Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теперь естественно спросить, каковы погрешности в наших оценках А и В. Оказывается, что, прежде чем мы сможем ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть погрешности о„в наших исходных измерениях уь ..., ун, что мы и сделаем. 8.3. Погрешность в измерениях у оа = — ~Х (у — А — Вх )'. (8.13) Действительно, этот результат может быть подтвержден при помощи принципа максимального правдоподобия. Как обычно, наилучшая оценка для представляющего интерес параметра (в данном случае о„) есть значение, для которого вероятность (8.4) получения значений уь ..., ун максимальна. Как легко проверить, дифференцируя (8.4) по о„и приравнивая производную нулю, этой наилучшей оценкой будет точно выражение (8.!3). В процессе измерения значений уь ..., ун у вас, вероятно, уже сложилось некоторое представление об их погрешности.
Тем не менее важно знать, как вычислить погрешность только из анализа самих данных. Нужно помнить, что числа уь ..., ун не представляют собой Ф результатов измерений одной н той же величины. (Оин могли бы быть, например, временами, за которые камень падает с М различных высот.) Таким образом,мы не получим никакого представления о надежности этих результатов, исследуя разброс в их значениях.
Тем не менее можно легко оценить погрешность о„в числах уь ..., дн. Результат измерения каждого у, (как мы предполагаем) распределен нормально около истинного значения А+ Вх; с параметром ширины о . Таким образом, отклонения у; — А — Вх; распределены нормально, причем все с одним и тем же центральным значением О и одной и той же шириной о„. Это сразу же ведет к предположению, что хорошая оценка о„могла бы определяться суммой квадратов в уже известном нам виде Аппроксвмапвя методом яаимеяьшях квадратов !бб !й сожалению, как вы могли бы уже догадаться, оценка (8,13) для и'„вовсе не окончательная. Числа А и В в (8.13)— неизвестные истинные значения постоянных А и В.
На практике они должны быть заменены нашими наилучшими оценками для А и В, а именно выражениями (8.10) и (8.!1), н такая замена немного изменяет значение (8.13). Можно показать, что это изменение компенсируется заменой фактора йт в знаменателе на (й! — 2). Таким образом, иаш конечный ответ для погрешности в измерениях уь ..., ун есть и' = ) (у, — А — Вх,.)т, где А и В даются выражениями (8.10) и (8.11). Если бы у нас была независимая оценка погрешности в уь ..., ун, то мы могли бы сравнить ее с величиной в„, рассчитанной из (8.14).
Мы не пытались обосновать фактор (У вЂ” 2) в (8,14), но можем сделать некоторые комментарии. Во-первых, пока й! умеренно велико, различие между Ж и (й! — 2) практически неважно. Во-вторых, то, что фактор (Ф вЂ” 2) отражает реальную ситуацию, становится очевидным, если рассмотреть случай измерения только двух пар значений: (хиу1) и (хя,у,). Если имеются только две точки, мы всегда можем провести прямую, проходящую точно через эти точки, и аппроксимация методом наименьших квадратов дает эту линию. Таким обраЗом, имея только две пары данных, мы не можем, вероятно, сделать никакого заключения о надежности наших измерений. Далее, поскольку обе точки лежат точно на наилучшей прямой, то оба слагаемых в суммах (8.!3) и (8.14) равны нулю.
Таким образом, формула (8.13) (с й! = 2 в знаменателе) дает абсурдный результат ак — — О, в то время как (8.14) с Ж— — 2 = 0 в знаменателе дает в„= О/О, конкретно указывая, что после проведения всего лишь двух измерений величина а„ не определена. Наличие фактора (йà — 2) в (8.14) напоминает множитель (Ж вЂ” 1) в знаменателе выражения (5АО) для оценки стандартного отклонения йГ измерений одной и той же величины х.
Там было выполнено Ж измерений хь ..., хв одной величины х. 1'1режде чем рассчитать а, мы должны были использовать данные для определения х. Это оставляло только (М вЂ” !) независимых измеренных значений, поэтому мы говорим, что, вычислив х, мы оставили только (Ф вЂ” 1) степеней свободы. Сейчас мы тоже сделали л! измерений, но перед расчетом а„ мы должны были вычислить две величины: А и В. Сделав это, мы оставили только (йт — 2) степеней свободы.
В обшем случае мы определим число степеней свободы на любом этапе Глава 8 статистических вычислений как число независимых измерений минус число параметров, рассчитанных из этих измерений. Можно показать (хотя мы не будем здесь этого делать), что именно число степеней свободы, а не число измерений должно появляться в знаменателе формул, подобных (8.14) и (5.46). Так объясняется, почему выражение (8.14) содержит фактор (Лг — 2), а (5.46) — фактор (Тч' — 1).
8.4. Погрешность в постоянных А н В Найдя погрешность а„в полученных числах уь ..., уи, мы легко можем вернуться к нашим оценкам постоянных А и В и рассчитать их погрешности. Суть здесь в том, что оценки (8.10) и (8.11) для А и  — точно определенные функции измеренных значений уь ..., ум. Следовательно, погрешности в А и В определяют простым расчетом ошибок в косвенных измерениях, исходя нз погрешностей в уь ..., ум.
Мы предоставляем читателю проверить (задача 8.8), что а'„= а' ~ хг/Л (8.15) аг Л(аг тЬ (8.16) где Л определяется (8,12), как обычно. 8.5. Пример (8. ! 7) Здесь постоянная А — температура, при которой давление Р падает до нуля (если газ не сконденсирустся сначала в жидкость); она называется абсолютным нулем темперагурог и имеет принятое значение А = — 273,15 градусов Цельсия. (8.!8) Постоянная В зависит от природы газа,его массы и объема г). Измеряя ряд значений Т и Р, мы можем определить наилуч- ') Разность Т вЂ” А называется абсолютной темперотурои Переписав (8.17) с учетом этого обозначеняя, иы пол)чаем, что абсолютная темпе.
ратура пропорциональна давлению (при постоянном объеме). Если объем некоторого количества идеального газа поддерживать постоянным, то его температура Т будет линейной функцией давления в газе Р Т= А+ ВР. Аппроксимация методом наимеиьшин квадратов 167 Тпааино В.1.
Иамеренне давления н температуры Даааеаае Р, мм рт. ет. Температура Т, 'с АЕВР Номер опыта ! — 20 17 42 94 127 -22,2 !4,9 52,0 89,1 ! 26,2 65 75 85 95 105 шие оценки для постоянных А и В. В частности, постоянная А дает абсолютный нуль температуры. Одна система пяти измерений Р и Т, полученная студентом, приведена в трех первых столбцах табл.
8.!. Студент считает, что погрешность в измерениях Р пренебрежимо мала, а по- грешности в Т все одинаковы и равны «иескольким граду- сам». Предполагая, что его точки должны ложиться на пря- мую линию типа (8.17), он вычисляет наилучшую оценку по- стоянной А (абсолютного нуля) и ее погрешность. Какими должны быть его выводы? Все, что нам необходимо сейчас сделать,— это использо- вать формулы (8.10) н (8.15), заменяя х; на Р~ и ут на Ть чтобы рассчигать все величины, представляющие интерес. Для этого потребуется вычисление сумм ~ Рь ~ Р~, ~ Ть ~ РтТе. Многие карманные калькуляторы могут вычислять все эти суммы автоматически; но даже и без таких калькуля- торов мы легко сможем выпочнить все необходимые расчеты, если надлежащим образом представим данные.
Согласно табл. 8.1, мы можем вычислить ~., Рт= 425, ~, Р;=37!25, ~~'„Т, = 280, ~, РеТ,= 25810, А=5000, где Л= М(~ Р';) — (~ Рт). В расчетах такого рода важно сохранять много значащих цифр, поскольку нам придется вычислять разности этих больших чисел. Зная эти суммы, мы сразу же можем вычислить наилучшие оценки постоянных А и В: Глава 8 Ф(~ Р;Т~) — (~ Р~~(~ Т~) Л Это дает наилучшую оценку студента для абсолютного нуля А = — 263'С. Зная постоянные А и В, мы можем рассчитать числа А+ ВР„т.
е. температуры, «ожидаемые» на основе нашей наилучшей аппроксимации соотношения Т = А + ВР. Они показаны в правом столбце таблицы, и, как мы и иадеились, все они согласуются в разумных пределах с наблюденными температурами. Теперь можно рассчитать разности между числами в двух последних столбцах и получить па = — ~ (Т вЂ” А — ВР;)»=44,6, 1 г —,ч з 2. и, следовательно, стандартное отклонение от=6 7 Это значение хорошо согласуется с оценкой студента, согласно которой его нзмеоения температуры неопределенны с точностью «нескольких градусов». Наконец, мы можем рассчитать погрешность в А, используя (8.15): пл = аг Д Р~)/Л = 331, или пл — — 18.
Итак, соответствующим образом округленный итоговый вывод студента должен иметь вид абсолютный нуль, А = — 260 ~ 20' С, что удовлетворительно согласуется с принятым значением — 273'С. Как часто бывает, этн результаты становятся намного яснее, если по ннм построить график, как на рис. 8.2. Пять экспериментальных точек вместе с их погрешностями ~-T по шкале Т показаны справа вверху. Наилучшая прямая линия проходит через четыре черточки ошибок и близко от пятой. Чтобы найгв значение абсолютного нуля, линию следует продолжить за пределы области, где лежат все экспериментальные точки, до ее пересечения с осью Т.
Этот процесс экстраполяции (продолжение кривой за пределы точек, по которым она определяется) может привести к большим погрешностям, как это ясно из рисунка. Очень небольшое изме- Аппроксимация методом наименьших квадратов !69 Рнс. а2. Графнк эавнснмостн температуры Г от давления Р для газа прн постоянном объеме. Черточки ошибок имеют длину и алис стандартаое отклонение пг по каждую сто.
Рону от каждой иа пяти експериментальнык точек, а линии — ато наилучшая ап проксимапия, полученная методом иаимсньшик квадратов. Абсолютный нуль тем пературы можно найти, если акстраполнровать линию до ее пересечения с осью т. нение в наклоне линии приведет к большим изменениям в положении точки пересечения этой линии с осью Т, поскольку эта ось сильно удалена от экспериментальных точек.
Таким образом, любая погрешность в данных значительно возрастает, если мы вынуждены экстраполировать на большие расстояния. Это объясняет, почему погрешность в значении абсолютного нуля (~18') намного больше, чем в исходных измерениях температуры (-~-7'). 8.6. Аппроксимация другими кривыми методом наименьших квадратов До сих пор в этой главе мы рассматривали случай двух переменных, удовлетворяющих линейной зависимости у = = А+ Вх, и обсудили, как вычислять постоянные А и В. Эта важная задача — только частный случай широкого класса задач по аппроксимации кривыми, многие из которых могут быть решены подобным образом. В этом последнем разделе мы кратко рассмотрим несколько таких задач. гто Глава 8 Аппроксимация полиномом Часто одна переменная у выражается через полинам от второй переменной х: у = А + Вх + Сх'+... + Нх".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
