Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5.3). Используя подходящую миллиметровую бумагу н хорошо размеченные оси координат, постройте хороший график распределения Гаусса 1 (х) — и- !х-д)цзо'- и 372п для Х = 2, и = 1 и для Х = 3, и = 0,3. Используйте калысулятор для расчета значений ! о(х). Если у калькулятора есть регистры памяти для хранения значений о 1(2п и — 2п', то это ускорит ваши расчеты. Если вы будете помнить, что функция симметрична относительно х = Х, то это сократит вычисления наполовину. Представьте оба графика на одном листе для сравнения. *5А (равд. 5.3).
Если вы не построили, то начертнте гистограмму для третьего случая задачи 5.1. Студент, выполняя задачу 5.1, решил, что распределение его результатов согласуется с функцией Гаусса ) (х), имеющей центр в точке Х = 0 и ширину а = 3,4. Прелставьте это распределение на том же графике и сравните его с гистограммой. (Прочитайте указания к задаче 5.3. Заметьте, что у вас пет колачественного критерия для сравнения степени согласования двух графиков; все, что вы можете, — это посмотреть, хорошо ли функция Гаусса аппраксимирует гистограмму ) 5.о (равд. 5.3). Ширина распределения Гаусса обычно характеризуется параметром о.
Альтернативный параметр с простой геометрической интерпретацией — полная ширина на половине вы«ать!, илн ПШГ1В '). 144 Глава 5 "макс зг макс Рис. 5.18. Полная ширина иа половине высоты (ПШПВ). Это — расстояние между двумя точками х, в которых ) (х) равна по. Х а лозине своего максимального значения, как показано на рис. 5.18. Дока. жите, что П ШПВ = 2а 1/2 )п 2 = 2,35а. Это означает, что половина максимального значения достигается в точках Х ~ 1,17а или, очень приближенно, Х ~ а. *5.6 (равд. 5.3). Выполните детальные выкладки, которые ведут от (5.30) к (5.31), чтобы показать, что стандартное отклонение а, в случае большого числа измерений, результаты которых распределены нормально с параметром ширины а, раева а, = а.
5.7 (равд. 5.4). Если реаультаты измерений некоторой величины описываются функцией Гаусса 1 (х), то вероятность получить значение между Х вЂ” 1а и Х+ 1а, очевидно, есть Х.На Р (в пределах 1а) ~ 1 (х) г(х. Х-га Докажите подробно, указывая все необходимые замены переменнык, что +с Р(в пределах та) = 1 а х™г(х. (5.69) '~/2п 3 При каждой замене переменных тщательно проверяйте пределы внтегри рсвания. Интеграл (5.69) часто называют функцией ошибок, или интегралом ошибок, и обозначают ег1(1). *5.8 (равд. 5.4). Студент измеряет некоторую величину у много раз н вычисляет среднее д = 23 и стандартное отклонение а„=!. Какую долю отсчетов студента вы ожидали бы найти между а) 22 и 24? б) 22,5 и 23,о? в) 21 и 25? г) 21 и 23? д) 24 и 25? Наконец, е) в каком интервале (экзидистаитном по обе стороны от среднего) вы ожидали бы найти 50 ай его отсчетов? Вся необходимая информация для решения етого вопроса приведена ва рис.
5.13. Дополнительная информация относительно вероятностей событий такого рода приведена в приложениях А и В. Нормальное распределение 145 5.9 (равд. 5.4). Массовые обследования показали, что распределение по росту мужчин в некоторой стране нормальное со средним й = 174 см и стандартным отклонением а = 5 см. В случайной выборке из 1000 мужчнн сколько из нпх будут (по вашим ожиданиям) иметь рост а) между 169 см и 179 см? б) больше, чем !79 см? в) больше, чем 189 см? г) между !64 и !69 см? «5.10 (равд. 5.5). Предпологкнм, что мы произвели йг измерений хь ..., хи одной и той гке величины х и полагаем, что соответствующее предельное распределение должно быть функцией Гаусса)» а(х) с неиз.
вестными Х и и. Согласно принципу максимального правдоподобия, наилучшей оценкой для ширины будет такое значение и, для ноторого вероят. ность Р, (хп ..., х, ) для наблюденных значений хь ..., х* макси- Х,а мальна. Продифференцируйте Р (хп ...,х, ) в (5,41) по и и покажите, что максимум достигается для значения а, определяемого (5.44). Как уже обсуждалось после получения (5.44), этот результат означает, что наилучшей оценкой для и является стандартное отклонение йг наблюденных значений хг, ..., х«. 5.11 (равд, 56).
Проверьте тождество (5.54), использованное для обоснования квадратичного сложения при расчете ошибок в косвенных из. мереииях. "5.12 (равд. 5.7). Ниже приведены результаты сорока измерений /п ..., /ы времени падения камня от окна до земли (все в сотых долях секунды): 63 58 74 78 70 74 75 82 68 69 76 62 72 88 65 81 79 77 66 76 86 72 79 77 60 70 65 69 73 77 72 79 65 66 70 74 84 76 80 69 а. Вычислите стандартное отклонение пг для этих 40 измерений. б.
Вычислите средине 1ь ., 1гэ по четырем измерениям в каждом из десяти столбцов. Полученные данные можно рассматривать как результаты десяти экспериментов, в каждом из которых определяется среднее четырех измерений. Считая известным результат задания а, определите значение для стандартного отклонения, ожидаемое для десяти средних 1ь ..., ?ы? Чему оно равно в действительностиг в.
Начертнте гистограммы для 40 индивидуальных измерений /г, ..., /ы и для дссяти средних 1ь ..., гы. Используйте одинаковые масштабы и размеры бинов дла обоих графиков, чтобы нх легко можно было сравнивать. Размеры и границы бинов могкно выбирать разнымв способами, из которых, возможно, простейший состоит в том, чтобы границу одного бина выбрать при значении среднего всех 40 измерений (72,90) и использовать бины, размеры которых равны стандартному отклонению деснти средних значений 1ь ..., ггь *5.13 (равд. 5.8). Студент измеряет д, ускорение свободного падения, многократно и тщательно и получает конечный результат 9,5 м/сз и стандартное отклонение, равное О,!.
Если считать, что результаты его измерений распределевы нормально с центром, равным принятому значению 9,8 и с шириной О,1, то какова вероятность получения результата, который отличается от 9,8 так же (или более), как ответ студента? Предполагая, что студент не сделал фаьтнческях ошибок, можете лн вы сказать, что, вероятно, его эксперимент подвержен влиянию некоторых невыявлеапых систематических ошибок? 5.14 (равд. 58). Лва студента Л и Б измеряют одну и ту же величину х и получают результаты хд —— !3~ 1 н хп — — 15 ~ 1, в которых в качестве погрешностей указаны стандартные отклонения.
146 Глава 5 а. Предполагая, что зсе ошибки независимы и случайны, найдите разность хл — хи и ее погрешность. б. Предполагая, что все результаты в соответствии с ожиданием распределены нормально, что вы можете сказать о вероятвости получения такого различия, как у студентов? Считаете ли вы зто различие значимым (на 5 згз-нем уровне)? «5.!5 (разд. 5.8). Экспериментатор хочет проверить закон сохранения энергии для некоторой ядерной реакции и получает значения начальной и конечной энергий соответственно Ег = ?5 ~ 3 МзВ и Ег = 60 ш 9 МзВ, где в качестве погрешностей приведены стандартные отклонения резуль. татов. Является ли зто различие значимым (на 5 з/о-нем уровне)? Четко сформулируйте ваши аргументы при ответе на этот вопрос.
ЧАСТЫМИ 6. Отбрасывание данных 7. Взвешенные средние 8. Аппроксимация методом наименьших квадратов 9. Смешанный второй момент и корреляция 10. Биномиальное распределение 11. Распределение Пуассона 12. Критерий у' для распределений Если вы прочитали и поняли содержание гл. 5, то для вас теперь не составит труда изучить ряд более сложных вопросов. Семь глав в ч. П содержат семь таких вопросов, причем одни из них являются приложениями уже развитой статистической теории, а другие — ее дальнейшим развитием.
Все эти вопросы важны, и вдумчивый студент обязан разобраться в них рано или поздно. С другой стороны, вовсе не обязательно изучить их все одновременно. По атой причине вопросы излагаются в независимых коротких главах, которые можно изучать в любом порядке в соответствии с вашимн нуждами и интересами. Глава 6 Отбрасывание данных В этой главе мы обсудим довольно щекотливый вопрос, отбрасывать ли результат измерений, который кажется до такой степени неразумным, что похож скорее на ошибку.
6.1. Проблема отбрасывания данных Иногда результат одного из серии измерений поразительно расходится со всеми остальными. Когда это происходит, экспериментатор должен решить, является ли такой аномальный результат измерения следствием некоторой ошибки и поэтому должен быть отброшен, или же это законный результат, который должен рассматриваться наряду с другими. Например, представим себе, что мы делаем шесть измерений периода колебаний маятника н получаем результаты (в секундах) 3,8; 3,5; 3,9; 3,9; 3,4; 1,8.
(6.1) В этом примере значение 1,8 поразительно отличается от остальных, и мы должны решить, что с ним делать. Из гл. 5 нам известно, что результат нормального измерения может значительно отличаться от результатов других измерений той же самой величины. Тем не менее в обычной ситуации столь большое различие, как в случае последнего измерения в (6.1), очень невероятно; поэтому мы можем подозревать, что время 1,8 с является результатом какой-то незамеченной ошибки или обусловлено какой-то внешней причиной. Возможно, мы просто ошиблись при считывании этого последнего значения времени, или, может быть, наш электронный секундомер остановился во время последнего измерения из-за внезапного нарушения контакта с блоком питания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
