Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Бла. Если результаты измерений л н у незазнснмы и распределены нормально с центрами Х и У и ширинами о, и о„, то рассчитанные значения к + у будут распределены нормально с центром Х + у и шириной /"„+ о„'. Сумма двух измеренных величин В качестве первого нетривиального примера расчета ошибок в косвенным измерениях рассмотрим случай, когда мы измеряем две независимые величины х и у и вычисляем нх сумму х+ у.
Мы будем предполагать, что результаты измерений х и у распределены нормально около соответствующих истинных значений Х и У с ширинами а, и о„, как показано на рис. 5.16,а и б, и попытаемся определить распределение рассчитанных значений х+у. Мы покажем, что значения х+у распределены нормально с центром, равным сумме истинных значений Х+ У, и с шириной, равной 2 2 а„+ оз, х' Р (х) ехр ( — — з) 2~„) (5.51) и аналогично для у Р(у) ехр ( — — ). рз 20„ (5.5л) как показано на рнс. 5.16, в. В частности, эта формула обосновывает правило из гл.
3, согласно которому погрешность в х+у равна квадратичной сумме индивидуальных погрешностей в х и у, если х и у подвержены только независимым и случайным погрешностям. Чтобы упростить наши выкладки, сначала предположим, что оба истинных значения Х и У равны нулю. В этом случае вероятность получения любого частного значения х равна (Зч Глава в Наша задача теперь заключается в том, чтобы определить вероятность получения любого частного значения х+у. Сначала отметим, что поскольку х и у измеряются независимо, то вероятность получения любых данных х и у равна произведению вероятностей (5.51) и (5,52): Р(х, у) — ехр[ — — ( — + в) (5.53) Зная вероятность получения х и у, мы уже можем рассчитать вероятность любого данного значения х+ у.
Для этого выразим показатель в (5.53) через представляюшую интерес переменную х+у. Это можно сделать с помошью тождества (которое читатель легко может проверить) З~ ( + у)~ (Лх — Ау)' А + и — Аз н + Ан(лз л) — (5.54) (Х+ у)в и + ю где во второй строке мы ввели сокрашенное обозначение гв для второго члена в правой части (5.54), поскольку его значение не представляет для нас интереса. Если подставить (5.55) в (5.53), заменяя А на о' и В на о'„, то получаем Р (х, у) -ехр[— (х+ у)' г' (5.56) 2(о~+а„) 2 (5.55) Эту вероятность получения данных значений х и у можно также рассматривать как вероятность получения данных зна- чений х+у и г. Таким образом, мы можем переписать (5.56) как Р(х+у, г) ехр [ — х+У .
1ехр1 — — 1. (5.57) т. е. Р (х + у) = 1 Р (х + у, г)г( . (5.58) Интегрирование (5.57) по г сводится к интегралу от ехр( — гв/2), что дает (/2н, и мы получаем Р (х + у) - ехр [— (х+ з)' 1 2 (а, + ов) ~ В конце концов, мы хотим найти вероятность получения данного значения х+у безотносительно от какого-либо значения г. Это можно сделать, если просуммировать илн, точнее, проинтегрировать (5.57) по всем возможным значениям г, 1зз Нормальное распределение Это выражение показывает, что значения х+у распредею г р ~~яч', а Наше доказательство закончено для случаи, когда оба истинных значения х и у равны нулю: Х = У = О.
Если Х и У отличны от нуля, мы можем рассуждать следующим образом. Сначала запишем х+ у =(х — Х)+ (у — У) + (Х+ У). (5.60) В этом выражении два первых члена распределены нормально с центрами, равными нулю, с ширинами ол и о„в соответствии с (5.49). Следовательно, сумма этих двух первых членов распределена нормально с шириной,т/а'„'+о„'. Третий член в (5.60) — фиксированное число. Следовательно, в соответствии с (5.49) он смешает распределение к (Х+ У), но не изменяет его ширину. Другими словами, значения (х+ у), представленные формулой (5.60), распределены нормально около (Х+ У) с шириной 1/о„'+о'„. А это и есть искомый результат. Общий случай Доказав формулу для вычисления ошибки в частном случае суммы х+у, мы удивительно просто можем получить формулу для расчета ошибки и в общем случае косвенных измерений.
Предположим, что мы измеряем две независимые величины х и у, наблюденные значения которых распределены нормально, и вычисляем некоторую величину д(х,у) от переменных х и у. Распределение значений д(х,у) легко находится с помощью трех предыдуших результатов. Во-первых, ширины а„и оа (погрешности в х и у) должны быть малы. Это означает, что мы имеем дело только с величинами х, близкими к Х, и величинами у, близкими к У, и поэтому можем, используя аппроксимацию (3.42), написать ч(х, у)= э(Х, У)+ ( —,х ) (х — Х) + (~ ) (у — 1').
(5.61) Это — хорошее приближение, поскольку те значения х и у, которые реализуются наиболее часто, близки к Х и У, Мы привели нижние индексы Х, У у частных производных, чтобы подчеркнуть, что эти производные оцениваются в точке Х, У и, следовательно, являются фиксированными числами. Приближение (5.61) выражает искомую величину д(х,у) в виде суммы трех членов. Первый член д(Х, У) — фиксированное число, поэтому он только смещает распределение. Второй член — фиксированное число дд/дх, умноженное на 1ЗЕ Глава 5 (х — Х), распределение значений которого имеет ширину о, поэтому значения второго члена распределены с центром в нуле и с шириной Аналогично значения третьего члена распределены с центром в нуле и с шириной Рассматривая все три члена в (5.61) и привлекая уже полученные результаты, мы можем сделать вывод, что значения д(х,у) распределены нормально около истинного значения д(Х, У) с шириной (5.62) Если рассматривать стандартные отклонения о, и оа как погрешности в х и у, то результат (5.62) — это правило (3.47) для расчета случайных ошибок в косвенных измерениях в случае, когда д есть функция двух переменных, д(х, у).
Если д зависит от нескольких переменных, т. е. д = д(х, у, ... ..., г), то предыдущие аргументы можно использовать непосредственно, чтобы вывести общее правило (3.47) для функции нескольких переменных. Так как все правила гл. 3 (касающиеся расчета ошибок в случае косвенных измерений) могут быть получены из (3.47), то теперь все эти правила получили обоснование. 5.7. Стандартное отклонение среднего Нам осталось доказать еще один важный результат, приведенный в гл. 4. Это касается стандартного отклонения среднего оа. Мы доказали (в разд.
5.5), что если производится М измерений хь ..., хл величины х (которая распределена нормально), то наилучшей оценкой истинного значения Х будет среднее х от хь ..., хх. В гл. 4 мы утверждали, что погрешность в этой оценке есть стандартное отклоненяе среднего о, = о,/~/У (5.63) Теперь мы можем доказать это утверждение. Доказательство до удивления кратко, и поэтому вы должны будете внимательно проследить за ним. Предположим, что результаты измерений х распределены нормально около истинного значения Х с ширинон а„. Мы Нормельиое распределение 137 хотим узнать, какова надежность среднего значения М измерений.
Чтобы исследовать этот вопрос, естественно представить себе ситуацию, когда эти Ж измерений повторяются много раз, т. е. представить выполнение целой последовательности экспериментов, в каждом из которых мы делаем по У измерений и вычисляем среднее значение. Затем мы могли бы поинтересоваться распределением этих многих полученных средних значений для Л< измерений. И это легко осуществить. В каждом эксперименте мы получаем Ф измеренных значений х<, ..., хн и затем вычисляем функцию "<+ "° + "и х= (5.64) Рассчитанная величина х есть простая функция измеренных значений х<, ..., хн, н мы легко можем найти распределение наших ответов для х с помощью расчета ошибок для косвенных измерений.
Единственная непривычная особенность функции (5.64) состоит в том, что все результаты измерений х<, ..., хн — результаты измерений одной и той же величины с тем же самым истинным значением Х и с той же самой шириной и,. Сначала мы отметим, что поскольку каждое из измеренных значений х<, ..., хн распределено нормально, то то же самое должно быть справедливо для функции х, определяемой (5.64). Далее истинное значение для даждого из х<, ...
..., хн есть Х, поэтому истинное значение величины х, определяемой (5.64), есть =Х »ч 'Таким образом, после многократного определения среднего значения х для Ж измерений мы найдем, что все наши многочисленные результаты для х будут распределены нормально около истинного значения Х. Единственный оставшийся (и наиболее важный) вопрос состоит в том, чтобы найти ширину нашего распределения <редних. В соответствии с (5.62) применительно к случаю Ф переменных эта ширина есть и-= 1,/( — зх и.,)+ ° ° +(зх ) (5 65) Так как х<, ..., хн представляют собой результаты измерений одной и той же величины х, то и ширины у них у всех одни и те же и равны о„: ох< ° ° ° Олн бл» 138 Глава б Л' Х Рис.
817. Результаты индивидуальных измерений величины х распределены нормально около Х с шириной о, (пупнтнрная кривая). Если мы бу. дем использовать то же самое оборудование для определения многих средина значений 1О измерений, то значения х будут распределены нормально около Х с шириной ох — — о„/Ч/ГО (сплошная кривая). Из (5.64) мы также видим, что все частные производные в (5.65) одинаковы: дх дх 1 Следовательно, (5.65) сводится к а»= ~/( — а») + .. +( — ох) / 2 о» вЂ” уЖ вЂ”,= = о„/х/Ф, (5.66) что и требуется.
К искомому результату (5.66) мы пришли столь быстро, что, вероятно, следует остановиться и понять, что же он означает. Мы представили себе, что выполннется большое число экспериментов, в каждом из которых производилось по Ж измерений х и затем вычислялось среднее значение х этих й1 измерений. Мы показали, что в результате многократного повторения такого эксперимента паши многочисленные значения х будут распределены нормально с центром, равным истинному значению Х, и с шириной, которая определяется выражением ох=о,/Ч'Ж, как показано на рис. 5.17 для случая Ж = 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
