определяет стандартное отклонение п„вне зависимости от того, независимы ли измерения х и у н нормально ли они распределены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
